最新人教版高中数学必修五等差数列通项公式优质教案

2.2.2

从容说课

本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公

式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认

知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥

他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析

资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识

通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯

物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数

形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效

果

教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用

教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题

教具准备多媒体及课件

三维目标

一、知识与技能

1.明确等差中项的概念

2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质

3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题

二、过程与方法

1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、

函数思想；通过等差数列通项公式的运用，

渗透方程思想

2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习

3.理论联系实际，激发学生的学习积极性

三、情感态度与价值观1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证

唯物主义观点

2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣

教学过程

导入新课

师同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的

数列叫等差数列？

生我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，

每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n -a n-1=d(n ≥２，n ∈N *)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差

(通常用字母“d ”表示

师对，我再找同学说一说等差数列

{a n }的通项公式的内容是什么？生1 等差数列{a n }的通项公式应是a n =a 1+(n-1)d 生2 等差数列{a n }还有两种通项公式：

a n =a m +(n-m)d 或a n =pn+q(p 、q 是常数师好！刚才两位同学说得很好，

由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d 的公式：①d=a n -a n-1；②11

n a a d n ；③m n

a a d m n .你能理解与记忆它们吗？生3 公式②1

1n a a d n 与③m n a a d m n 记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差［合作探究］

探究内容：如果我们在数

a 与数

b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什

么样的条件呢？

师本题在这里要求的是什么

生当然是要用a，b来表示数A

师对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答

生由定义可得 A -a=b-A，即

2b

a A

反之，若

2b

a

A，则A-a=b-A

由此可以得

2b

a

A a,A,b成等差数列

推进新课

我们来给出等差中项的概念：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项

根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项

9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项

［方法引导］

等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列A=a+b，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差数列

［合作探究］

师在等差数列{a n}中，d为公差，若m,n,p,q∈N*且m+n=p+q，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？

生我得到了一种关系a m+a n=a p+a q

师能把你的发现过程说一下吗？

生受等差中项的启发，我发现a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q

师你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这

归纳的结论加以证明呢？

生我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1，则

a m+a n=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d

a p+a q=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d

因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以a m+a n=a p+a q

师好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{a n}的各项中，与首末两项等距离的两项的

和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以a m+a n=a p+a q

同样地，我们还有：若m+n=2p,则a m+a n=2a p.这也是等差中项的内容

师注意：由a m+a n=a p+a q推不出m+n=p+q，同学们可举例说明吗

生我举常数列就可以说明了

师举得好!这说明在等差数列中，a m+a n=a p+a q是m+n=p+q成立的必要不充分条件.

［例题剖析］

【例1】在等差数列{a n}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9

师在等差数列中通常如何求一个数列的某项？

生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项

生 2 而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了

生3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手

师好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？

生4 因为{a n}是等差数列，所以a1+a6=a4+a3a3=9-a4=9-

所以可得d=a4-a3=7-

又因为a9=a4+(9-4)d=7+5×5=32，所以我们求出了a3=2，a9

【例2】(课本P44的例2)某市出租车的计价标准为 1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4