不等式的简单变形
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问题:一个倾斜的天平两边分别放有重物砝 码,其质量分别为a和b ,从天平实验看a > b ,请同学们猜一猜,如果在两边盘内分别 放入等量的砝码c,那么天平会发生什么变 化?如果再把砝码c拿出来呢?
演示
探索不等式的变形规律
如果在两边盘内分 别加上等量的砝码 c,天平的倾斜方
向会改变吗? b c
ac
7 ×(-2) < 4 ×( - 2) 变
7 ×(-3) < 4 ×( - 3) 变
从中你能发现什么?
不等式的性质2 不等式的性质3
如果a>b,并且c>0, 那么ac>bc
如果a>b,并且c<0, 那么ac<bc
这就是说,不等式两边都乘以(或除以) 同一个正数,不等号的方向不变;不等式 两边都乘以(或除以)同一个负数,不等 号的方向改变。
例1解不等式:(1) x-7<8 (2) 3x<2x-3
注意:本例的解答也可以整理为如下步骤:
解: (1) 移项,得:
x<8+7, 合并同类项,得:
x<15
(2) 移项,得: 3x-2x<-3 合并同类项,得 : x<-3
课堂练习 解下列不等式
(1)1 1 x 1 x 1 22
(2)x 7 12 (3)7 x 45 6x (4)4 1.5x0.5x 7
所以 x-7+7<8+7, 即 x<8+7
得 x<15
(2)不等式的两边都减去2x(即加上-这2x里),的不不等等号式的的
方向不变,
变形与解方程中
所以 3x-2x<2x-3-2x
的什么变形类似?
即 3x-2x<-3
得 x<-3
这里的变形,与方程变形中的移项相类似,
你能说出不等式变形的“移项”该怎么进行吗?
4
知识形成
不等式的基本性质
文字表示
符号表示
(1)不等式的两边都加上(或减去) 同一个数或同一个整式,不等号的 方向不变.
若a<b,则a+c< b+c (或a-c < b-c)
(2)不等式的两边都乘以(或除以) 若a<b , 且c>0,
同一个正数,不等号的方向不变.
则ac
<bc(或
a c
<
b c
)
(3)不等式的两边都乘以(或除以) 若a<b , 且c<0,
你能用不等式表示 这个不等关系吗?
a>b
怎样用不等式表示这个 不等关系呢?
a+c>b+c
如果在两边盘内分 别减去等量的砝码 c ,天平的倾斜方向
会改变吗? b
a
c
c
用不等式表示这 个不等关系。
a>b
用不等式表示这 个不等关系。
a-c>b-c
根据上述实验你能发现不 等式的什么变形规律?
不等式的性质1
不等式的两边都乘以(或除以)同 一个数,不等号的方向是否也不变呢 ?
试验探究
试一试,将不等式7 >4两边都乘以同一个数,比较所 得的数的大小,用“<”或“>”填空:
左边
>、 <、 右边
=
不等号有何 变化
7×3 7 ×2
>
4 ×3
>
4 ×2
不变 不变
7 ×1
>
4 ×1
不变
7 ×0
=
4 ×0
变
7 ×(-1) < 4 ×( - 1) 变
如果a>b,那么 a+c>b+c,a-c>b-c
这就是说,不等式的两边都加上(或减去) 同一个数或同一个整式,不等式的方向 不变。
与解方程一样,解不等式的过程, 就是要将不等式变形成 x>a或 x<a的形式。
Biblioteka Baidu 例1 解不等式: (1)x-7<8 (2)3x<2x-3
解: (1)不等式的两边都加上7,不等号的方向不变,
这里的变形,与方程变形中的“将未似知?数有的什么系不同?
数化为1”相类似,它依据的是不等式的性质2或3,
要注意不等式两边乘以(或除以)的数是正数还是
负数,确定变形时不等号的方向是否需要改变。
课堂练习:解下列不等式
(1) 2x4 (2)3x 0 (3) 1 x 2
3 (4) 1 x3
同一个负数,不等号的方向改变.
则ac>bc(或
a c
>
b c
)
不等式的两边都乘以(或除以)同
一个数,不等号的方向变还是不变 ?
可以是一个正数、零
注意:不或 个等负 含式数有的,字两也母边可的都以代是数乘一式以(或除以)同
一个负数,不等号的方向一定要改变。
⑴ x- 2>0 , x > 2 , ⑵ x + 1 > 2, x > 1 ,
例2 解不等式:
(1)
1 2
x>-3
(2)-2x<6
解 (1)不等式的两边都乘以2,不等号的方向不变
:
,
所以
1 2
x×2>(-3)×2
得 x>-6
(2)不等式的两边都除以-2(即乘以-
1 2
),不等号的方向改变,
所以
-2x×(-
1 2
)>6×(-
1 2
)
这两小题中不
得 x>-3
等式的变形与方 程的什么变形类
结
⑶ - 2x ≥ 4, x ≤-2 , ⑷ -3x ≤ 0, x ≥ 0 , ⑸ 6-2x>0, x < 3 ,
判断对错并说明理由
1. 因为-3 × 2> -5 ×2,所以-3<-5 (× )
2. 若a<b,则3 a< 3 b
(√ )
3. 若-6a<-6 b,则a<b
(× )
4. 若a>b,则-a<-b
(√ )
5.如果a>b,那么4a-5>4b-5
(√ )
6.因为X>-2,所以2X+4>0; 7.因为-2<1,所以-2a < a
(√ ) (× )
8.如果ac2>bc2,那么a>b
(√ )
课 1.不等式的三个性质。 2.不等式性质3中不等号的变
堂 号问题。 小 3.会运用不等式的性质进行
简单变形。
演示
探索不等式的变形规律
如果在两边盘内分 别加上等量的砝码 c,天平的倾斜方
向会改变吗? b c
ac
7 ×(-2) < 4 ×( - 2) 变
7 ×(-3) < 4 ×( - 3) 变
从中你能发现什么?
不等式的性质2 不等式的性质3
如果a>b,并且c>0, 那么ac>bc
如果a>b,并且c<0, 那么ac<bc
这就是说,不等式两边都乘以(或除以) 同一个正数,不等号的方向不变;不等式 两边都乘以(或除以)同一个负数,不等 号的方向改变。
例1解不等式:(1) x-7<8 (2) 3x<2x-3
注意:本例的解答也可以整理为如下步骤:
解: (1) 移项,得:
x<8+7, 合并同类项,得:
x<15
(2) 移项,得: 3x-2x<-3 合并同类项,得 : x<-3
课堂练习 解下列不等式
(1)1 1 x 1 x 1 22
(2)x 7 12 (3)7 x 45 6x (4)4 1.5x0.5x 7
所以 x-7+7<8+7, 即 x<8+7
得 x<15
(2)不等式的两边都减去2x(即加上-这2x里),的不不等等号式的的
方向不变,
变形与解方程中
所以 3x-2x<2x-3-2x
的什么变形类似?
即 3x-2x<-3
得 x<-3
这里的变形,与方程变形中的移项相类似,
你能说出不等式变形的“移项”该怎么进行吗?
4
知识形成
不等式的基本性质
文字表示
符号表示
(1)不等式的两边都加上(或减去) 同一个数或同一个整式,不等号的 方向不变.
若a<b,则a+c< b+c (或a-c < b-c)
(2)不等式的两边都乘以(或除以) 若a<b , 且c>0,
同一个正数,不等号的方向不变.
则ac
<bc(或
a c
<
b c
)
(3)不等式的两边都乘以(或除以) 若a<b , 且c<0,
你能用不等式表示 这个不等关系吗?
a>b
怎样用不等式表示这个 不等关系呢?
a+c>b+c
如果在两边盘内分 别减去等量的砝码 c ,天平的倾斜方向
会改变吗? b
a
c
c
用不等式表示这 个不等关系。
a>b
用不等式表示这 个不等关系。
a-c>b-c
根据上述实验你能发现不 等式的什么变形规律?
不等式的性质1
不等式的两边都乘以(或除以)同 一个数,不等号的方向是否也不变呢 ?
试验探究
试一试,将不等式7 >4两边都乘以同一个数,比较所 得的数的大小,用“<”或“>”填空:
左边
>、 <、 右边
=
不等号有何 变化
7×3 7 ×2
>
4 ×3
>
4 ×2
不变 不变
7 ×1
>
4 ×1
不变
7 ×0
=
4 ×0
变
7 ×(-1) < 4 ×( - 1) 变
如果a>b,那么 a+c>b+c,a-c>b-c
这就是说,不等式的两边都加上(或减去) 同一个数或同一个整式,不等式的方向 不变。
与解方程一样,解不等式的过程, 就是要将不等式变形成 x>a或 x<a的形式。
Biblioteka Baidu 例1 解不等式: (1)x-7<8 (2)3x<2x-3
解: (1)不等式的两边都加上7,不等号的方向不变,
这里的变形,与方程变形中的“将未似知?数有的什么系不同?
数化为1”相类似,它依据的是不等式的性质2或3,
要注意不等式两边乘以(或除以)的数是正数还是
负数,确定变形时不等号的方向是否需要改变。
课堂练习:解下列不等式
(1) 2x4 (2)3x 0 (3) 1 x 2
3 (4) 1 x3
同一个负数,不等号的方向改变.
则ac>bc(或
a c
>
b c
)
不等式的两边都乘以(或除以)同
一个数,不等号的方向变还是不变 ?
可以是一个正数、零
注意:不或 个等负 含式数有的,字两也母边可的都以代是数乘一式以(或除以)同
一个负数,不等号的方向一定要改变。
⑴ x- 2>0 , x > 2 , ⑵ x + 1 > 2, x > 1 ,
例2 解不等式:
(1)
1 2
x>-3
(2)-2x<6
解 (1)不等式的两边都乘以2,不等号的方向不变
:
,
所以
1 2
x×2>(-3)×2
得 x>-6
(2)不等式的两边都除以-2(即乘以-
1 2
),不等号的方向改变,
所以
-2x×(-
1 2
)>6×(-
1 2
)
这两小题中不
得 x>-3
等式的变形与方 程的什么变形类
结
⑶ - 2x ≥ 4, x ≤-2 , ⑷ -3x ≤ 0, x ≥ 0 , ⑸ 6-2x>0, x < 3 ,
判断对错并说明理由
1. 因为-3 × 2> -5 ×2,所以-3<-5 (× )
2. 若a<b,则3 a< 3 b
(√ )
3. 若-6a<-6 b,则a<b
(× )
4. 若a>b,则-a<-b
(√ )
5.如果a>b,那么4a-5>4b-5
(√ )
6.因为X>-2,所以2X+4>0; 7.因为-2<1,所以-2a < a
(√ ) (× )
8.如果ac2>bc2,那么a>b
(√ )
课 1.不等式的三个性质。 2.不等式性质3中不等号的变
堂 号问题。 小 3.会运用不等式的性质进行
简单变形。