小波分析及其应用(精品教程)

WT f a, b WTg a, b WTh a, b
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第八章 小波分析理论及应用 性质 2（平移不变性） ：若 f t WT f a, b ，则 f t WT f a, b 。平移不变 性是一个很能好的性质，在实际应用中，尽管离散小波变换要用得广泛一些，但在需要 有平移不变性的情况下，离散小波变换是不能直接使用的。 性质 3（伸缩共变性） ：若 f t WT f a, b ，则 f ct
那么使用 W 作为窗函数，在式(8.1-5)中引入的窗口傅里叶变换称为“短时傅里叶变换”
(STFT)：
~ f e jt f t W t b dt g b

(8.1-5)
当窗函数选择为高斯(Gaussian)函数时，则为 Gabor 变换[2]。 STFT 的缺点是分析窗的大小和形状是恒定的。因为频率与周期成反比，所以反映 信号的高频成份需要窄的时间窗，而反映信号的低频成份需要宽的时间窗，STFT 无法 满足要求，此外，STFT 的冗余很大，增加了不必要的计算量。 小波变换作为能随频率的变化自动调整分析窗大小的分析工具，自八十处代中期以 来得到了迅猛的发展，并在信号处理、计算机视觉、图像处理、语音分析与合成等众多 的领域得到应用。 小波分析方法的出现可以追溯到 1910 年 Haar 提出 Haar 规范正交基，以及 1938 年 Littlewood-Paley 对傅里叶级数建立的 L-P 理论。为克服传统傅里叶分析的不足，在八十 年代初，便有科学家使用“小波”的概念来进行数据处理，比较著名的是 1984 年法国 地球物理学家 Morlet 引入小波的概念对石油勘探中的地震信号进行存贮和表示。 在数学 “原子” 和 “分子” 学说， 这些 “原 方面所做的探索主要是 R. Coifman 和 G. Weiss 创立的 子”和“分子”构成了不同函数空间的基的组成部分。L. Carleron 使用了非常象“小波” 的函数构造了 Stein 和 Weiss 的空间 H 1 的无条件基。直到 1986 年，法国数学家 Meyer 成功地构造出了具有一定衰减性的光滑函数 ，它的二进伸缩与平移 j ,k t 2 j / 2 2 j t k : j, k Z 构成 L2 R 的规范正交基。此前，人们普遍认为这是不 j/2 j 可能的，如 Daubechies,Grossman 和 Meyer 都退而研究函数系 a 0 a0 t kb0 构成 2 L R 的框架的条件去了。 Lemarie 和 Battle 继 Meyer 之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。 1987 年，Mallat 利用多分辨分析的概念，统一了这之前的各种具体小波的构造，并提出了现 今广泛应用的 Mallat 快速小波分解和重构算法。1988 年 Daubechies 构造了具有紧支集 的正交小波基。Coifman, Meyer 等人在 1989 年引入了小波包的概念。基于样条函数的 单正交小波基由崔锦泰和王建忠在 1990 年构造出来。1992 年 A. Cohen, I. Daubechhies 等人构造出了紧支撑双正交小波基。同一时期，有关小波变换与滤波器组之间的关系也 得到了深入研究。小波分析的理论基础基本建立起来。 近年来， 一种简明有效的构造小波基的方法--提升方案(Lifting Scheme)得到很大的发 [4,5] 展和重视 。 利用提升方案可把现存的所有紧支撑小波分解成更为基本的步骤[6]， 另外， 它还为构造非线性小波提供了一种有力的手段，所以，利用提升方案构造的小波被认为
或用内积形式：
1 / 2



t b f t dt , a
a0
(8.2-1)
WT f a, b f , a ,b
式中 a ,b t a
1 / 2
(8.2-2)

t b a
要使逆变换存在， t 要满足允许性条件：
ˆ C d
第八章
小波分析理论及应用
第八章 小波分析及应用
8.1 引言 把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重 要意义。 1822 年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的 “热的力学 分析” ，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基 [1] 础 。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研 究归结为对简单的三角函数的研究。 傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅 [2] 里叶分析 。 傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布， 理论分析时经常假定周期是 2 ， 定义如式(8.1-1)、(8.1-2) f x L2 0,2 ， f x 其中
F

f x e jx dx
(8.1-3)
1 F e jx d (8.1-4) 2 通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数）的傅里叶变换的 存在。对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性 质。由式(8.1-3)可知，为了得到 F ，必须有关于 f(x)的过去和未来的所有知识，而且 f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是 F 的任意有限区域的信息都不足 以确定任意小区域的 f(x)。在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正 交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两 个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。研究者们希望寻找关于空间变量（或时间变量）与 频域变量都同时好的希尔伯特(Hilbert)基，R. Balian 认为： “在通讯理论中，人们对于在 完全给定的时间内， 把一个振动信号表示成由其中每一个都拥有足够确定的位置与有一 个频率的小波的叠加这件事感兴趣。事实上，有用的信息常常同时被发射信号的频率与 信号的时间结构（如音乐）所传递。当把一个信号表达成时间的函数时，其中的频谱表 现并不好；相反地，信号的傅里分析却显示不了信号每一分量发射信号的瞬时与持续时 f x
的 c j ,k 成
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第八章 小波分析理论及应用 假定 是一个 R 函数，那么存在 L2 R 的一个唯一的 Riesz 基
j ,k

j , kZ
，它在意义
j ,k , l ,m j ,l k ,m ,
j, k , l , m Z
上与 j ,k 对偶。这时，每个 f t L2 R 有如式(8.2-6)的唯一级数表示：



t dt
ˆ 是 R 中的一个连续函数。由式(8.2-3)可得 ˆ 在原点必定为零，即 故 ˆ 0 t dt 0

(8.2-5)
从式(8.2-5)可以发现小波函数必然具有振荡性。 连续小波变换具有如下性质： 性质 1（线性） ：设 f t g t ht ，则
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第八章 小波分析理论及应用 间。一个适当的表示应结合这两者互补描述的优点，并用一个离散的刻划来表示，以适 应通讯理论[3]。 ” 为此，人们提出了短时傅里叶变换（STFT）的概念： ˆ 满足： 定义 8.1-1 若 W L2 R 选择得使 W 与它的傅里叶变换 W
ˆ L2 R tW t L2 R , W
(8.2-7)
8.3 多分辨分析与 Mallat 算法 8.3.1 多分辨分析
Mallat 使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现 今广泛使用的 Mallat 快速小波分解和重构算法， 它在小波分析中的地位与快速傅里叶变 [7] 换在傅里叶分析中的地位相当 。
定义 8.3-1 空间 L2 R 的多分辨分析是指构造该空间内一个子空间列 V j jZ ，使其具有 以下性质： （1） 单调性（包容性） V2 V1 V0 V1 V 2
为了能重构信号 f t ，要求 j ,k j ,kZ 是 L2 R 的 Riesz 基。 定义 8.2-1 一个函数 L2 R 称为一个 R 函数，如果 j ,k j ,kZ 在下述意义上是一个
Risez 基： j ,k , j , k Z 的线性张成在 L2 R 中是稠密的，并且存在正常数 A 与 B ，
0 A B ，使
A c j ,k
2 l
2

j k
c


2 j ,k
j ,k
2
B c j ,k
2 l2
2 l2
对所有二重双无限平方可和序列 c j ,k 成立， 即对于 c j ,k 立。
ห้องสมุดไป่ตู้

j k
c


2 j ,k
2
(8.2-3)
ˆ 是 t 的傅里叶变换。 式中 这时，逆变换为
1 f t C


a ,b t WT f a, b db
da a
2
(8.2-4)
C 这个常数限制了能作为“基小波（或母小波） ”的属于 L2 R 的函数 的类，尤其是 若还要求 是一个窗函数，那么 还必须属于 L1 R ，即
1 c
WT f ca, cb ，其中 c>0。
性质 4（冗余性） ：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。其表现是由连续小波变 换恢复原信号的重构公式不是唯一的，小波变换的核函数 a ,b t 存在许多可能的选择。 尽管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳定性， 但增加了分析和解释小波变换的结 果的困难。 8.2.2 连续小波变换的离散化 由于连续小波变换存在冗余，因而有必要搞清楚，为了重构信号，需针对变换域的 变量 a ，b 进行何种离散化，以消除变换中的冗余，在实际中，常取
b
k 1 , a j ; j , k Z ，这时 j 2 2
a ,b t
1 2
, j
k 2j
t 2 j / 2 2 j t k
常简写为： j ,k t 。
1 k 变换形式为： WT f j , j f , j ,k 2 2
k
c e
k

ikx
(8.1-1)
1 2 (8.1-2) f x e ikx dx 0 2 然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说 [3] 明 ：从任一个平方可和的函数 f ( x) 出发，为了得到一个连续函数 g ( x) ，只需或者增大 f(x)的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此，不可能仅根 据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性） 。 傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4) ck
f t
j k



f , j ,k
j ,k
t
j ,k
(8.2-6)
特别地，若 j ,k j ,kZ 构成 L2 R 的规范正交基时，有 j ,k 重构公式为：
f t
j k



f , j ,k j ,k t


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第八章 小波分析理论及应用 是第二代小波[5]。小波理论及其应用仍然处在发展中，其未来将在非线性多尺度方法、 非规则集上的小波构造以及非平稳、非均匀、时变信号处理等方面等到更深入的研究。
8.2 小波变换及其基本性质 8.2.1 连续小波变换
f t L2 R ， f t 的连续小波变换（有时也称为积分小波变换）定义为： WT f a, b a