1.4 数学归纳法 课件(北师大选修2-2)

证明：①当n＝2时，f(2)＝2＝2×(2－1)，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥2)时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，
则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假 设知这k个圆有f(k)个交点， 所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k ＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]， 即n＝k＋1时猜想成立． 由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
nn<(n＋1)n. 证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2,1<2，不等式 成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即1＋22＋33 ＋…＋kk<(k＋1)k，
那么，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋33＋…＋kk＋(k
＋1)k＋1<(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)<(k＋2)k＋1 ＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边<右边， 即当n＝k＋1时不等式也成立． 根据①和②，可知不等式对任意n∈N＋都成立.
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即 1 1 1 5 ＋ ＋…＋ > ， 3k 6 k＋1 k＋2 1 1 1 则当n＝k＋1时， ＋ ＋…＋ ＋ 3k k＋1＋1 k＋1＋2 1 1 1 ＋ ＋ 3k＋1 3k＋2 3k＋1
1 1 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ＋3k＋1＋3k＋2＋3k＋3－ 3k k＋1 k＋2
1 1 1 1 1 1 1 1 1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ 2 3 4 2n 2n－1 2n n＋1 n＋2 (n∈N＋)．
[思路点拨]
运用数学归纳法由n＝k到n＝k＋1，
等式左边增加了两项．结合等式右边的结构特点，进 一步确定所需要的项及多余项，最后凑成所需要的结
构形式即可．
[精解详析]
下面用数学归纳法证明： 1 1 (1)显然当n＝1时，S1＝ ＝ 成立． 1×4 4 k (2)假设当n＝k时，等式成立，即Sk＝ . 3k＋1 则当n＝k＋1时， 1 Sk＋1＝Sk＋ [3k＋1－2][3k＋1＋1] k 1 ＝ ＋ 3k＋1 3k＋13k＋4
k3k＋4＋1 ＝ 3k＋13k＋4 3k＋1k＋1 ＝ 3k＋13k＋4 k＋1 ＝ ， 3k＋1＋1 即当n＝k＋1时等式也成立． 根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．
行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下． 问题2：这种现象对你有何启发？ 提示：这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数 学问题．
数学归纳法及其基本步骤：
数学归纳法是用来证明某些与 正整数n 有关的数学命
题的一种方法，它的基本步骤是： (1)验证： n＝1 时，命题成立； (2)在假设当 n＝k(k≥1) 时命题成立的前提下，推出 当 n＝k＋1 时，命题成立．
理解教材新知
第 一 章
§4
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排 的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，
那么整排自行车就会倒下．
问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个 条件？
提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自
[一点通]
对于与正整数有关的不等式的证明，如果
用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证
明．使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一
定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他
方法，对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设
相联系的突破口．
3．若n∈N＋且n≥5，求证2n>n2.
解：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10， a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20， 猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N＋)．
(2)证明：①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，猜想成立．
②假设n＝k时成立，即ak＝5×2k－2(k≥2，k∈N＋)， 当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
[例3]
1 1 1 已知数列 ， ， ，…， 1×4 4×7 7×10
1 ，…. 3n－23n＋1 设Sn为数列前n项和，计算S1，S2，S3，S4，根据计 算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．
[精解详析]
1 1 S1＝ ＝ ， 1×4 4
1 1 2 S2＝ ＋ ＝ ， 4 4×7 7 2 1 3 S3＝ ＋ ＝ ， 7 7×10 10 3 1 4 S4＝ ＋ ＝ ， 10 10×13 13 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数 n 一致，分母可用项数n表示为3n＋1，可以猜想Sn＝ . 3n＋1
[一点通]
解法：
“观察—归纳—猜想—证明”模式的题目的
①观察：由已知条件写出前几项； ②归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系； ③猜想：猜想一般项的表达式； ④证明：用数学归纳法证明猜想的结论．
5．已知数列{an}的第一项 a1＝5 且 Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)． (1)求 a2，a3，a4，并由此猜想 an 的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)的猜想．
证明：①当n＝5时，25>52，不等式成立． ②假设n＝k(k≥5，k∈N＋)时，2k>k2. 则当n＝k＋1时，2k＋1＝2·k＝2k＋2k>k2＋k2>k2＋2k＋ 2
1＝(k＋1)2，
即n＝k＋1时不等式成立． 由①②知，当n∈N＋且n≥5时，不等式2n>n2成立．
4．用数学归纳法证明：当n∈N＋时，1＋22＋32＋…＋
由①②可知对于任意正整数n，等式都成立.
[例2]
1 1 1 5 求证： ＋ ＋…＋ > (n≥2，n∈N＋)． 3n 6 n＋1 n＋2
[思路点拨]
在由n＝k到n＝k＋1的推证过程中可考
虑使用“放缩法”，使问题简单化，这是利用数学归纳法证
明不等式的常用方法之一．
[精解详析] 式成立．
1 1 1 1 5 (1)当n＝2时，左边＝ ＋ ＋ ＋ > ，不等 3 4 5 6 6
1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ k＋2 k＋3 2k＋1 2k＋2 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ . k＋1＋1 k＋1＋2 k＋1＋k 2k＋1 即当n＝k＋1时，等式也成立． 综合①和②可知，对一切正整数n等式都成立．
[一点通]
用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式
命题，关键在于“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式 的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k 到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项，增加了怎样的项．
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k 51－2k－1 ＝5＋ ＝5×2k－1， 1－2 故n＝k＋1时猜想也成立． 由①②可知，对n≥2，n∈N＋有an＝5×2n 2.
－
－2
6．平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，
并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个 数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 解：n＝2时，f(2)＝2＝1×2， n＝3时，f(3)＝2＋4＝6＝2×3， n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4， n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5， 猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
1 1 1 1 1 5 5 ＋ ＋ － k＋1 > 6 ＋ 3k＋1 3k＋2 3k＋3 k＋1 > 6 ＋ 1 1 5 3× － 3k＋3 k＋1＝6，
所以当n＝k＋1时不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立．
1 1 ①当n＝1时，左边＝1－ ＝ ， 2 2
1 1 右边＝ ＝ . 1＋1 2 左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即 1 1 1 1 1 1－ ＋ － ＋…＋ － 2 3 4 2k－1 2k 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ， 2k k＋1 k＋2 则当n＝k＋1时，
1 1 1 1 1 1 1 1－ ＋ － ＋…＋ － ＋ － 2 3 4 2k－1 2k 2k＋1 2k＋2 1 1 1 1 1 ＝k＋1＋k＋2＋…＋2k＋2k＋1－2k＋2
即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立，
则当n＝k＋1时，
左边＝12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋[2(k＋1)－1]2－ [2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)2
＝(k＋1)[2k＋1－4(k＋1)] ＝(k＋1)(－2k－3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， ∴当n＝k＋1时等式成立．
运用数学归纳法时易犯的错误： (1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的 关系时，项数发生什么变化被弄错． (2)不利用归纳假设：归纳假设是起桥梁作用的，桥
梁断了就通不过去了．
(3)步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何
推导或计算而直接写出所要结论．
1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋
1]＝k(k＋1)2＋
＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据①和②，可知等式对任何n∈N＋都成立．
2．证明12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)． 证明：①当n＝1时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3， ∴左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k(k≥1)时等式成立，
根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．
1．数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题 的证明． 2．应用数学归纳法时应注意： (1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺 一不可；
(2)在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的
结论，否则就不是数学归纳法．
[例1]
用数学归纳法证明：
1．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n ＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)．
证明：①当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，
左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立， 即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2， 那么，当n＝k＋1时，