数学排列组合常见题型及解法

排列组合常见题型及解法

排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。 一．处理排列组合应用题的一般步骤为：

①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

二．处理排列组合应用题的规律

（1） 两种思路：直接法，间接法。(2)两种途径：元素分析法，位置分析法。

1 重复排列“住店法”

重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。

例1 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）

[解析] 冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军。把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可住进任意一家“店”，每个客有8种可能，因此共有3

8种不同的结果。

[评述]类似问题较多。如：将8封信放入3个邮筒中，有多少种不同的结果？这时8封信是“客”，3个邮筒是“店”，故共有8

3种结果。要注意这两个问题的区别。

2. 特殊元素（位置）用优先法:把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？

解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有种站法；第二步再让

其余的5人站在其他5个位置上，有

种站法，故站法有：

＝480（种）

解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种；第二步再让剩余的4个人（含

甲）站在中间4个位置，有

种，故站法共有：

（种）

例2（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）。

[解析]3名主力的位置确定在一、三、五位中选择，将他们优先安排，有33A 种可能；然后从其余7名队员选2名安排在第二、四位置，

有

27A 种排法。因此结果为2733A A =252种。

例3 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？

[解析]按一定次序排列的一列数叫做数列。由于7个位置不同，故只要优先选两个位置安排好“2”，剩下的位置填“1”（也可先填“1”

再填“2”）。因此，一共可以组成2

227C C =21个不同的数列。

3. 相邻问题用捆绑法:对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”“捆绑”为一个“大元素：与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。

例1. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？

解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有种，然后女生内部再进行排列，有

种，所以排法共有：

（种）。

例2（1996年上海高考题）有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种（结果用数字表示）。

[解析]将数学书与外文书分别捆在一起与其它3本书一起排，有55A 种排法，再将3本数学书之间交换有33A 种，2本外文书之间交换有2

2

A 种，故共有

2

23355A A A =1440种排法。

[评述]这里需要说明的是，有一类问题是两个已知元素之间有固定间隔时，也用“捆绑法”解决。

如：7个人排成一排，其中甲乙两人之间有且只有一人，问有多少种不同的排法？可将甲乙两人和中间所插一人“捆绑”在一起做“大元素”，但甲乙两人位置可对调，且中间一人可从其余5人中任取，有1200

5

52

2

1

5=A A C 种排法。

4. 相离问题用插空法:元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

例5（2003年北京春季高考题）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 （ ）

A 6

B 12

C 15

D 30

[解析]原来的5个节目中间和两端可看作分出6个空位。将两个新节目不相邻插入，相当于从6个位置中选2个让它们按顺序排列，故有

3026=A 种排法，选（D ）。

[评述]本题中的原有5个节目不需要再排列，这一点要注意。请练习以下这道题：马路上有编号为1、2、3、·10的十盏路灯，为节约用电又能照明，现准备把其中的三盏灯，但不能关掉相邻的两盏或三盏，两端的灯也不许关掉，求不同的关灯方式有多少种？可得结果为3

6C =20种。你能很快求解吗？

例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？

解：先将其余4人排成一排，有

种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有种，所以排法共有：

（种）

5. 定序(顺序一定)问题用除法:对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。

例1、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（ ）（用数字作答）。

解：5面旗全排列有

5

5A

种挂，由于

3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有

55

32

32

10A A A = 说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷

例2. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？

解：不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：（个）

6. 多排问题用直排法:对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。 例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？

解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有

种。

7. 至少问题正难则反“排除法”:有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案，这时，可以采用转化思想从问题的反面入手考虑，然后去掉不符合条件的方法种数往往会取得意想不到的效果。在应用此法时要注意做到不重不漏。 例1. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）

A. 150种

B. 147种

C. 144种

D. 141种 解：从10个点中任取4个点有

种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有

种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：

（种）。