第二章 液态金属和合金的凝固4

V1 A1
34

对于大平板铸件，凝固层厚度 ξ与凝固层体积 V1 、 铸件与铸型间接触面积 A1 三者间满足关系式：

V1 K A 1

令
K
（K — 凝固系数，与铸件与铸型材料有关， 1 L c1 T10 TS 可由试验测定，见表2-3 ）
2b2 Ti T20
22
焊接温度场的数学表达式： z,t)
T=f(x,y,
为了研究方便，一般按照焊件的几何特征将焊件 温度场简化为三种类型见下图。 三维传热温度 场，二维传热温度场 ，一维传热温度场。稳定 温度场，非稳定温度场，准稳定温度场。
无限大薄板，线状热源
半无限大物体，点 状热源
无限大长杆，面状热源
23
半无限大物体表面受瞬时、固 定热源作用时温度场的解析解 为：
T T10
铸型侧
Ti
铸件侧
由在界面处热流的连续性条件可得：
Ti b1T10 b2 T20 b1 b2
T20
b1 1c1 1
b2 2 c2 2

铸件侧： 铸型侧：
b1T10 b2T20 b2T10 b2T20 x T1 erf 2 a t b1 b2 b1 b2 1
（2）铸件金属的凝固温度区间很小，可忽略不计；
（3）不考虑凝固过程中结晶潜热的释放； （4）铸件的热物理参数与铸型的热物理参数不随温度变化； （5）铸件与铸型紧密接触，无界面热阻，即铸件与铸型在 界面处等温Ti 。
14
求解一维热传导方程：
T 2T a t x 2
通解为：
x T C Derf 2 at
离直观地得出铸件内各部位的开始凝固时刻与凝固结束时
刻，也可以根据“液相边界”与“固相边界”之间的纵向
距离得出凝固过程中的任一时刻铸件断面上已凝固固相区、 固液两相区和尚未凝固的液相区的宽度。
28
（二） 铸件凝固方式分类
固相区
固-液
液-固 固液相区
液相区
图2-25 凝固区域结构示意图
29

根据固液两相区的宽度，可将凝固过程分 为逐层凝固方式与体积凝固方式（或糊状 凝固方式）。
只是坐标的函数）：
T f x, y, z
7
等温面：空间具有相同温度点的组合面。
等温线：某个特殊平面与等温面相截的交
线。
温度梯度：对于一定温度场，沿等温面或
等温线某法线方向的温度变化率。温度梯度 越大，图形上反映为等温面（或等温线）越 密集。
8
凝固温度场的求解方法
（一）数学解析法 （二） 数值模拟法
19
3、浇注条件的影响 （1）增加过热度，相当于提高铸型的温度，减小铸件断面 的温度梯度。 （2）金属型由于具有较大的导热能力，过热的热量对铸件 的温度梯度影响不大。 4、铸件结构的影响 （1）铸件的厚度 越厚，铸件断面的温度梯度要下降 （2）铸件的形状 影响散热：内表面比外表面难散热，尖角比圆角难散热，散 热筋板多的地方有利于散热。
y
O
x
z
P
2qt r2 T (r , t ) T0 exp( ) 3/ 2 4at c (4at)
24
二、 影响焊接温度场的因素


焊件尺寸
焊件热物理性 能

焊接规范 多层焊
25
第四节、铸件的凝固方式
（一） 铸件动态凝固曲线 （二） 铸件凝固方式分类 （三） 铸件凝固方式的影响因素
b1T10 b2T20 b1T10 b1T20 x T2 erf 2 a t b1 b2 b1 b2 2
T2 x x0

T20 Ti a2 t
b (T T ) T dt时间由铸型导出的热量 为：dQ2 2 2 Adt 2 i 20 Adt 铸型 t t x 0
铸件 λ1 c1 ρ1
Ti
铸型
已凝固铸件
剩余 液相
x T2 Ti Ti T20 erf 2 a t 2
T20
0 图2-3无限大平板铸件凝固温度场分布
13
x
推导过程

假 设：
（1）凝固过程的初始状态为： 铸件与铸型内部分别为均温，铸件起始温度为浇铸温度 ， 铸型的起始温度为环境温度或铸型预热温度 ；
面积的热流量与温度梯度成正比。
q- 比热流量
λ- 导热系数
R-热阻
4
二、 Fourier导热微分方程

三维傅里叶导热微分方程为：
T 2T 2T 2T x 2 y 2 z 2 t c a 2T a c
式中:
a
2
x erf（x）为高斯误差函数，其计算式为： x 2
erf 2 at


2 at 0
e
2
d
15

代入铸件（型）的边界条件得：
x T1 Ti T10 Ti erf 2 a t 1 x T2 Ti Ti T20 erf 2 a t 2
1
第一节 傅立叶导热微分方程 第二节 铸件的温度场 第三节 焊接温度场
第四节 铸件的凝固方式 第五节 凝固时间的计算
2
第一节 傅立叶导热微分方程 一、Fourier定律 二、 Fourier导热微分方程
3
一、Fourier定律
一、Fourier定律
Fourier定律：在单位时间里由于导热而通过单位

T T10 Ti 侧
铸件
凝固时间 t 内导出的总热量：
Q2
侧
dQ
0
t
2

2 Ab2

(Ti T20 )
t
T2
0

至凝固结束时刻，铸件放出的总热量（包括潜热L）：
Q1 V1 1 L C1 (T10 TS )
根据能量守恒定律得：
1 L c1 T10 TS 2b2 Ti T20
11
举例：铸件凝固温度场的数学解析解法
一、半无限大平板铸件凝固过程的
一维不稳定温度场
二、铸件与铸型之间的界面存在热阻时
12
一、半无限大平板铸件凝固过程的 一维不稳定温度场
T T10
铸型 λ2 c2 ρ2
x T1 Ti T10 Ti erf 2 a t 1
（三）实测法
9
（一） 数学解析法

解析方法是直接应用现有的数学理论和定律去推导和演绎 数学方程（或模型），得到用函数形式表示的解，也就是 解析解。 优点：是物理概念及逻辑推理清楚，解的函数表达式能够 清楚地表达温度场的各种影响因素，有利于直观分析各参 数变化对温度高低的影响。 缺点：通常需要采用多种简化假设，而这些假设往往并不


适合实际情况，这就使解的精确程度受到不同程度的影响。
目前，只有简单的一维温度场（“半无限大”平板、圆柱 体、球体）才可能获得解析解。
10
（二） 数值模拟法

数值方法又叫数值分析法，是用计算机程序
来求解数学模型的近似解（数值解），又称
为数值模拟或计算机模拟。

差分法: 差分法是把原来求解物体内随空间、时
陡
平
31
（四)铸件凝固方式与铸件质量的关系
1.逐层凝固方式 条件：纯金属、共晶成分合金、窄结晶温度范围的合金 特点：液固界面前沿平滑而且固液两相被界面明显分开。 结果：凝固固相易得到金属液补缩，易获得致密的铸件，铸 件热裂倾向小。 2.体积凝固方式 条件和特点：具有宽的结晶温度范围，固液两相曲很宽，固 液两相的界面不能区别开 结果：得到具有缩松的铸件，不致密，易产生热裂的倾向。 3.中间凝固方式 开始为逐层凝固，一段时间后转变为体积凝固方式 结果：铸件产生缩松倾向和热裂的倾向均介于逐层凝固和体 积凝固之间。
32
第五节 凝固时间的计算
铸件的凝固时间：是指从液态金属充满型腔后
至凝固完毕所需要的时间。铸件凝固时间是制订生 产工艺、获得稳定铸件质量的重要依据。


无限大平板铸件的凝固时间 (理论计算法)
大平板铸件凝固时间计算（凝固系数法） 一般铸件凝固时间计算的近似公式（模数法）
33


对于铸型：
所以：

上述关于铸造过程凝固温度场的分布以及凝固时 间的讨论均将铸件与铸型的接触当作是理想状态 下的紧密接触，实际界面存在热阻。 界面局部接触，有间隙 热阻来源 铸型型腔内表面常存在涂料
实际界面接触状况与涂料状况对界面热阻大小有重要影响。
17
ຫໍສະໝຸດ Baidu
根据铸件、铸型的热物理性能与界面状况，
铸件凝固过程温度场的分布特点可分为四种情
（即 t = 0 时）的瞬时温度分布。
边界条件： 边界条件是指导热体表面与周
围介质间的热交换情况。
6
第二节 铸件的温度场
通过铸件和铸型中的温度场的变化，来研究凝固 过程中的热交换。

不稳定温度场：温度场不仅在空间上变化，并
且也随时间变化的温度场：
T f x, y, z, t

稳定温度场： 不随时间而变的温度场（即温度
20
第三节 焊接温度场
一、 焊接温度场的一般特
征
二、 影响温度场的因素
21
一、 焊接温度场的一般特征

移动热源焊接过程中，焊件上各点温度随时间 及空间而变化（不稳定温度场），但经过一段时 间后，达到准稳定状态（移动热源周围的温度场 不随时间改变）。
若建立与热源移动速度相
同并取热源作用点为坐标原点 的动坐标系，则动坐标系中各 点的温度不随时间而变。
b1T10 b2T20 b1T10 b1T20 x T2 erf 2 a t b1 b2 b1 b2 2
图2-4为半无限大平板铸铁件分别在砂型和金属型铸模中 浇铸后在 t = 0.01h、0.05h、0.5h 时刻的温度分布曲线。
16
二、铸件与铸型之间的界面存在热阻时
—— 导温系数，
；
—— 拉普拉斯运算符号。
2T T 2T a x 2 y 2 t

二维传热：

一维传热：
T 2T a t x 2
5
对具体热场用上述微分方程进行求解时，需要根据
具体问题给出导热体的初始条件与边界条件。
初始条件： 初始条件是指物体开始导热时

当固液两相区很窄时称为逐层凝固方式， 反之为糊状凝固方式，固液两相区宽度介 于两者之间的称为“中间凝固方式”。
铸件凝固方式对凝固液相的补缩能力影响 很大，从而影响最终铸件的致密性和热裂 纹产生几率。
30

（三）铸件凝固方式的影响因 素
合金结晶温度范围的影响 窄 宽
逐层凝固 中间凝固 体积凝固
铸件断面温度梯度的影响
况来讨论：
1. 金属铸件与绝热型铸型（砂型）
2. 界面热阻较大（厚涂料层）的金属铸型
3. 界面热阻很小（薄涂料层）的金属铸型
4. 非金属铸件与金属铸型
18

影响铸件温度场的因素
1、金属或合金的性质 （1）金属或合金的热扩散系数 越大，金属或合金内部温度分布曲线就越平坦。 （2）结晶潜热 越大，释放的热量越多，铸型内表面温度越高，金属或 合金温度分布平坦。 （3）金属或合金的凝固温度 越高，铸型内外表面的温度梯度就越大，从而使铸件断面 的温度场有较大的温度梯度。温度升高后，铸型导热能力 提高，铸件冷却加强，造成铸件断面有较大的温度梯度。 2、铸型的性质 （1）铸型的蓄热系数 越大，铸件的冷却能力越高，则铸件的温度梯度加大。 （2）铸型温度 越高，则铸件冷却能力降低，则铸件的温度梯度下降。
（四）铸件凝固方式与铸件质量的
关系
26
27
（一）铸件动态凝固曲线

铸型型腔内各个部位的凝固状况的动态变化，可通过
在浇注前在铸型型腔内预置测温热电偶，来记录凝固过程
中各点的温度变化，从而可以绘制出各个瞬间铸型内的凝 固状况。所得图形称为铸件动态凝固曲线。

可以根据“液相边界”与“固相边界”之间的横向距
间连续分布的温度问题，转化为求在时间领域和空 有限元法: 有限元法是根据变分原理来求解热传导问题 间领域内有限个离散点的温度值问题，再用这些离 微分方程的一种数值计算方法。有限元法的解题步骤是先 散点上的温度值去逼近连续的温度分布。差分法的 将连续求解域分割为有限个单元组成的离散化模型，再用 解题基础是用差商来代替微商，这样就将热传导微 变分原理将各单元内的热传导方程转化为等价的线性方程 分方程转换为以节点温度为未知量的线性代数方程 组，最后求解全域内的总体合成矩阵。 组，得到各节点的数值解。