最新泛函历年试题集锦

泛函分析2003试题

1、叙述赋范空间完备性的定义；证明：在Banach 空间中，绝对收敛级数必收敛。 解：

（P5定义1.1.4）若赋范空间X 中的序列{}n x 满足如下Cauchy 条件：

,lim ||||0m n m n

x x -=

则称{}n x 为Cauchy 列，若X 中所有Cauchy 列均收敛，则称X 为完备赋范空间或Banach 空间。 证明：

Banach 空间是完备的赋范空间，令X 为Banach 空间，{}n x X ⊂，||||n x ∑收敛，即n

x ∑绝对收敛。那么，令1

n

n i S x =

∑

：

1

1

1

||||||

||||||||||m

m

n m k

k

k

k n k n k n S S x

x

x

∞

=+=+=+-=≤

≤

∑∑∑

因为||||n x ∑收敛，故余项

1

||||0k

k n x

∞

=+→∑，即

||||0

()n m S S n m -→>→∞

这说明{}n S 是X 中的Cauchy 列，因X 完备，故{}n S 收敛，即n x ∑收敛。

2、设()(1)u x x x =-，分别求u 作为空间[0,1],[0,1][0,1]L C C ⊥

⊥

与的元素的范数。（即求

[0,1],[0,1][0,1]u L u C u C ⊥⊥∈∈∈和时的范数||||u ）

解： [0,1]u L ⊥

∈时，1

1

|||||()|(1)1/6u u x dx x x dx ==-=⎰⎰

[0,1]u C ∈时，001

||||max ||||max sup |(1)|1/4x u u x x ≤≤==-=

[0,1]u C ⊥∈时，0001

01

||||max(||||,||'||)max(sup |(1)|,sup |12|)1x x u u u x x x ≤≤≤≤==--=

3、设X 、Y 是赋范空间，(,),()||||()T L X Y f x Tx x X ∈=∈。说明()f x 连续，并求

||||sup ()

(0)x r

f x r ≤>。

解：

()f x 为数值函数，要证()f x 连续，即估计n Tx Tx -，其中n x x →。而由公式

x y x y -≤-（P3公式1.1.5）

，即 0n n n Tx Tx Tx Tx T x x -≤-≤-→（T 有界，连续，n →∞）

故()f x 连续。 ||||||||||||||||1

sup ()sup ||||1sup ||()||sup ||()||||||x x r x r x r r

x x

f x Tx T r T r T r r ≤≤≤≤==-==

4、给定无穷矩阵11/21/21/31/3A ⎛⎫

⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭

O O ，求1||||A ，||||A ∞并估计2||||A 。 解：

由命题2.2.2（P76命题2.2.2），

111

11133sup ||sup(1,,,)||||223342

2

ij j

i

a A β=+++=

<∞=

∑@L 故 sup ||sup(1,0,0,)1||||1ij i

j

a A β∞==<∞

=∑@L 故

11

222

2

2

,11(||)(12()2())23ij i j

a β=+⋅+⋅+∑@L

5、

设20

()()f u u x dx =⎰

，说明2*[0,1]||||f L f ∈,并求。

解：

变量代换，令x =

1

11111

1

114

4

2440000

111

()()()()()222f u y u y y u y y dy y u y dy x u x dx ---==⋅⋅==⋅⎰⎰⎰⎰

令141()2

v x x -=，则显然2

()[0,1]v x L ∈，

故由（P89定理2.3.3），2

*

[0,1]f L ∈，且：

11224201||||||||(())2f v x dx -==⋅=⎰

6、设X 为Banach 空间，():[,]x t a b X →连续，:[,][,]a b ϕαβ→是1

C 函数，

(),()a b ϕαϕβ==，证明：

'()(())()b

a

x t dt x t t dt β

α

ϕϕ=⎰

⎰

证明：

等式两边都是有意义的向量，由（P101推论2.4.7），令*

f X ∈，则

()

00'000'000

'000(())(())[(())]()[(())]()[(())()]((())())

t t b b

a

a

f x t dt f x t dt f x t d t f x t t dt f x t t dt f x t t dt φβ

α

β

αβ

α

βα

φφφφφφφφ===

=⋅=⋅=

⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰

命题得证。

泛函分析2006试题

1、（1）设1p ≤<∞，写出在空间[0,1]p

L 中，序列{}n u 范数收敛于u 的定义。 （2

）设01/,

0,1/1,

()1,2,3,x n n n x u x n ≤≤<≤=

=L

.对p 的哪些值，序列{}n u 在空间

[0,1]p L 中范数收敛于零？

解：

[0,1]p L 中序列{}n u 范数收敛于u 的定义为：||||0()n p u u n -→→∞，具体而言，

即：1

1

lim(

|()()|)

0p

p

n

n u x u x dx →∞

-=⎰，