浅析高等数学学习中的辩证法思想

浅析高等数学学习中的辩证法思想

作者：卢伟程世娟

来源：《课程教育研究·上》2013年第11期

【摘要】高等数学中蕴含了十分深刻的唯物辩证法思想，用辩证法思想来指导高数教学，有助于培养学生良好的数学思维方式和分析问题解决问题的能力。所以高数教师掌握哲学原理并将其应用于教学是十分必要的。本文就哲学量变到质变，一般到特殊，具体到抽象等方面，讨论了辩证法思想在高数学习中的应用。

【关键词】高等数学辩证法函数

【基金项目】川油气科（SKB13-08）。

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）11-0149-01

微积分为主要内容高等数学是非数学专业一门重要的公共基础课。不仅对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着重要的作用，而且对培养学生的抽象归纳能力、创新意识及创新能力有着重要的意义。但绝大多数学生面对高等数学里抽象繁多的概念理论，计算的复杂性加上授课时间短等特点而产生厌学头疼情绪。如何帮助学生学好这门课程，是所有工科数学老师面临的共同难题。

伟大的思想家、哲学家恩格斯说过：“要想表示事物运动状态、形成和发展过程，唯一可以实现或达到目的的只有微积分。”唯物辩证法是揭示事物本质矛盾的方法，是探求真理与知识的重要途径。尤其是辩证法的方法论指导我们要用辩证的思维去学习高等数学，会让原本枯燥无味理论知识变得具体生动有趣，从而有利于提高我们学生自身的观察能力、思维能力、推理能力和创新能力；增强分析问题解决问题的能力。本文就辩证法理论联系实际，一般到特殊、具体到抽象，量变到质变等方面，讨论辩证法思想在高数学习中的运用。

一、理论联系实际

马克思唯物主义讲究理论联系实际，只做不想或只想不做是行不通的。同样，在高数的学习中，我们也必须要学和用联系起来，这样才会使这门课程的学习生动活泼，饶有兴趣。微积分原本来源于实际生活。极限思想在圆周率，曲边三角形等近似计算中就有所体现，而导数概念则包含了物理和几何背景，是人们在实际中提出问题，理论上解决问题，最后把结果推广到各个领域加以运用。可以说微积分知识成就了各个领域的发展和完善。因此在高数学习中，一定要理论联系实际，只有这样才能学有所获，学有所用。如果将理论与实际应用脱离，学起来不但显得枯燥无味，兴趣黯然，而且不会领会其精神，更谈不上创新。

二、一般到特殊，具体到抽象

辩证法的认识论说明了人们认识事物的一个简单原理，即一般到特殊，具体到抽象，而大学高数的学习恰好符合这一原则。例如，由以前的数引导到符号，即变量的名称；由符号间的关系引导到函数，即符号所代表的对象之间的关系。这就把同学们的理解力从以前的数推进到变量、从描述推进到证明、从具体情形推进到一般方程，开始领会到数学符号的威力。在此过程中，高等数学首先就帮助学生发展了函数概念——变量间关系的表述方式。学习微积分，是从简到繁，从具体到抽象来讲解的。先介绍一元函数微积分，然后二、三元函数微积分，最后将其推广到多元函数的情形。如果低维的情形了解掌握了，那么一般有限维的情形也就容易了。回过头来当你纵览这些知识时，不会感到陌生，相反会让你更加深刻地领会到概念的实质其实都是一样的，只是细节少许有差别而已，由此可以做到举一反三了。

三、现象与本质，偶然与必然

透过现象看本质，在高数的学习中这样的例子比比皆是。一元函数的可导与可微恰恰说明了这点，导数是用极限来定义的，是关于函数变化率的问题；而微分是用函数变化率的线性主部来定义的，用于近似计算。两问题出发点虽然不同，但从侧面揭示了同一问题的本质特征。因此对一元函数的可导与可微是等价的。又如牛顿-莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式研究的是完全不同形式的积分，但如果仔细分析就会发现反映都是区域上积分与其边界上积分的相等的问题，其本质是相同，只不过不同的几何形式对应的表达式形式不同而已。如果明白了这点，对于各种各样的积分公式就不会陌生了。

四、运动、发展与联系

唯物辩证法认为世界上的万事万物都处于运动变化的过程中，没有绝对的“静止”。而微积分恰好处理的是“运动”着的量——变量，即函数，尽管也有“静止”的量，如常函数，常数列，不过这只是特例，属个别现象。而其主要内容则是函数概念中的因变量、之间变量和自变量之间的关系。无穷小量是“运动着”的0，无穷大量是运动过程中的越来越大。此外，更为重要的是，整个世界是普遍联系的一个整体，任何事物都不是孤立存在的，这就要求我们深挖变量之间的关系，而函数概念却深刻的反应了变量之间的这种依存关系。极限概念描述了一个变量的变化引起的另一个变量改变的变化趋势，又如，数列极限的“ε-N”定义中的ε，就是变量与常量的统一。连续性、可导性则说明了变量与改变量之间的变化关系。又如微分中值定理与积分中值定理，表面上看公式形式不同，一个涉及到导数，一个涉及到积分，但仔细分析，就可发现这两个定理是可通过牛顿-莱布尼茨公式建立桥梁可以相互转化，是联系的而不是孤立的。总之，运动联系思想贯穿于高数的整个学习之中，理解了这点就不难领会微积分为何要讨论这些内容了。

五、量变到质变

唯物辩证法认为，任何事物都具有质和量两中基本状态。质具有内在性，而量具外在性。任何事物的发展变化不可能没有量变，也不可能没有质变，有区别有联系，都是质和量的统一体。外在量的变化积累到一定程度必然引起内在质的变化，质的变化是事物本质的变化。在高

数学习中，导数概念的建立以及定积分概念的建立，就充分反映了这种近似向精确转化的典型方式；又如定积分定义的基本原型是曲边梯形的面积，求曲边梯形面积采用微元法，而微元法采用分割、近似、求极限的过程，其基本思想也是先近似再精确，借助于极限方法从有限转化为无限，从量变过渡到质变。闭区间连续函数的性质讨论也是一个典型的例子。函数在某一点处连续并没有什么特殊之处，但当它在某一闭区间上每一点连续时，函数就具备了很多完美性质，如最值定理，介值定理，零点定理以及一致连续性等等，而这些性质在整个实数理论中占据重要地位，也为后续研究打下基础。又如收敛数列极限中，随着的无限增大，数列的项无限接近于某一确定的数，当有项变到无项时，这种量的变化最终引起了质的变化，将变量变成了唯一常量。可见只有当量积累到一定程度才能发生质的变化。

六、结语

总之，高等数学内部处处蕴含着辩证思想，辩证法观点在数学成果的推动下不断进步。为培养出新型复合性创新人才，数学老师应将辩证法思维融入数学，使学生掌握完整系统的知识，有助于引导学生将所学知识应用于实践，使抽象枯燥的数学变得具体生动。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版） [M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]郑毓信等.数学思维与数学方法论[M].成都：四川教育出版社，2001.

[3]徐利治.数学方法论选讲[M].武汉：华中理工大学出版社，2000.