浅析高等数学学习中的辩证法思想
数学教学中的辩证法
数学教学中的辩证法摘要：辩证法的基本规律是对立统一规律、质量互变规律、否定之否定规律。
对立统一规律揭示了事物内部对立双方的统一和斗争是事物普遍联系的根本内容，是事物变化发展的源泉和动力。
而数学这门科学是门古老的学科，是对客观的物理世界的一种抽象的描述，是根据自然辨证法所揭示的客观规律发展起来的。
关键词：辨证法对立统一规律数学质量互变规律揭示了一切事物运动、变化、发展的两种基本状态，即量变和质变以及它们之间的内在联系和规律性。
否定之否定规律揭示了事物由矛盾引起的发展，即由肯定─否定─否定之否定的螺旋式的前进运动。
数学中的辨证法要点是：1.同中有异-分法 2.异中有同-合法 3.相互转化-化法一、曲与直直与曲除了有“非直即曲”的一面，也存在“亦直亦曲”的一面。
存在直与曲之间的中介状态，通过这个中介状态，实现直与曲的转化，即在局部范围内（等价无穷小）“以直代曲”、“以曲代直”。
如阿基米德的穷竭法。
二、常量与变量1.常量在一定条件下具有任意性。
如极限定义中的ε，不定积分中的常数c。
2.常量与变量的相对性。
常量与变量即有着严格的区分，又相互依存，相互渗透，在一定条件下相互转化。
如偏导数。
3.通过常量来刻画变量。
如微分方程中的常数变易法。
4.通过变量来研究常量。
如利用导数求极值和拐点。
三、.连续与间断1.连续与间断是事物两种不同的性态。
有时二者性质截然不同。
2.连续与间断在一定条件下可相互转化。
如数列、级数与函数之间的转化，各种数值计算方法（差分、有限元、离散等）四、有限与无限1.潜无限。
把无限看成永远在延伸着的变程或进程的观点。
2.实无限。
把无限看成可以自我完成的过程的观点。
3.有限与无限存在质的差异。
如许多运算法则不通用。
4.通过有限认识无限。
如数学归纳法。
5.通过无限来表示有限。
如函数的无穷级数展开。
五、抽象与具体1.高度抽象是数学的主要特征。
⑴数学抽象就是把对象理想化。
⑵数学的抽象有一系列的发展阶段。
高等数学中的辩证思想方法
返回
在高等数学中，利用直与曲的这种中介状态, 实现局部范 围内的“以直代曲”，是高等数学中的一种基本的辩证思想方 法. 例1．求曲边梯形的面积. 第一步：化整为零. 首先，把曲边梯形的底边任意分成n段， 然后以每一小段为底边，用平行于y轴的直线把曲边梯形分割 成n个小的曲边梯形. 第二步: 以直代曲. 在每 个小曲边梯形中把曲边 看成直边，于是就可以 用这些小“直边矩形” 的面积近似地代小曲边 梯形的面积. 这样在分 割的条件下实现了局部 的“以直代曲”.
从高等数学的思想方法中可以看出，直与曲除了有非直即曲 的一面，也存在亦直亦曲的一面. 存在直与曲之间的中介状态， 通过这个中介状态实现直与曲的转化. 比如，曲线的渐近线是指, 在曲线无限延伸时与一条定直线“无限接近，但永不相交”, 其 数学表达式如下确定: 设曲线为y＝f（x），其渐近线为y = k x＋b， 则
= 处连续. 于是前面的计算是可行的 2
在微积分基本公式
a f (x)dx = F(b)－F(a)
b
左边是一个完全确定的常量. 但为了研究这个常量，在证明过程中，先用变量x代替常数b. 返回
从而把面积S变量化，得到一个关于x的函数 S(x) =
a f (t)dt
x
然后证明S(x)是f(x)在[a, b]上的一个原函数, 而F(x)也是f(x)的一个原函数，于是有
为了解决连续与间断这一差异性所引起的矛盾，在数学 中创造了各种方法和途径, 它们不仅推动了数学的发展，而且 进一步促进了对连续性与间断性本质的认识. 比如，对于可去间断点，采用了补充定义使其连续的方法. 最典型的例子是洛必达法则的证明。 返回
二、连续与间断在一定条件下可以相互转化 随着数学的发展，对函数连续与间断的认识也在深化，在一 定条件下，实现了连续与间断的相互转化. 比如，利用定积分的定义来求n项和数列的极限，就是用连续 研究间断(离散)的典型方法.
数学中的辩证法
赛 队 在 规 定 时 间 内完 成 答 卷 ． 准 时 交 卷 。参 赛 院 校 应 责 成 并
有 关 职 能 部 门负 责 竞 赛 的 组 织 和 纪 律 监督 工作 ， 证 本 校 竞 保
赛 的规 范性 和公 正性 。高 等 职 业 院 校 是 在 具 有 高 中文 化 的 基 础 上 ， 培 养 生 产 、 理 、 务 第 一 线 ， 备 综 合 职 业 能 力 和 以 管 服 具 全 面 素 质 的 高 等 技 术 应 用 型人 才 为 办 学 宗 旨的 ， 学 生 具 备 使
Ｆ 、， 离 之 和 等 于 常 数 （ 于 Ｉ ＦＪ的 点 的轨 迹 叫 做 椭 圆 ” Ｆ距 大 Ｆ ， ） ； “ 面 内 与 两 个 定 点Ｆ 、 离 的 差 的绝 对 值 等 于 常 数 （ 于 平 Ｆ距 小 ＦＩ ｌ＿， 的点 的 轨迹 叫 做 双 曲线 ” 这 两 个 概 念 形 式 上 是 对 立 Ｆ ） 。
师 范 大 学 出版 社 ，０ ２ ２０． ［ ］ 俭 ． 展 数 学 建 模 活 动 的 意 义 ［］ 都 经 济 贸 易 大 ２张 开 Ｊ． 首 学 学 报 ，０ １ ２０ ．
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７ ０
引 入 ， 乘 方 与 开 方 两 种 对 立 的 运 算 合 二 为 一 ； 引 进 对 数 把 而 后 ， 方 、 方 统 一 于乘 、 ， 、 都 统 一 于加 法 。另 外 这 一 乘 开 除 乘 除 规 律 在 椭 圆 和 双 曲 线 上 也 有 充 分 体 现 ： 平 面 内与 两 个 定 点 “
一
４质 量 互 变 规 律 ．
量 变 和 质 变 是 事 物 变 化 的 两 种 形 式 或 两 种 状 态 。 量 变 就 是 事 物 量 的 变 化 ， 数 量 的 增 减 和 场 所 的 变 动 。 变 就 是 即 质 事 物 性 质 的 变 化 ， 由 一 种 质 态 向 另 一 种 质 态 的 转 变 。 变 是 量 和 质 变 的 关 系 是 辩 证 的 ． 对 立 的统 一 。 的分 割 达 到 一 定 是 量 的 程 度 ， 产 生 了不 同 质 的物 质 体 。 格 斯 曾 经 说 过 ：纯 粹 就 恩 “
辩证思维在高中数学教学中的体现与运用 (4)
辩证思维在高中数学教学中的体现与运用辩证思维是人类思维活动的一种重要形式，通过对矛盾、对立、转化等方面的认识和处理，促进思维的发展和深入。
在高中数学教学中，辩证思维应该是一个重要的教学方法，通过教育学生具有辩证思维，培养学生分析问题、解决问题的能力，进而提高数学知识和技能的水平。
本篇论文将探讨运用辩证思维的方式和方法，并且具体阐述辩证思维在高中数学教学中的体现与运用。
一、辩证思维在高中数学教学中的体现1、知识的矛盾性在高中数学教学中，教师应该注重课程中知识的矛盾性，即数字层次、概念层次、理论层次等都需要突出对立面，强调知识之间的相互关系和联系。
例如，在数学教学中，阐述“直线”和“曲线”的定义的同时，应该突出它们之间的矛盾性，找到它们的区别和联系，认识以及掌握它们各自的特点。
这样教学，既可以从宏观上把握知识，又可以使学生深入学习和掌握知识。
2、认识过程的辩证性数学是一种基于逻辑思维的计算和推理，逻辑思维虽然合乎逻辑，但不能满足一切需要。
辩证思维则可以对逻辑思维进行扩展与补充。
在高中数学教学中，辩证思维应该站在学生的角度，注重认识过程的辩证性。
例如，在学习函数的过程中，教师应该让学生在掌握函数概念的同时，让学生意识到函数作为数学中一个重要的概念，与其它概念有着千丝万缕的联系，从而理解函数的本质。
这种细节中的体现，可以培养学生的解决问题和思考问题的能力，有利于学生习得较深刻、扎实的数学知识。
3、问题解决的转化性在高中数学教学中，教师应该注重数学问题的转化性，通过改变问题的形式、偏一些新方法，使问题更简洁、更易于解决。
例如，在解平面图形问题时，可能会遇到若干角度之和的计算问题。
如果直接计算，复杂性较高。
但如果利用相似三角形的性质，可以将问题转化为基本的相似三角形边比的问题，避免了复杂计算，提高了解决问题的效率。
二、辩证思维在高中数学教学中的运用1、通过讨论引发思考在讲解数学知识时，教师可以引入多种思路和方法，让学生思考、讨论。
数学中的唯物辩证法
数学中的唯物辩证法
数学作为一门学科，具有特殊的精神性。
伴随着现代文明的发展，数学作为西方学术思想体系中重要的组成部分，在近代学术理论中扮演着非常重要的角色。
那么，什么是数学中的唯物辩证法？
唯物辩证法是一种基于矛盾的认识论的普遍原理，它的基本思想是：矛盾是物质和精神事物存在发展的根本动力。
所有的物质和精神事物不断发展，这是客观规律。
同时，发展过程中，物质和精神事物之间发展形成矛盾。
矛盾的形成是物质世界变化的过程，也是整个发展过程中客观规律的必然结果。
矛盾推进着物质世界的进一步发展，矛盾在进行一种利害关系，一成三变，构成进一步变化的新概念。
在数学中，唯物辩证法的运用始于哥白尼的时期，他的判定原理仍被研究并在数学实践中广泛使用。
哥白尼提出的“数学可以被用来形式化辩证法”一论，具有指导数学发展的重要意义。
自哥白尼以来，唯物辩证法在数学中的应用以渐进的态势发展。
20世纪以来，随着数学抽象的发展，唯物辩证法在数学中的应用也有了新的发展。
今天，唯物辩证法在数学中以一种全新的方式大展身手，为数学理论的发展贡献了新的知识。
唯物辩证法的运用，可以精准定位数学发展和探寻的方向，让数学发展更趋于合理，探索更深入。
数学发展的历程，必将继续书写更加精彩的传奇。
“以直代曲”的辩证思想在高等数学中的应用研究
“以直代曲”的辩证思想在高等数学中的应用研究关键词：微积分；辩证思想；以直代曲摘要：微积分是大学高等数学的重要内容，其中蕴涵了丰富的辩证思想，常见的有：微分与积分，有限与无限，近似与精确，连续与离散，直与曲（以直代曲），特殊与一般、运动与静止，等等。
本文通过对“以直代曲”思想在高等数学中的应用探究，希望大学生能充分认识“以直代曲”的辩证思想，更好地促进其高等数学的学习，培养其运用高等数学分析问题和解决问题的能力，促进其辩证思维的发展。
基金项目：陕西师范大学第三批“教学名师”项目资助；2022 年度台州市（高校系统）教育科学规划研究课题:中学数学与大学数学衔接问题的研究与实践（GG22005）；浙江省高等教育学会2022年度高等教育研究课题：课程思政视域下概率论与数理统计翻转课堂教学模式的研究与实践（KT2022110）。
1、引言大家都知道，数学是人们认识世界和改造世界的重要工具。
数学，尤其微积分中蕴涵着丰富的哲学、辩证法思想。
它的创立是数学历史上一次重大的飞跃，是继欧几里得几何之后，数学中的又一个伟大创造。
微积分的创立，一方面是由于天文学、力学等学科的发展需要，另一方面也是为了适应数学自身的发展需要。
在微积分创立之前，人们利用初等数学方法解决了诸如：平均速度、平均变化率、圆锥曲线上某点的切线的求法，以及多边形和圆形的面积等许多问题，但有两大类问题让当时的数学家们束手无策。
第一类问题最具代表性的例子是，求非匀速运动在某一瞬时的速度，以及任意一条曲线上某点处求作切线的问题；第二类问题最具代表性的例子是，求封闭曲线围成的图形的面积、非匀速运动的路程，以及变力所做的功等问题。
这使得数学家必须在已有的基础上作进一步的探索，以寻求这两类问题的解决方法。
经过众多数学家们的多年探索，终于在17世纪的后半叶，由牛顿、莱布尼兹各自几乎同时独立地建立了微积分的方法和理论。
纵观微积分的创立过程可以发现，微积分蕴涵了丰富的辩证思想。
在高等数学教学中提高学生的辩证思维能力
在高等数学教学中提高学生的辩证思维能力【摘要】以定积分概念的教学为例，从三个方面入手，探讨如何在高等数学教学中提高学生的辩证思维能力。
【关键词】高等数学辩证思想能力定积分概念应用型人才培养遵循“实基础、适口径、重应用、强素能”的教学理念，也就是“理论基础较扎实、专业知识面较宽、实践能力强、综合素质高”。
其中强调的是一种以能力为本的教育，是为学生进入现实和未来市场就业或创业做准备的教育。
作为要求较高的能力之一的辩证思维能力，是一种用变化、发展的观点来分析问题、处理问题的能力，是解决问题所需能力之一，是应用型人才应具备的一种能力。
而高等数学的内容，以微积分为主，微积分的基础是极限，而辩证法的规律，揭示的是极限本质的联系，高等数学中蕴涵着丰富的辩证思维，如何在高等数学教学中提高学生的辩证思维能力，是值得研究的课题。
本文以定积分概念的教学为例，探讨如何在高等数学教学中提高学生的辩证思维能力。
一、在概念引入过程中涵盖辩证思想，使学生了解辩证思想微积分的萌芽、发展、创立的过程无不体现着数学家的智慧，当时的数学家在解决相应的问题时，由于问题跟极限有关，因此对问题的认知、思考、解决问题的方法中都蕴涵丰富的辩证思想，在引入的时候，通过这些背景知识的介绍，强调概念的实际背景，以介绍数学思想方法为主，强调数学思想方法的形成过程，让学生在理解知识点的同时，也理解其中的辩证思想。
比如，定积分概念的产生过程是包含着否定之否定思想的一个螺旋式上升的过程，在学习定积分概念时，可以设计一个蕴涵否定之否定思想的概念引入，让学生了解定积分产生的过程，从而了解其中的否定之否定思想。
定积分概念的产生过程可分为四个阶段。
第一阶段是积分思想萌芽的阶段。
主要指公元前后几世纪，数学家虽然还没有认识到极限等基础概念，但用到了无限小观点来计算一些几何图形的面积等工作。
其中，公元前5世纪古希腊数学家德漠克利特认为面积、体积等都是可以由一些不可再分的原子构成的，所以将这些“原子”累加起来就可计算面积、体积。
辩证思维方法在数学分析解题中的应用
知识文库 第20期156辩证思维方法在数学分析解题中的应用张智康著名哲学家恩格斯认为，数学这一学科是辩思维的辅助工具与重要的表现形式。
同时数学和唯物辩证法的联系,是解决数学问题和发现解题思路的主要线索。
在数学学习过程中,学生需重视对辨证唯物主义的运用,实现简繁转化、生熟转化、数形转化和动静转化等方式，提高在数学分析中的解题效率。
1 辩证思维方法概述辩证思维，指的是一种可以反映客观事物，且符合客观事物辩证发展过程的具有一定规律性的思维。
而辩证思维在使用的过程中，具有从对象内在矛盾变化和各方面相互联系进行考察，以实现从整体、本质完整性认识对象的特征。
同时辩证思维方法，不同于形而上学思维和具有既成性、确定性法逻辑思维。
而是使用辩证的方式研究逻辑对象，是辩证思维从自发逐渐到自觉的一个过程。
2 辩证思维方法的作用在哲学中，辩证思维属于一种高级的思维活动。
这种思维方式可以通过唯物辩证法的方式来认识客观事物，并且在认识的过程中可以反映出事物的本源，深刻的揭露事物的内在矛盾。
同时还从哲学的角度，为使用者提供方法论，形成对思维方式的统帅作用，具有一定的指导意义。
因此，将辩证思维方式应用到数学分析中，首先，可以提高学生对数学知识的深刻认识，有助于其发现数学解题会中的本源问题，在此基础上为学生提供一定的解题方法，如简繁转化思维和数形转化思维等，突破了原有的思维困境和解题僵局。
这种方式的使用不仅加速了解题的速度，还提高了解题的准确性。
另外，在解题的过程中，还使学生形成了一个对数学分析由浅入深的认识。
3 辩证思维方法在数学分析解题中的应用 3.1 简繁转化思维应用在数学分析解题中，简化解答解题方式属于一种对所学数学知识进行灵活运用的表现，同时也是一种对数学知识灵活运用基础上的创新解题方式。
这种方式的使用，既可以迅速有效的解决问题,又可以打开学生解题思路。
在数学学习中，“由简生繁,遇繁思简”是一条有效的解题思维,对提高学生的数学解题速度和解题效率有着重要的帮助。
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浅析高等数学学习中的辩证法思想
作者：卢伟程世娟
来源：《课程教育研究·上》2013年第11期
【摘要】高等数学中蕴含了十分深刻的唯物辩证法思想，用辩证法思想来指导高数教学，有助于培养学生良好的数学思维方式和分析问题解决问题的能力。
所以高数教师掌握哲学原理并将其应用于教学是十分必要的。
本文就哲学量变到质变，一般到特殊，具体到抽象等方面，讨论了辩证法思想在高数学习中的应用。
【关键词】高等数学辩证法函数
【基金项目】川油气科（SKB13-08）。
【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）11-0149-01
微积分为主要内容高等数学是非数学专业一门重要的公共基础课。
不仅对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着重要的作用，而且对培养学生的抽象归纳能力、创新意识及创新能力有着重要的意义。
但绝大多数学生面对高等数学里抽象繁多的概念理论，计算的复杂性加上授课时间短等特点而产生厌学头疼情绪。
如何帮助学生学好这门课程，是所有工科数学老师面临的共同难题。
伟大的思想家、哲学家恩格斯说过：“要想表示事物运动状态、形成和发展过程，唯一可以实现或达到目的的只有微积分。
”唯物辩证法是揭示事物本质矛盾的方法，是探求真理与知识的重要途径。
尤其是辩证法的方法论指导我们要用辩证的思维去学习高等数学，会让原本枯燥无味理论知识变得具体生动有趣，从而有利于提高我们学生自身的观察能力、思维能力、推理能力和创新能力；增强分析问题解决问题的能力。
本文就辩证法理论联系实际，一般到特殊、具体到抽象，量变到质变等方面，讨论辩证法思想在高数学习中的运用。
一、理论联系实际
马克思唯物主义讲究理论联系实际，只做不想或只想不做是行不通的。
同样，在高数的学习中，我们也必须要学和用联系起来，这样才会使这门课程的学习生动活泼，饶有兴趣。
微积分原本来源于实际生活。
极限思想在圆周率，曲边三角形等近似计算中就有所体现，而导数概念则包含了物理和几何背景，是人们在实际中提出问题，理论上解决问题，最后把结果推广到各个领域加以运用。
可以说微积分知识成就了各个领域的发展和完善。
因此在高数学习中，一定要理论联系实际，只有这样才能学有所获，学有所用。
如果将理论与实际应用脱离，学起来不但显得枯燥无味，兴趣黯然，而且不会领会其精神，更谈不上创新。
二、一般到特殊，具体到抽象
辩证法的认识论说明了人们认识事物的一个简单原理，即一般到特殊，具体到抽象，而大学高数的学习恰好符合这一原则。
例如，由以前的数引导到符号，即变量的名称；由符号间的关系引导到函数，即符号所代表的对象之间的关系。
这就把同学们的理解力从以前的数推进到变量、从描述推进到证明、从具体情形推进到一般方程，开始领会到数学符号的威力。
在此过程中，高等数学首先就帮助学生发展了函数概念——变量间关系的表述方式。
学习微积分，是从简到繁，从具体到抽象来讲解的。
先介绍一元函数微积分，然后二、三元函数微积分，最后将其推广到多元函数的情形。
如果低维的情形了解掌握了，那么一般有限维的情形也就容易了。
回过头来当你纵览这些知识时，不会感到陌生，相反会让你更加深刻地领会到概念的实质其实都是一样的，只是细节少许有差别而已，由此可以做到举一反三了。
三、现象与本质，偶然与必然
透过现象看本质，在高数的学习中这样的例子比比皆是。
一元函数的可导与可微恰恰说明了这点，导数是用极限来定义的，是关于函数变化率的问题；而微分是用函数变化率的线性主部来定义的，用于近似计算。
两问题出发点虽然不同，但从侧面揭示了同一问题的本质特征。
因此对一元函数的可导与可微是等价的。
又如牛顿-莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式研究的是完全不同形式的积分，但如果仔细分析就会发现反映都是区域上积分与其边界上积分的相等的问题，其本质是相同，只不过不同的几何形式对应的表达式形式不同而已。
如果明白了这点，对于各种各样的积分公式就不会陌生了。
四、运动、发展与联系
唯物辩证法认为世界上的万事万物都处于运动变化的过程中，没有绝对的“静止”。
而微积分恰好处理的是“运动”着的量——变量，即函数，尽管也有“静止”的量，如常函数，常数列，不过这只是特例，属个别现象。
而其主要内容则是函数概念中的因变量、之间变量和自变量之间的关系。
无穷小量是“运动着”的0，无穷大量是运动过程中的越来越大。
此外，更为重要的是，整个世界是普遍联系的一个整体，任何事物都不是孤立存在的，这就要求我们深挖变量之间的关系，而函数概念却深刻的反应了变量之间的这种依存关系。
极限概念描述了一个变量的变化引起的另一个变量改变的变化趋势，又如，数列极限的“ε-N”定义中的ε，就是变量与常量的统一。
连续性、可导性则说明了变量与改变量之间的变化关系。
又如微分中值定理与积分中值定理，表面上看公式形式不同，一个涉及到导数，一个涉及到积分，但仔细分析，就可发现这两个定理是可通过牛顿-莱布尼茨公式建立桥梁可以相互转化，是联系的而不是孤立的。
总之，运动联系思想贯穿于高数的整个学习之中，理解了这点就不难领会微积分为何要讨论这些内容了。
五、量变到质变
唯物辩证法认为，任何事物都具有质和量两中基本状态。
质具有内在性，而量具外在性。
任何事物的发展变化不可能没有量变，也不可能没有质变，有区别有联系，都是质和量的统一体。
外在量的变化积累到一定程度必然引起内在质的变化，质的变化是事物本质的变化。
在高
数学习中，导数概念的建立以及定积分概念的建立，就充分反映了这种近似向精确转化的典型方式；又如定积分定义的基本原型是曲边梯形的面积，求曲边梯形面积采用微元法，而微元法采用分割、近似、求极限的过程，其基本思想也是先近似再精确，借助于极限方法从有限转化为无限，从量变过渡到质变。
闭区间连续函数的性质讨论也是一个典型的例子。
函数在某一点处连续并没有什么特殊之处，但当它在某一闭区间上每一点连续时，函数就具备了很多完美性质，如最值定理，介值定理，零点定理以及一致连续性等等，而这些性质在整个实数理论中占据重要地位，也为后续研究打下基础。
又如收敛数列极限中，随着的无限增大，数列的项无限接近于某一确定的数，当有项变到无项时，这种量的变化最终引起了质的变化，将变量变成了唯一常量。
可见只有当量积累到一定程度才能发生质的变化。
六、结语
总之，高等数学内部处处蕴含着辩证思想，辩证法观点在数学成果的推动下不断进步。
为培养出新型复合性创新人才，数学老师应将辩证法思维融入数学，使学生掌握完整系统的知识，有助于引导学生将所学知识应用于实践，使抽象枯燥的数学变得具体生动。
参考文献：
[1]同济大学数学系.高等数学（第六版） [M].北京：高等教育出版社，2012.
[2]郑毓信等.数学思维与数学方法论[M].成都：四川教育出版社，2001.
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