最新泛函历年试题集锦

泛函分析2003试题

1、叙述赋范空间完备性的定义；证明：在Banach 空间中，绝对收敛级数必收敛。 解：

（P5定义1.1.4）若赋范空间X 中的序列{}n x 满足如下Cauchy 条件：

,lim ||||0m n m n

x x -=

则称{}n x 为Cauchy 列，若X 中所有Cauchy 列均收敛，则称X 为完备赋范空间或Banach 空间。 证明：

Banach 空间是完备的赋范空间，令X 为Banach 空间，{}n x X ?，||||n x ∑收敛，即n

x ∑绝对收敛。那么，令1

n

n i S x =

∑

：

1

1

1

||||||

||||||||||m

m

n m k

k

k

k n k n k n S S x

x

x

∞

=+=+=+-=≤

≤

∑∑∑

因为||||n x ∑收敛，故余项

1

||||0k

k n x

∞

=+→∑，即

||||0

()n m S S n m -→>→∞

这说明{}n S 是X 中的Cauchy 列，因X 完备，故{}n S 收敛，即n x ∑收敛。

2、设()(1)u x x x =-，分别求u 作为空间[0,1],[0,1][0,1]L C C ⊥

⊥

与的元素的范数。（即求

[0,1],[0,1][0,1]u L u C u C ⊥⊥∈∈∈和时的范数||||u ）

解： [0,1]u L ⊥

∈时，1

1

|||||()|(1)1/6u u x dx x x dx ==-=??

[0,1]u C ∈时，001

||||max ||||max sup |(1)|1/4x u u x x ≤≤==-=

[0,1]u C ⊥∈时，0001

01

||||max(||||,||'||)max(sup |(1)|,sup |12|)1x x u u u x x x ≤≤≤≤==--=

3、设X 、Y 是赋范空间，(,),()||||()T L X Y f x Tx x X ∈=∈。说明()f x 连续，并求

||||sup ()

(0)x r

f x r ≤>。

解：

()f x 为数值函数，要证()f x 连续，即估计n Tx Tx -，其中n x x →。而由公式

x y x y -≤-（P3公式1.1.5）

，即 0n n n Tx Tx Tx Tx T x x -≤-≤-→（T 有界，连续，n →∞）

故()f x 连续。 ||||||||||||||||1

sup ()sup ||||1sup ||()||sup ||()||||||x x r x r x r r

x x

f x Tx T r T r T r r ≤≤≤≤==-==

4、给定无穷矩阵11/21/21/31/3A ??

?- ?= ?- ? ???

O O ，求1||||A ，||||A ∞并估计2||||A 。 解：

由命题2.2.2（P76命题2.2.2），

111

11133sup ||sup(1,,,)||||223342

2

ij j

i

a A β=+++=

<∞=

∑@L 故 sup ||sup(1,0,0,)1||||1ij i

j

a A β∞==<∞

=∑@L 故

11

222

2

2

,11(||)(12()2())23ij i j

a β=+?+?+∑@L

5、

设20

()()f u u x dx =?

，说明2*[0,1]||||f L f ∈,并求。

解：

变量代换，令x =

1

11111

1

114

4

2440000

111

()()()()()222f u y u y y u y y dy y u y dy x u x dx ---==??==?????

令141()2

v x x -=，则显然2

()[0,1]v x L ∈，

故由（P89定理2.3.3），2

*

[0,1]f L ∈，且：

11224201||||||||(())2f v x dx -==?=?

6、设X 为Banach 空间，():[,]x t a b X →连续，:[,][,]a b ?αβ→是1

C 函数，

(),()a b ?α?β==，证明：

'()(())()b

a

x t dt x t t dt β

α

??=?

?

证明：

等式两边都是有意义的向量，由（P101推论2.4.7），令*

f X ∈，则

()

00'000'000

'000(())(())[(())]()[(())]()[(())()]((())())

t t b b

a

a

f x t dt f x t dt f x t d t f x t t dt f x t t dt f x t t dt φβ

α

β

αβ

α

βα

φφφφφφφφ===

=?=?=

???????

命题得证。

泛函分析2006试题

1、（1）设1p ≤<∞，写出在空间[0,1]p

L 中，序列{}n u 范数收敛于u 的定义。 （2

）设01/,

0,1/1,

()1,2,3,x n n n x u x n ≤≤<≤=

=L

.对p 的哪些值，序列{}n u 在空间

[0,1]p L 中范数收敛于零？

解：

[0,1]p L 中序列{}n u 范数收敛于u 的定义为：||||0()n p u u n -→→∞，具体而言，

即：1

1

lim(

|()()|)

0p

p

n

n u x u x dx →∞

-=?，

假如10()1,2,10,1n x n

u x n x n ≤≤==?

?<≤??

L

11

122

20

1

|||||()|p p p p

p

n n p

n u u x dx n dx n n n

-===?=??

，

要12

||||0,01022

p n p p

u n

p -→→?

-

n u L 在中范数收敛于零的p 的范围是12p ≤<

2、设A 是Hilbert 空间H 的闭子空间，u H ∈.

（1）什么是u 在A 中的最佳逼近？其直观意义如何？

（2）设2

[0,]H L π=，A 是[0,]π上形如cos sin a x b x +的函数之全体，

()(0)u x x x π≡≤≤，求u 在A 中的最佳逼近v .

解：

（1）u 在A 的最佳逼近是指，v A ?∈，使得||||(,)u v d u A -=，直观意义即是，最佳逼近就是A 在u 上的正投影。

（2）设A 上基为：{cos ,sin }x x ，则由：

2002000

1cos 2cos ,cos cos 221cos 2sin ,sin sin 22cos ,sin sin ,cos sin cos 0

x x x xdx dx x x x xdx dx x x x x x xdx π

π

πππ

π

π

+<>===

-<>===

<>=<>=?=??

???

设：02

02a π

π??

??=?

??????

?，所以1

2020

a ππ-??

??=????????

而

,cos cos sin sin sin 0cos 2

,sin sin cos cos s sin 0

u x x xdx xd x x x

xdx x

u x x xdx xd x x x

co xdx x

ππ

π

ππ

π

π

π

π

π

ππ

<>=?==?-=+=-<>=?=-=-?-=+=??????

所以，（参考P47例1.5.7）

14

4

()(cos ,sin )(2,)(cos ,sin )(,2)cos 2sin T T P x x x a x x x x ππ

π

-=??-=?-

=-

?+

3、（1）写出(,)T L X Y ∈的范数||||T 的表达式并解释其直观意义。

（2）设1

1122,(),(,,)

(()),i X l T L X Tx a x a x x x X =∈==∈L 求序列()i a 应满足的条

件及||||T . 解：

（1）范数||||T 的表达式为：

||||sup ||||/||||x T Tx x ≠=，||||1

||||1

||||sup ||||sup ||||inf{0:||||||||()}x x T Tx Tx k Tx k x x X =≤===≥≤?∈

其直观意义是：

||||

||||

Tx x 的最大值，即是变换T 的“最大伸张系数”。（P69） （2）因为1

1122,(),(,,)

(())i X l T L X Tx a x a x x x X ====∈L .

对任意(),()i i x x y y X ==∈，估计1||||Tx Ty -，令()i a a =，则：

111

1

1

||||||||sup ||||||||||||||||||i i i i i i i i i

i i i Tx Ty a x y a x y a x y a x y +∞+∞+∞

∞∞===-=?-≤?-=?-=?-∑∑∑

故||||a ∞≤+∞，任取()i a a l ∞

=∈，于是||||||||T a ∞≤.

令||||a β∞=，任取αβ<，则

000101||,(0,0,1,0,0,)j T j j j a x e l α?>=∈L L 第项

使得取

于是，01111||||||||||||||j T x Tx a α?≥=>，而1||||1x =，于是||||T α≥，由α的任意性得：

||||,||||||||T T a β∞≥=于是

4、（1）解释什么是对偶空间的表示定理并解释其价值。

（2）设11

3

2

[0,1],()(),X L f u x u dx u X -

==?∈?

说明*f X ∈，并求||||f .

解：

（1）对偶空间的表示定理是指，将对偶空间*

X 通过表达式(,)(,)x y x X y Y ?∈∈

使得*

,()(,)()f X f x x y x X ??∈=∈，其中y Y ∈由f 唯一决定，且||||||||f y =，于是

*X 等距同构于Y 的一系列定理，它将抽象的*X 对偶空间与一个具体的空间Y 等价。

（2）因为11

2

()f u x u dx -

=

?

，变量代换令y =

11

1

1

12

()()22()f u x u dx x u x xdx u x dx --==?=???

因为，32

()2[0,1]v x L ≡∈，所以，3*

2

[0,1]f X L ∈=

所以，321

3

||||(|()|)2x f v x dx ==?

（参考P90例2.3.5）

5、设X 是一复Banach 空间，()T L X ∈. （1）如何判定算子幂级数0n n n a T ∞

=∑的敛散性？

（2）设()T σ含于椭圆2

2

321x y +<之内，判定级数20(5)2

n

n

n T ∞

=∑的敛散性。 解：

（1）先确定级数

n

n n a T

+∞

=∑的收敛半径R ，如果()r T R σ<，则

n

n

a T

∑绝对收敛，如果

()r T R σ>，则n n a T ∑发散。

（2）级数20(5)2n n n T ∞

=∑的收敛半径为：45

n R ==，而()T σ含于椭圆22321x y +<

之内，所以4

()25

r T R σ<

<<，所以20(5)2n n n T ∞=∑绝对收敛。

泛函分析XXXX 试题

1、判定2

1()cos n u x nx n

=分别在空间1212[0,1],[0,1],[0,1],[0,1],[0,1]L L C C C 中的敛散性。 解：

（1）在1

[0,1]L 中，空间为完备空间，只需验证为柯西序列