一元二次方程培优专题讲义
一元二次方程培优专题讲义
欢迎阅读数学培优专题讲义：一元二次方程一.知识的拓广延伸及相关史料1． 一元二次方程几种解法之间的关系 解一元二次方程有下列几种常用方法: （1） 配方法:如2670x x ++=，经配方得2(3)2x +=，再直接用开平方法；（2） 公式法； （3） 因式分解法。
这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，226x x +2． 步(算法》这个问题同样可以类似求解.3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。
本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。
（1）转化思想我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。
因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。
在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面：① 未知转化为已知，这是解方程的基本思路:② 一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的:③ 特殊转化为一般，一般转化为特殊。
例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程2670x x ++=归纳出用配方法解一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=的方法，进而得出一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。
又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。
;,在,可2242x x x+--例2． 解方程组712x y xy +=⎧⎨=⎩4． 配方法的妙用所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式。
配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用，是一种很重要、很基本的数学方法。
例1． 分解因式21203456x x -+ 例2．例3． 解方程421510240x x x -++= 例4． 求2242415x y y x +--+的最小值 5． 怎样巧用韦达定理解“看错数”问题 小红和小明一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，因而得方程的两个根是8和2；小红在化简过程中写9和－6x 2ax1,2x x 例（1）2x （3）2 1（1（2根，求（3） 若方程23520x x --=有一个根是a ,则2610a a -的值是多少?（4） 已知方程2(0)ax bx c a ++≠的一个根是1，那么a b c ++的值是多少?2. 解方程（1）222(3)3(3)2y y y y -=-- (2) 22(1)(2)4t t t t +-++=3．已知m 、n 是二次方程2199970x x ++=的两个根，求22(19996)(20008)m m n n ++++的值。
培优专题01 一元二次方程的解法-解析版
培优专题01 一元二次方程的解法◎方法一直接开平方法（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，.对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a（2）直接开平方法适用于解形如x2 = p或(mx+a)2 = p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1D．x1＝1，x2＝0【答案】B【分析】先移项，再两边开平方即可．【详解】解：∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，即x1=-1，x2=1．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-【答案】D【分析】根据直接开平方法求解可得．【详解】解：∵2(9)4x m -=+，且方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，∴40m +³，∴4m ³-．故选：D ．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）关于x 的方程2x p =．（1）当0p >时，方程有__________的实数根；（2）当0p =时，方程有__________的实数根；（3）当0p <时，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程290x -=的解为______．5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义a cad bcb d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若21493xx=，求x的值．(2)若11611x xx x+-=-+，求x的值．◎方法二 配方法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
初中数学代数培优：12讲专题10 一元二次方程的应用综合-讲义(含答案解析)
专题10 一元二次方程的应用综合【题型1 与一元二次方程有关的三角形动点问题】【例1】（2020秋•兴城市月考）如图，在△ABC内，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【变式1-1】（2020秋•茶陵县期末）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P 从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．（1）当t＝4时，求△APQ的面积．（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．【变式1-2】（2021•广州模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s 的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【变式1-3】（2020秋•鹤城区期末）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2√10cm？（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．【题型2 与一元二次方程有关的四边形动点问题】【例2】（2020秋•天宁区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为s．【变式2-1】（2021秋•渭滨区校级期中）如图，在边长为6cm正方形ABCD中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q 分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．【变式2-2】（2020秋•江岸区校级月考）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s 的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？【变式2-3】如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝8cm BD＝6cm，动点M从A点出发沿AC方向以2cm/s匀速直线运动到C点，动点N从B点出发沿BD方向以1cm/s匀速直线运动到D点，若M，N同时出发，设运动时间为t秒：（1）当t ＝1秒时，M ，N 两点之间的距离是多少？ （2）当2＜t ＜3时，用含t 的代数式表示OM 的长； 设W ＝MN 2，求W 关于t 的函数关系式； （3）当t 为何值时，△MON 的面积为14cm 2．【题型3 一元二次方程与一次函数的综合】【例3】（2020春•平潭县校级月考）北京国家体育场“鸟巢”的模型深受游客喜爱． 图中折线（AB ∥CD ∥x 轴）反映了某种规格“鸟巢”模型的单价y （元）与购买数量x （个）之间的函数关系． （1）求当10≤x ≤20时，y 与x 的函数关系式；（2）已知某旅游团购买该种规格的“鸟巢”模型的总金额为2625元，问该旅游团共购买这种模型多少个？（总金额＝数量×单价）【变式3-1】（2021春•天心区期末）为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y （单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？【变式3-2】（2020春•西湖区校级月考）某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售价800元，如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”该学习机的进货价与进货数量关系如图所示：（1）当x＞40时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台，每台学习机可以获利多少元；（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台．【变式3-3】（2020秋•麻城市校级月考）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．①求y与x之间的函数关系式；②若某段时间内该商品的销售单价为70元，则销售利润为多少元？（利润＝（销售单价﹣进价）×销售量）③要使销售利润达到800元，则销售单价应定为每千克多少元？④在一段时间内，销售利润能达到1000元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，说明理由．【题型4 与一元二次方程有关的阅读探究问题】【例4】（2020秋•洛宁县月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．任务：当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．【变式4-1】（2020秋•乐清市期末）阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意得方程组 {x +y =72xy =3，消去y 化简得：2x 2﹣7x +6＝0，∵b 2﹣4ac ＝49﹣48＞0，∴x 1＝ ，x 2＝ ， ∴满足要求的矩形B 存在．（2）如果已知矩形A 的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B ． （3）如果矩形A 的边长为m 和n ，请你研究满足什么条件时，矩形B 存在？【变式4-2】（2020•任城区三模）阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d 表示，我们可以用公式S ＝na +n(n−1)2×d 来计算等差数列的和．（公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，） 例如：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21＝10×3+10(10−1)2×2＝120． 用上面的知识解决下列问题． （1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116．（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，如表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．2009年 2010年 2011年 2012年 植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25200240002240020400【变式4-3】（2020秋•顺昌县校级月考）实验与探究：三角点阵前n 行的点数计算．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n 行有n 个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24＝300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n 行的点数的和与n 的数量关系前n 行的点数的和是1+2+3+…+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n ，可以发现．2×[1+2+3+…+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n ]＝[1+2+3+…+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n ]+[n +（n ﹣1）+（n ﹣2）+…3+2+1]把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n 项相加，上式等号的后边变形为这n 个小括号都等于n +1，整个式子等于n （n +1），于是得到1+2+3+…+（n ﹣2）+（n ﹣1）+n ＝n （n +1）这就是说，三角点阵中前n 项的点数的和是 n （n +1）． 下列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n 行的点数的和为300，则有12n （n +1）＝300整理这个方程，得：n 2+n ﹣600＝0解方程得：n 1＝24，n 2＝﹣25，根据问题中未知数的意义确定n ＝24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：（1）三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n 、…，你能探究出前n 行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．专题10 一元二次方程的应用综合【题型1 与一元二次方程有关的三角形动点问题】【例1】（2020秋•兴城市月考）如图，在△ABC 内，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm /s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm /s 的速度向C 点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？【解题思路】过点Q 作QE ⊥PB 于E ，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出QE =12QB ，设经过t 秒后△PBQ 得面积等于4cm 2，则PB ＝6﹣t ，QB ＝2t ，QE ＝t ，根据△PBQ 的面积等于4cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答过程】解：如图，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠QEB ＝90°. ∵∠ABC ＝30°， ∴QE =12QB ．设经过t 秒后△PBQ 得面积等于4cm 2，则PB ＝6﹣t ，QB ＝2t ，QE ＝t ， 根据题意得：12•（6﹣t ）•t ＝4，整理得：t 2﹣6t +8＝0， 解得：t 1＝2，t 2＝4．当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意舍去， ∴t ＝2．答：经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2．【变式1-1】（2020秋•茶陵县期末）如图1，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝12cm ，AC ＝8cm ，现有动点P 从点B 出发，沿射线BA 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿射线CA 方向运动，已知点P 的速度是2cm /s ，点Q 的速度是1cm /s ，它们同时出发，设运动时间是ts （t ＞0）． （1）当t ＝4时，求△APQ 的面积．（2）经过多少秒时，△APQ 的面积是△ABC 面积的一半．【解题思路】（1）根据点P 的速度是2cm /s ，点Q 的速度是1cm /s ，AP ＝4cm ，AQ ＝4cm ，利用面积公式求解；（2）设经过t 秒△APQ 的面积是△ABC 面积的一半，则BP ＝2tcm ，CQ ＝2tcm ，进而表示出AP ＝（12﹣2t ）cm ，AQ ＝（8﹣t ）cm ，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．【解答过程】解：（1）∵点P 的速度是2cm /s ，点Q 的速度是1m /s ， 当t ＝4时，BP ＝2t ＝8cm ，CQ ＝t ＝4cm ， ∴AP ＝4cm ，AQ ＝4cm ， ∴S △APQ =12×4×4＝8（cm 2）． （2）设经过t 秒△APQ 的面积是△ABC 面积的一半． 根据题意得：12S △ABC =12×12×12×8＝24cm 2， 当0＜t ＜6 时如图1：S △APQ =12（12﹣2t ）（8﹣t ）＝24， 整理得t 2﹣14t +24＝0， 解得t ＝12（舍去）或t ＝2．当6＜t＜8 时如图2：S△APQ=12（2t﹣12）（8﹣t）＝24，整理得t2﹣14t+72＝0，△＜0，无解．当t＞8时如图3：S△APQ=12（2t﹣12）（t﹣8）＝24，整理得t2﹣14t+24＝0，解得t＝12或t＝2（舍去）．综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．【变式1-2】（2021•广州模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s 的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【解题思路】（1）设经过x 秒，线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（2）分三种情况：①点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上（0＜t ≤4）；②点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上（4＜t ≤6）；③点P 在射线AB 上，点Q 在射线CB 上（t ＞6）；进行讨论即可求解．【解答过程】解：（1）设经过x 秒，线段PQ 能将△ABC 分成面积相等的两部分由题意知：AP ＝x ，BQ ＝2x ，则BP ＝6﹣x ，∴12（6﹣x ）•2x =12×12×6×8， ∴x 2﹣6x +12＝0，∵b 2﹣4ac ＜0，此方程无解，∴线段PQ 不能将△ABC 分成面积相等的两部分；（2）设t 秒后，△PBQ 的面积为1①当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上时此时0＜t ≤4由题意知：12（6﹣t ）（8﹣2t ）＝1， 整理得：t 2﹣10t +23＝0，解得：t 1＝5+√2（不合题意，应舍去），t 2＝5−√2，②当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 的延长线上时此时4＜t ≤6，由题意知：12（6﹣t ）（2t ﹣8）＝1， 整理得：t 2﹣10t +25＝0，解得：t 1＝t 2＝5，③当点P 在线段AB 的延长线上，点Q 在线段CB 的延长线上时此时t ＞6，由题意知：12（t ﹣6）（2t ﹣8）＝1， 整理得：t 2﹣10t +23＝0，解得：t 1＝5+√2，t 2＝5−√2，（不合题意，应舍去），综上所述，经过5−√2秒、5秒或5+√2秒后，△PBQ 的面积为1．【变式1-3】（2020秋•鹤城区期末）已知：如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝7cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动．当P 、Q 两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2？（2）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于2√10cm ？（3）△PQB 的面积能否等于7cm 2？请说明理由．【解题思路】（1）经过x 秒钟，△PBQ 的面积等于4cm 2，根据点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，表示出BP 和BQ 的长可列方程求解；（2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）令S △PQB ＝7，根据三角形的面积公式列出方程，再根据b 2﹣4ac 得出原方程没有实数根，从而得出△PQB 的面积不能等于7cm 2．【解答过程】解：（1）设经过x 秒以后，△PBQ 面积为4cm 2（0＜x ≤3.5）此时AP ＝xcm ，BP ＝（5﹣x ）cm ，BQ ＝2xcm ，由12BP ⋅BQ =4，得12(5−x)×2x =4， 整理得：x 2﹣5x +4＝0，解得：x ＝1或x ＝4（舍）；答：1秒后△PBQ 的面积等于4cm 2；（2）设经过t 秒后，PQ 的长度等于2√10cm ，由PQ 2＝BP 2+BQ 2，即40＝（5﹣t ）2+（2t ）2，解得：t ＝﹣1（舍去）或3．则3秒后，PQ 的长度为2√10cm ；（3）假设经过t 秒后，△PBQ 的面积等于7cm 2，即BP ×BQ 2=7，(5−t)×2t 2=7，整理得：t 2﹣5t +7＝0，由于b 2﹣4ac ＝25﹣28＝﹣3＜0，则原方程没有实数根，所以△PQB 的面积不能等于7cm 2．【题型2 与一元二次方程有关的四边形动点问题】【例2】（2020秋•天宁区校级月考）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 运动到点B 时，点Q 也停止运动；当△PQC 的面积等于16cm 2时，运动时间为 s ．【解题思路】设运动时间为xs （0≤x ≤6），则PB ＝（12﹣2x ）cm ，CQ ＝（6﹣x ）cm ，利用三角形面积的计算公式结合△PQC 的面积等于16cm 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答过程】解：设运动时间为xs （0≤x ≤6），则PB ＝（12﹣2x ）cm ，CQ ＝（6﹣x ）cm ，依题意，得：12（12﹣2x ）（6﹣x ）＝16， 整理，得：x 2﹣12x +20＝0，解得：x 1＝2，x 2＝10（不合题意，舍去）．故答案为：2．【变式2-1】（2021秋•渭滨区校级期中）如图，在边长为6cm 正方形ABCD 中，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 和CD 边向D 点以2cm /s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，△PBQ 的面积等于8cm 2．【解题思路】设经过x 秒，△PBQ 的面积等于8cm 2，分类讨论当0＜x ＜3秒时，Q 点在BC 上运动，P 在AB 上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当3＜x ＜6秒时，Q 点在CD 上运动，P 在AB 上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值．【解答过程】解：设经过x 秒，△PBQ 的面积等于8cm 2，当0＜x ＜3秒时，Q 点在BC 上运动，P 在AB 上运动，PB ＝6﹣x ，BQ ＝2x ，所以S △PBQ =12PB •BQ =12×2x ×（6﹣x ）＝8， 解得x ＝2或4，又知x ＜3，故x ＝2符合题意，当3＜x ＜6秒时，Q 点在CD 上运动，P 在AB 上运动，S △PBQ =12（6﹣x ）×6＝8，解得x =103． 故答案为：2或103．【变式2-2】（2020秋•江岸区校级月考）如图所示，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，AB ＝16cm ，AD ＝6cm ，动点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以3cm /s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止，点Q 以2cm /s 的速度向点D 移动（1）P ，Q 两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ 的面积为33cm 2？（2）P ，Q 两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q 的距离第一次是10cm ？【解题思路】当运动时间为t 秒时，PB ＝（16﹣3t ）cm ，CQ ＝2tcm ．（1）利用梯形的面积公式结合四边形PBCQ 的面积为33cm 2，即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）过点Q 作QM ⊥AB 于点M ，则PM ＝|16﹣5t |cm ，QM ＝6cm ，利用勾股定理结合PQ ＝10cm ，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答过程】解：当运动时间为t 秒时，PB ＝（16﹣3t ）cm ，CQ ＝2tcm ．（1）依题意，得：12×（16﹣3t +2t ）×6＝33， 解得：t ＝5．答：P ，Q 两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ 的面积为33cm 2．（2）过点Q 作QM ⊥AB 于点M ，如图所示．∵PM ＝PB ﹣CQ ＝|16﹣5t |cm ，QM ＝6cm ，∴PQ 2＝PM 2+QM 2，即102＝（16﹣5t ）2+62，解得：t 1=85，t 2=245（不合题意，舍去）．答：P ，Q 两点从出发开始到85秒时，点P 和点Q 的距离第一次是10cm ．【变式2-3】如图，菱形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，AC ＝8cm BD ＝6cm ，动点M 从A 点出发沿AC 方向以2cm /s 匀速直线运动到C 点，动点N 从B 点出发沿BD 方向以1cm /s 匀速直线运动到D 点，若M ，N 同时出发，设运动时间为t 秒：（1）当t ＝1秒时，M ，N 两点之间的距离是多少？（2）当2＜t ＜3时，用含t 的代数式表示OM 的长；设W ＝MN 2，求W 关于t 的函数关系式；（3）当t 为何值时，△MON 的面积为14cm 2．【解题思路】（1）利用菱形的性质得出OM 、ON ，利用勾股定理得出MN 即可；（2）当2＜t ＜3时，OM ＝2t ﹣4，ON ＝3﹣t ，利用勾股定理求得MN 的平方即可；（3）根据点M 、N 运动过程中与O 点的位置关系，分当t ＜2时，点M 在线段AO 上，点N 在线段BO 上、当2＜t ＜3时，点M 在线段OC 上，点N 在线段BO 上和当t ＞3时，点M 在线段OC 上，点N 在线段OD 上三种情况分别讨论，利用三角形的面积建立方程求得答案即可．【解答过程】解：（1）∵菱形ABCD 中，AC ＝8cm BD ＝6cm ，∴OA ＝4，OB ＝3，∵当t ＝1秒时，OM ＝4﹣2＝2，ON ＝3﹣1＝2，∴MN =√22+22=2√2；（2）当2＜t ＜3时，OM ＝2t ﹣4，ON ＝3﹣t ，W ＝MN 2＝OM 2+ON 2＝（2t ﹣4）2+（3﹣t ）2＝5t 2﹣22t +25；（3）①当t ＜2时，点M 在线段AO 上，点N 在线段BO 上．12（4﹣2t ）（3﹣t ）=14；解得t 1=5+√22，t 2=5−√22， ∵t ＜2，∴t =5−√22； ②当2＜t ＜3时，点M 在线段OC 上，点N 在线段BO 上，12（2t ﹣4）（3﹣t ）=14；解得t 1＝t 2=52；③当t ＞3时，点M 在线段OC 上，点N 在线段OD 上，12（2t ﹣4）（t ﹣3）=14；解得t 1=5+√22，t 2=5−√22， ∵t ＞3，∴t =5+√22． 综上所述，出发后√5−22s 或52s 或5+√22s 时，△MON 的面积为14cm 2． 【题型3 一元二次方程与一次函数的综合】【例3】（2020春•平潭县校级月考）北京国家体育场“鸟巢”的模型深受游客喜爱． 图中折线（AB ∥CD ∥x 轴）反映了某种规格“鸟巢”模型的单价y （元）与购买数量x （个）之间的函数关系．（1）求当10≤x ≤20时，y 与x 的函数关系式；（2）已知某旅游团购买该种规格的“鸟巢”模型的总金额为2625元，问该旅游团共购买这种模型多少个？（总金额＝数量×单价）【解题思路】（1）设出一次函数解析式，把B 、C 两点的坐标代入可得所求函数关系式；（2）所用金额既不是200的倍数，也不是150的倍数，可得模型的单价在150和200之间，根据总价等于2625得到一元二次方程，求解即可．【解答过程】解：（1）当10≤x ≤20时，设y ＝kx +b （k ≠0）（11分）依题意，得{10k +b =20020k +b =150， 解得{k =−5b =250， ∴当10≤x ≤20时，y ＝﹣5x +250；（2）∵10×200＜2625＜20×150∴10＜x ＜20，依题意，得xy ＝x （﹣5x +250）＝2625，即x 2﹣50x +525＝0，解得x 1＝15，x 2＝35（舍去）∴只取x ＝15．答：该旅游团共购买这种模型15个．【变式3-1】（2021春•天心区期末）为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y （单位：台）和销售单价x （单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？【解题思路】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；（2）设此设备的销售单价为x 万元/台，则每台设备的利润为（x ﹣30）万元，销售数量为（﹣10x +900）台，根据总利润＝单台利润×销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其小于60的值即可得出结论．【解答过程】解：（1）设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0），将（35，550）、（40，500）代入y ＝kx +b ，得{35k +b =55040k +b =500． 解得：{k =−10b =900， ∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝﹣10x +900；（2）设此设备的销售单价为x 万元/台，则每台设备的利润为（x ﹣30）万元，销售数量为（﹣10x +900）台，根据题意得：（x ﹣30）（﹣10x +900）＝8000．整理，得：x 2﹣120x +3500＝0，解得：x 1＝50，x 2＝70．∵此设备的销售单价不得高于60万元，∴x ＝50．答：该设备的销售单价应是50万元/台．【变式3-2】（2020春•西湖区校级月考）某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售价800元，如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”该学习机的进货价与进货数量关系如图所示：（1）当x ＞40时，用含x 的代数式表示每台学习机的售价；（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台，每台学习机可以获利多少元；（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台．【解题思路】（1）根据如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元，可列式；（2）先根据待定系数法计算直线的解析式，再计算x ＝60时的进价和售价，可得利润；（3）分当x ＞40和当x ≤40时，分别计算每台的售价，列方程解出即可．【解答过程】解：（1）由题意得：当x ＞40时，每台学习机的售价为（单位：元）：800﹣5（x ﹣40）＝﹣5x +1000；（2）设图中直线解析式为：y ＝kx +b ，把（0，700）和（50，600）代入得：{50k +b =600b =700， 解得：{k =−2b =700， 直线解析式为：y ＝﹣2x +700，当x ＝60时，进价为：y ＝﹣2×60+700＝580，售价为：800﹣5×（60﹣40）＝700，则每台学习机可以获利：700﹣580＝120（元）；（3）当x ＞40时，每台学习机的利润是：（﹣5x +1000）﹣（﹣2x +700）＝﹣3x +300，则x （﹣3x +300）＝4800，解得：x 1＝80，x 2＝20（舍），当x ≤40时，每台学习机的利润是：800﹣（﹣2x +700）＝2x +100，则x （2x +100）＝4800，解得：x 1＝30，x 2＝﹣80（舍），答：则该商店可能购进并销售学习机80台或30台．【变式3-3】（2020秋•麻城市校级月考）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数关系如图所示． ①求y 与x 之间的函数关系式；②若某段时间内该商品的销售单价为70元，则销售利润为多少元？（利润＝（销售单价﹣进价）×销售量）③要使销售利润达到800元，则销售单价应定为每千克多少元？④在一段时间内，销售利润能达到1000元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，说明理由．【解题思路】①当20≤x ≤80时，利用待定系数法即可得到y 与x 的函数表达式； ②把x ＝70代入函数式求得销量，然后由利润＝（销售单价﹣进价）×销售量求得答案； ③根据销售利润达到800元，可得方程，解方程即可得到销售单价； ④根据销售利润达到1000元，可得方程，解方程即可得到销售单价． 【解答过程】解：①当0＜x ＜20时，y ＝60； 当20≤x ≤80时，设y 与x 的函数表达式为y ＝kx +b ， 把（20，60），（80，0）代入，可得 {60=20k +b 0=80k +b ， 解得{k =−1b =80，∴y ＝﹣x +80，∴y 与x 的函数表达式为y ={60(0≤x ≤20)−x +80(20＜x ≤80)；②把x ＝70代入y ＝﹣x +80，得到：y ＝﹣70+80＝10， 故w ＝（70﹣20）×10＝500（元）；③若销售利润达到800元，若20≤x ≤80，则（x ﹣20）（﹣x +80）＝800， 解得x 1＝40，x 2＝60，若0＜x ＜20，则（x ﹣20）×60＝800， 解得x =1003（不合题意），∴要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元． ④根据题意，得（x ﹣20）（﹣x +80）＝1000， 整理，得x 2﹣100x +2600＝0． 因为△＝1002﹣4×2600＝﹣400＜0， 所以方程无实数根， 所以不能达到1000元．【题型4 与一元二次方程有关的阅读探究问题】【例4】（2020秋•洛宁县月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形． 如图，矩形A 1B 1C 1D 1是矩形ABCD 的“减半”矩形．任务：当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．【解题思路】假设存在，设“减半”矩形的长为x ，则宽为（92−x ），根据矩形的面积公式，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答过程】解：假设存在，设“减半”矩形的长为x ，则宽为（92−x ），依题意，得：x （92−x ）=12×8×1，整理，得：x 2−92x +4＝0， 解得：x 1=9+√174，x 2=9−√174． 当x =9+√174时，92−x =9−√174，符合题意； 当x =9−√174时，92−x =9+√174＞9−√174，不合题意，舍去． ∴长为8，宽为1的矩形存在“减半”矩形，且“减半”矩形的长为9+√174，宽为9−√174． 【变式4-1】（2020秋•乐清市期末）阅读探究：“任意给定一个矩形A ，是否存在另一个矩形B ，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格） （1）当已知矩形A 的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意得方程组 {x +y =72xy =3，消去y 化简得：2x 2﹣7x +6＝0，∵b 2﹣4ac ＝49﹣48＞0，∴x 1＝ ，x 2＝ ， ∴满足要求的矩形B 存在．（2）如果已知矩形A 的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B ． （3）如果矩形A 的边长为m 和n ，请你研究满足什么条件时，矩形B 存在？ 【解题思路】（1）利用求根公式即可求出方程的两根；（2）仿照（1）找准关于x 的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣7＜0，可得出方程无解，即不存在满足要求的矩形B ；（3）仿照（1）找准关于x 的一元二次方程，由根的判别式△≥0，可找出m 、n 之间的关系． 【解答过程】解：（1）利用求根公式可知：x 1=7−12×2=32，x 2=7+12×2=2． 故答案为：32；2．（2）设所求矩形的两边分别是x 和y ， 根据题意得：{x +y =32xy =1， 消去y 化简得：2x 2﹣3x +2＝0．∵b 2﹣4ac ＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0， ∴该方程无解，∴不存在满足要求的矩形B ．（3）设所求矩形的两边分别是x 和y ， 根据题意得：{x +y =m+n2xy =mn2， 消去y 化简得：2x 2﹣（m +n ）x +mn ＝0． ∵矩形B 存在，∴b 2﹣4ac ＝[﹣（m +n ）]2﹣4×2mn ≥0， ∴（m ﹣n ）2≥4mn ．故当m 、n 满足（m ﹣n ）2≥4mn 时，矩形B 存在． 【变式4-2】（2020•任城区三模）阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d 表示，我们可以用公式S ＝na +n(n−1)2×d 来计算等差数列的和．（公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，） 例如：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21＝10×3+10(10−1)2×2＝120． 用上面的知识解决下列问题． （1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116．（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，如表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．2009年 2010年 2011年 2012年 植树后坡荒地的实际面积（公顷）25200240002240020400【解题思路】（1）利用材料中的公式解答；（2）设在2009年的基础上，再过x 年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．从表格中可以看到2010年坡荒地是面积减少了1200公顷，则依次减少的公顷数是1600，2000+…+400（x ﹣1），根据2009年植树后坡荒地是实际面积是25200公顷列方程求解．【解答过程】解：（1）2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116＝20×2+20×192×6＝1180． （2）解：设再过x 年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得。
一元二次方程培优专题讲义(最新整理)
数学培优专题讲义：一元二次方程一.知识的拓广延伸及相关史料1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得2670x x ++=，再直接用开平方法；2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。
这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为即可，或原方程22(3)0x +-=经配方化为，再求解时，2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。
公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。
由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。
因式分解法还可推广到高次方程。
2．我国古代的一元二次方程提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。
事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。
我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。
下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.”这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题.上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。
原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解.3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。
本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。
（1）转化思想我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。
因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。
在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面：①未知转化为已知，这是解方程的基本思路:②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的:③特殊转化为一般，一般转化为特殊。
第一讲 培优竞赛一元二次方程的解法辅导
第一讲 一元二次方程的定义及解法培优竞赛辅导【基础知识回顾】知识点一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程2、一元二次方程的一般形式：,其中二次项是,一次项是，是常数项。
3 、一元一次方程的解:常用的两个结论是：①a ＋b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为1；②a －b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为－1;若c=0呢?题型一：一元二次方程的概念例1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A 02=++c bx axB 02112=-+x xC 1222+=+x x xD ()()12132+=+x x 变:（1)当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
(2)方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。
题型二：一元二次方程的解例2.关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为变:（1）已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为(2)若n ﹙n ≠0﹚是关于x 的方程x 2＋mx ＋2n ＝0的根，则m ＋n 的值。
(3)设设a 是方程x 2－2005x ＋1＝0的一个根，则a 2－2004a ＋＝ (4)已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。
知识点二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果2ax b =( )，则2x = ，1x = ，2x = 。
2、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生0A B = 的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根.3、配方法：解法步骤：①化二次项系数为即方程两边都二次项系数；②移项：把项移到方程的边；③配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式；④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。
九年级上下册数学培优系统讲义
九年级上下册数学培优系统讲义第1讲 一元二次方程㈠★知识点精讲1.一元二次方程的概念⑴ 只含有 个未知数，未知数的最高次数是 且二次项系为_____的整式方程叫一元二次方程.⑴一元二次方程的一般形式()002≠=++a c bx ax ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 .2.一元二次方程的解法⑴直接开平方法：针对()()02≥=+an n a m x⑴配方法：针对()002≠=++a c bx ax ，再通过配方转化成())0(2≥=+n n m x a注：① 配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方，右边是一个非负 常数的形式；②配方法常用于证明一个式子恒大于0或恒小于0，或者求二次函数的最值.⑶ 公式法：当0≥∆时（=∆ ），用求根公式 ，求一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的方法.⑶ 因式分解法：通过因式分解，把方程变形为()()0=--n x m x a ，则有m x =或n x =.注：⑴ 因式分解的常用方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法.⑵ 此法可拓展应用于求解高次方程.典型例题讲解及思维拓展●例1 ⑴方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m = .⑴关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 有一个根是0，则a = .拓展变式练习11.关于x 的方程03)3(72=+---x x m m 是一元二次方程，则m =__________.2.已知方程012=-+mx x 的一个根121-=x ，则m 的值为 .●例2 解下列方程：⑶0182=+-x x ⑵()()2221239x x -=-拓展变式练习2解下列方程:⑶8632+-=x x⑵()()2221239x x -=-⑶()()1232=--x x⑶()222596x x x -=+-⑸04)32(5)23(2=+-+-x x⑹()()02123122=++-+x x⑺()2223n n m x m x =+--⑻a x a ax x -=+-222●例3 已知0132=-+x x ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷--2526332x x x x x 的值.拓展变式练习3 1.已知0200052=--x x ，求()()211223-+---x x x 的值.2.已知0132=+-a a ，求2219294a a a ++--的值.■ 巩固训练题一、填空题1.若方程()()053222=-++--x m x m m 是一元二次方程，则m 的值为 . 2.已知方程()()08=-+x a x 的解与方程0872=--x x 的解完全相同，则a = .3.如果二次三项式226m x x +-是一个完全平方式，那么m 的值是___________.4.若412+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是___________.5.已知06522=--y xy x ，则yx 的值是 . 6.已知7532=++x x ，则代数式2932-+x x 的值为________________.二、解答题1. 解下列方程：⑴ 04052=-x ⑴ ()0644292=-+x⑶20x x -= ⑶ 0813642=+-x x⑶ 22)52()2(+=-x x （6）()x x 210532-=-2. 某商店如果将进价为8元的商品按10元销售，每天可售出200件，通过一段时间的摸索，该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，每降价0.5元，其销售量就增加10件.（1）你能帮店主设计一种方案，使每天的利润达到700元吗？（2）当售价是多少元时，能使一天的利润最大？最大利润是多少？■思维与能力提升1. 设a 、b 为实数，求542222+-++b b ab a 的最小值，并求此时a 、b 的值.2.设a 、b 、c 为实数，求1984254222+--+++c b c b ab a 的最小值，并求此时c b a ++的值.3.已知()012009200720082=-⨯-x x 的较大根为a ，020*******=--x x 的较小根为b ，求()2003b a +.4.如图，锐角∆ABC 中，PQRS 是∆ABC 的内接矩形，且S S PQRS ABC n 矩形=∆，其中n 为不小于3的自然数，求证：AB BS为无理数.DS 金牌数学专题二 一元二次方程㈡★知识点精讲1.一元二次方程根的判别式⑴ 根的判别式：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 是否有实根，由 的符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用∆表示，即 .⑵ 一元二次方程根的情况与判别式的关系：⇔>∆0方程有 的实数根；⇔=∆0方程有 的实数根；⇔<∆0方程 实数根；⇔≥∆0方程 实数根.2.根系关系（韦达定理）⑴ 对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根21x x ，，有ab x x -=+21，ac x x =⋅21 ⑵ 推论：如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21，q x x =⋅21. ⑶ 常用变形：()2122122212x x x x x x -+=+ ()()212212214x x x x x x -+=- 3.列方程解应用题的一般步骤：⑴______，⑵______，⑶______⑷______，⑸______，⑹______.4.常见题型⑴ 面积问题；⑵ 平均增长（降低）率问题；⑶ 销售问题；⑷ 储蓄问题.典型例题讲解及思维拓展●例1. 若关于x 的方程()()0122122=++--x m x m 有实根，求m 的取值范围.拓展变式练习11.若关于x 的方程032)1(22=-+++-m m x x m 有实数根，求m 的值.2.是否存在这样的非负整数m ，使得关于x 的一元二次方程()0191322=-+--m x m mx 有两个不相等的实数根，若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.●例2 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，求下列代数式的值： ⑶2112x x x x + ⑶ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+122111x x x x ⑶ ()221x x -拓展变式练习21. 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，，求下列各式的值：⑶ 321231x x x x + ⑶ 112112+++x x x x ⑶ 21x x -2.已知关于x 的方程()024122=+--m x m x ，是否存在正数m ，使方程的两实根的平方和等于224？若存在，则求出来；若不存在，说明理由.●例3 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A 市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？拓展变式练习31. 市政府为解决市民看病贵的问题，决定下调一些药品的价格.某种药品的售价为125元/盒，连续两次降价后的售价为80元/盒，假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率.2. 王洪将100元暑期勤工俭学所得的100元，按一年期定期存入少儿银行，到期后取出本息和，其中的50元捐给希望工程，余下的部分又按一年定期存入，这时存款利率已下调到第一年的一半，这样到期后得本息和共63元，求第一年的存款利率.3.一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数．．，用y(元)表示该店日净收入．(日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定支出).⑴求y与x的函数关系式；(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？■巩固训练题一、填空题1.已知方程022=+-m x x 的一个根是51-，则另一根为 ，m = . 2.如果21x x ，是两个不相等的实数，且12121=-x x ，12222=-x x ，则=21x x .3.若a 、b 是方程0532=--x x 的两个实数根，则b b a 3222-+= .4.以2与－6为根的一元二次方程是 .5. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，则平均每次降价的百分比率是____________.6.巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ，则可列方程为 .二、解答题1.已知a 、b 是方程042=+-m x x 的两个根，b 、c 是方程0582=+-m x x 的两个根，求m 的值.2.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委 州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量W(克)与销售价x (元/千克)有如下关系：W=－2x ＋80.设这种产品每天的销售利润y (元).(1)求y 与x 之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？■思维与能力提升1.当k 是什么整数时，方程()()072136122=+---x k x k 有两个不相等的正 整数根？2.已知关于x 的方程()0321222=--++-m m x m x 的两个不相等实数根中 有一根为0.是否存在实数k ，使关于x 的方程()02522=-+----m m k x m k x 的两个实根21x x ，之差的绝对值为1？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.3.已知21x x ，是关于x 的方程()002≠=++p q px x 的两个实数根，且13222121=++x x x x ，()()0211211=+++x x xx ，求q p +的值.4．已知实数a 、b 、c 满足2=++c b a ，4=abc ，求a 、b 、c 中最大者的 最小值.■补充讲解■反思与归纳DS 金牌数学专题三反比例函数★知识点精讲1.反比例函数⑴ 概念：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成x k y =（k 为常数，0≠k ）的形式，那么称y 是x 的反比例函数，其中自变量x 不能为零. ⑵ 常见形式：x k y =（k 为常数，0≠k ），1-=kx y （k 为常数，0≠k ）， k xy =（k 为常数，0≠k ） 2.反比例函数的图象 ⑴ 反比例函数x k y =（k 为常数，0≠k ）的图象是由两条曲线组成的，叫 做 ，因为0≠k 、0≠x ，所以函数图象与x 、y 轴均无交点，而且它是一个以原点为对称中心的中心对称图形. ⑵ 图象基本性质0>k 0<k反 比 例 函 数 图 象性 质两分支位于 象限， 在每一象限内，y 随x 的增大 而两分支位于 象限， 在每一象限内，y 随x 的增大 而⑶ k 的几何意义=AOBP S 矩形_________.=∆AOP S Rt __________.3.直线1y k x m =+和双曲线x k y 2=的交点⑴求直线1y k x m =+和双曲线x k y 2=的交点就是求方程组 的解．反之，交点坐标同时满足两个函数的解析式，可利用待定系数法求解. ⑵ 交点个数由两方程组成的方程组转化得到的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解的情况决定．①当 时，直线与双曲线有两个交点． ②当 时，直线与双曲线有一个交点．y P(m,n) AoxB③当 时，直线与双曲线没有交点． 4.反比例函数和一次函数的综合应用① 交点与解析式相互转化 ② 求三角形、四边形面积 ③ 特殊三角形、四边形的存在性问题 ④ 其它综合典型例题讲解及思维拓展 ● 例1 若反比列函数1232)12(---=k kx k y 的图像经过二、四象限.⑴求k 的值.⑵ 若点()1,2y A -，()2,1y B -，()3,3y C 都在其图象上，比较，，的大小关系.拓展变式练习11.若反比例函数22)12(--=m x m y 的图像在第一、三象限，则m 的值是 .2.在函数（为常数）的图象上有三个点（-2，），(-1，)，（，），函数值，，的大小为 . 3.设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，，则的取值范围是___________.1y 2y 3y x k y 22--=k 1y 2y 213y 1y 2y 3y●例2 如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于A 、B 两点.（1）根据图象，分别写出A 、B 的坐标； （2）求出两函数解析式；（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值拓展变式练习21. 如图，一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上一点且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数(0)ky k x=>的图象于Q ，32OQC S ∆=，求k 的值和Q 点的坐标.2. 已知21y y y -=，1y 与x 成反比例，2y 与2x 成正比例，且当1-=x 时，5-=y ；1=x 时，1=y .求y 与x 之间的函数关系式.x yO A P C QBOxyBA D C 3.已知函数221y y y +=，1y 与2x 成正比例，2y 与x 2成反比例，且当1-=x 时，1=y ；当2=x 时，437=y .求y 关于x 的函数关系式.●例3 如图，已知反比例函数()0<=k y x k 的图象经过点A (3)m -，，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为3. ①求k 和m 的值；②若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数和AO :AC 的值.拓展变式练习31.已知点A 是直线)1(++-=k x y 和双曲线x k y =在第四象限的交点，AB⊥x 轴于点B ，且S 5.1=∆ABO .（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积；（3）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围.2.如图，一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，5OB =．且点B 横坐标是点B 纵坐标的2倍． （1）求反比例函数的解析式；（2）设点A 横坐标为m ，ABO △面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出自变量m 的取值范围．3.如图所示，点A 、B 在反比例函数()0≠=k y xk 的图象上，且点A 、B•的横坐标分别为a 、2a （a >0），AC⊥x 轴于点C ，且△AOC 的面积为2． （1）求该反比例函数的解析式． （2）若点（-a ，1y ）、（-2a ，2y ）在该函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小． （3）求△AOB 的面积．O xyA C DB●例4 若一次函数12-=x y 和反比例函数x k y 2=的图象都经过点（1，1）．⑴求反比例函数的解析式；⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标； ⑶利用（2）的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．拓展变式练习41.已知反比例函数x k y 2=和一次函数12-=x y ，其中一次函数图像经过（a ，b ）（a ＋1，k b +）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A 点坐标；（3）利用（2）的结论，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，所符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．2. C 、D 是双曲线x my =在第一象限内的点，直线CD 分别交x 轴、y 轴于 A 、B 两点，设C 、D 坐标分别是(1x ，y 1)、(2x ，y 2)，连结OC 、OD.∠AOD=∠BOC=α，作CE⊥y 轴 ，DF⊥x 轴，且31==OF DFOE CE ，10=OC . ⑴求C 、D 的坐标和m 的值.⑵求OCD S ∆.⑶双曲线上是否存在一点P ，使得POD POC S S ∆∆= 若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.3.已知双曲线()0163>=x y x，与经过点A(1，0)、B(0，1)的直线交于点P 、Q ，连结OP 、OQ.⑴求证：ΔOAQ≌ΔOBP⑵若C 是OA 上不与O 、A 重合的任意一点，CA=a ，(0<a <1)，CD⊥AB 于D ，DE⊥OB 于E.①a 为何值时，CE=AC ？②在线段OA 上是否存在点C ，使点CE∥AB？若存在这样的点，则请写出点C 的坐标，若不存在，请说明理由.xyCDA B EF OA ． x y OB ． x y OC ．x y O D ． x y O■巩固训练题一、选择题 1.函数x k y =的图象经过点（－4，6），则下列各点中在xk y =图象上的是（ ） A.（3，8） B.（3，－8） C.（－8，－3） D.（－4，－6） 2.已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是（ ）A.正数B.负数C.非正数D.不能确定 3.已知点P 是反比例函数()0≠=k y xk 的图像上任一点，过P•点分别作x 轴，y 轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．±2 D．44.如图，已知函数ky x=-中，0x >时，y 随x 的增大而增大，则y kx k =-的大致图象为（ ）5.已知关于x 的函数()1-=x k y 和y=-kx(k ≠0),它们在同一坐标系内的图像大致是下图中的( )二、解答题1.如图，正比例函数()0>=k kx y 与反比例函数xk y =的图象交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 点作x 轴的垂线，垂足为D ，求S 四边形ABCD ．2.制作一种产品，需先将材料加热到60C ︒后，再进行操作，设刻材料温度为y C ︒，从开始加热计算的时间为x 分钟，据了解，该材料加热后，温度y 与时间成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系(如图)，已知该材料在操作加工前的温度为15C ︒，加热5分钟后温度达到60C ︒. ⑴分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系；⑵拫据工艺要求，当材料的温度低于15C ︒时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多长时间？3.等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为（33,3-）， 点B 的坐标为（－6，0）.（1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形O A B ''，请直接写出A 、B 的对称点A 'B '、的坐标；（2）若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数x y 36=的图像上，求a 的值；（3）若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度（090α<<）. ①当α=30时点B 恰好落在反比例函数x k y =的图像上，求k 的值． ②问点A 、B 能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出α的值；若不能，请说明理由.y xO56015■思维与能力提升1、如图，在直角坐标平面内，函数x my =（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，连结AD 、DC 、CB ．（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标；（2）求证：DC AB ∥；（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．2.如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在()5.01，C 处，两直角边分别与y x ，轴平行，纸板的另两个顶点恰好是直线29+=kx y 与双曲线)0(>=m y x m的交点．（1）求m 和k 的值；（2）设双曲线)0(>=m y xm 在B A ,之间的部分为L ，让一把三角尺的直角顶点P 在L 上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB 交于N M ,两点，请探究是否存在点P 使得AB MN 21=，写出你的探究过程和结论．B A ，yONM CP3.如图，已知直线AB 交两坐标于A 、B 两点，且OA=OB=1，点P （a 、b ）是双曲线x y 21=上在第一象内的点过点P 作PM⊥x 轴于M 、PN⊥y 轴于N ．两垂线与直线AB 交于E 、F ．（1）写出点E 、F 的坐标（分别用a 或b 表示） （2）求△OEF 的面积（结果用a 、b 表示）； （3）△AOF 与△BOE 是否相似？请说明理由；（4）当P 在双曲线x y 21=上移动时，△OEF 随之变动，观察变化过程，△OEF 三内角中有无大小始终保持不变的内角？若有，请指出它的大小，并说明理由．■补充讲解■反思与归纳DS 金牌数学专题四直角三角形的边角关系㈠★知识点精讲1.在ABC Rt ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______tan =A ；锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______cot =A .2.坡比、坡角①坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做________，用字母i 表示，即________=i ，坡面与水平面的夹角α叫________，即_______tan =α. ②工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的_______和________的比称为坡度或坡比，坡度是坡角的_______，坡度______，坡面越陡. 3.在ABC Rt ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______sin =A ；锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______cos =A .4.在ABC Rt ∆中，若︒=∠+∠90B A ，则A sin 与A cos 的关系是_______，由此可得()_______90sin =-︒A ，()_______90cos =-︒A .典型例题讲解及思维拓展● 例1. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果125tan =A ，且24=AC ，求：⑴BC 和AB 的长；⑵A sin 和A cos 的值.拓展变式练习11. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果135tan =A ，且26=AC ，求：⑴BC 和AB 的长； ⑵A sin 和A cos 的值.2.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，D 是BC 上的一点，34tan =∠ADC ，21tan =B ，BD=5，求AD 的长.3.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，D 是AC 的中点，且BC=AC ，求CDA ∠tan 和DAC ∠sin 的值.●例2.如图，某县为了增强防洪能力，加固长90米，高5米，坝顶宽为4米，迎水坡和背水坡的坡度都是1：1的横断面是梯形的防洪大坝.要讲大坝加高1米，背水坡的坡度改为1：1.5，已知坝顶宽不变，问大坝的横截面积增加了多少平方米？增加了多少立方米土方？拓展变式练习21. 如图，拦水坝的横截面为梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，AD=6，BC=14，梯形ABCD的面积是40，求斜坡AB的坡度.2. 如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度3:1i，斜坡CD的坡度为c，求斜坡AB的坡角(精确到'1），坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到1.0m)3. 泸杭甬高速公路拓宽宁波段工程进入全面施工阶段，在现有双向四车道的高速公路两侧经加宽形成双向八车道.如图，路基原横断面为等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，斜坡DC 的坡度为i 1，在其一侧加宽DF=7.75米，点E 、F 分别在BC 、AD 的延长线上，斜坡FE 的坡度为i 2(i 1<i 2).设路基的高DM=h 米，拓宽后横断面一侧增加的四边形DCEF 的面积为s 米2. (1)已知i 2=1:1.7，h=3米,求ME 的长.(2)不同路段的i 1、i 2、、、h 是不同的，请你设计一个求面积S 的公式(用含i 1、i 2的代数式表示).● 例3. 计算︒+︒-︒-︒︒30tan 345sin 260cos 45cos 30sin拓展变式练习3 1.计算下列各题：⑴()()2121145sin 260tan 130sin 2-︒+︒---︒-； ⑵()212321+-+÷-x x x ，其中︒-︒=60cos 245sin 4x .2. 在ABC ∆中，若()0cos 1tan 223=-+-B A ，其中A ∠、B ∠均为锐角，求C ∠的度数.3. 已知31tan =α且α为锐角，求ααααcos sin 2cos 2sin 3+-的值.■巩固训练题1.已知211(sin )sin 22αα-=-，则锐角α的取值范围是 .2.在△ABC 中，90C ∠=︒且两直角边a b 、满足22560a ab b -+=，则sin A = .3.如图，已知AD 为等腰△ABC 底边上的高，且4tan 3B =，AC 上有一点E ，满足2:3AE EC =:，那么tan ADE ∠= .二.解答题1.如图，在四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，90ABC CDA ∠=∠=︒,2CD =，3BC =，求AB 的长.2. 两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A =60°，AC =1. 固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1) 如图 (1)，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.(2)如图 (2)，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由.(3)如图 (3)，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转 △DEF ，使DF 落在AB 边上，此时F 点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sinα 的值.A B E FC D 图 (1)A B E F CD 图 (2)A B() (F )C D 图 (3) Eα■ 思维与能力提升在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，若A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c . ⑴若()A A 22sin sin =，()A A 22cos cos =，请根据三角形函数的定义证明：①1cos sin 22=+A A ； ②BBB cos sin tan =.⑵根据上面的两个结论解答：①若2cos sin =+A A ，求A A cos sin -的值；②若2tan =B ，求B B BB sin cos 2sin cos 4+-的值.■ 补充讲解■反思与归纳DS金牌数学专题五直角三角形的边角关系㈡★知识点精讲1.仰角、俯角：①当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的角叫；②当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的角叫.2.方位角：指北或指南方向与_____________所成的夹角叫方位角.典型例题讲解及思维拓展●例1.如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）拓展变式练习11.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30︒，B村的俯角为60︒（如图7）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，）QB C PA450 60︒30︒图72.在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC ，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D 的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后， 又在点B 处测得条幅顶端D 的仰角为45°，已知测点A 、B 和C 离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D 点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据．）3.在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：（1）在大树前的平地上选择一点A ，测得由点A 看大树顶端C 的仰角为35°； （2）在点A 和大树之间选择一点B （A 、B 、D 在同一直线上），测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45°；（3）量出A 、B 两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD 的高度.（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）23 1.732≈≈60o4.如图，在小山的西侧A 处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C 处，这时热气球上的人发现，在A 处的正东方向有一处着火点B ，十分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角为15°，求热气球升空点A 与着火点B 的距离. 结果保留根号，参考数据：42615sin -=︒，42615cos +=︒，3215tan -=︒，3215cot +=︒.● 例2. 如图，在某海域内有三个港口A 、D 、C ．港口C 在港口A 北偏东60方向上，港口D 在港口A 北偏西60方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30的方向驶离A 港口3小时后到达B 点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B 处测得港口C 在B 处的南偏东75方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B 处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．拓展变式练习21.根据“十一五”规划，元双(双柏—元谋)高速工路即将动工.工程需要测量某一条河的宽度.如图，一测量员在河岸边的A 处测得对岸岸边的一根标杆B 在它的正北方向，测量员从A 点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C 处，测得 68=∠ACB .求所测之处河AB 的宽度.（o o o sin68≈0.93,cos68≈0.37,tan68≈2.48）2.载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6月2日奥运圣火在古城荆州传递， 途经A 、B 、C 、D 四地，其中A 、B 、C 三地在同一直线上，D 地在A 地北偏东45º方向，在B 地正北方向，在C 地北偏西60º方向．C 地在A 地北偏东75º方向．B 、D 两地相距2km ．问奥运圣火从A 地传到D 地的路程大约是多少？（最后结果．．．．保留整数，参考数据：2 1.4,3 1.7≈≈）A CB3.如图，A 、B 、C 三个粮仓的位置如图所示，A 粮仓在B 粮仓北偏东26，180千米处；C 粮仓在B 粮仓的正东方，A 粮仓的正南方．已知A 、B 两个粮仓原有存粮共450吨，根据灾情需要，现从A 粮仓运出该粮仓存粮的53支援C粮仓，从B 粮仓运出该粮仓存粮的52支援C 粮仓，这时A 、B 两处粮仓的存粮吨数相等．（sin 260.44=，cos 260.90=，tan 260.49=） （1）A 、B 两处粮仓原有存粮各多少吨？ （2）C 粮仓至少需要支援200吨粮食，问此调拨计划能满足C 粮仓的需求吗？ （3）由于气象条件恶劣，从B 处出发到C 处的车队来回都限速以每小时35公里的速度匀速行驶，而司机小王的汽车油箱的油量最多可行驶4小时，那么小王在途中是否需要加油才能安全的回到B 地？请你说明理由．■巩固训练题 一、选择题1. 已知α为锐角，且cot （90°－α）＝3，则α的度数为（ ） A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°北南 西东CB A262.如图，在Ｒt △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝900，∠Ａ＝300，Ｅ为ＡＢ上一点且ＡＥ：ＥＢ＝4：1，ＥＦ⊥ＡＣ于Ｆ，连结ＦＢ，则tan ∠CFB 的值等于（ ）32353A 53333、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、3.已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边BC 的长是（ ）A ．sin 40mB ．cos 40mC ．tan 40mD ．tan 40m4.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则cos A 的值是（ ） A ．154B ．14C ．15D ．４5.已知α为锐角，则ααcos sin +=m 的值（ ） A ．1>m B ．1=m C ．1<m D ．1≥m6. 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半 圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ）A ．43B ．34C ．45D ．357.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AC=2BC,则tanA 的值是（ ）A.21B. 2C. 55D. 258.已知ABC ∆中，AC=4，BC=3，AB=5，则sin A =（ ） A. 35B. 45C. 53D. 349. 如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）A ．4.5mB ．4.6mC ．6mD ．8m10.如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）．Ａ.250ｍ Ｂ．2503ｍ Ｃ．50033ｍ Ｄ．2502ｍ．A O B东北A DB E 图6 i =1:C 二.解答题1. 如图，港口B 位于港口O 正西方向120海里处，小岛C 位于港口O 北 偏西60°方向.一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏西30°的OA 方向以20海里/小时的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°方向以60海里/小时的速度驶向小岛C ，在小岛C 用一小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送.⑴快艇从港口B 到小岛C 需要多少时间？⑵快艇从小岛C 出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？2. 如图6，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中3:1 i 是指坡面的铅 直高度DE 与水平宽度CE 的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．（结果保留三位有效数字.参考数据：3≈1.732，2≈1.414）。
初二数学培优讲义十七#一元二次方程
第17讲 一元二次方程知识讲解1．一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数，a ≠0） 2．一元二次方程的解法（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．一元二次方程的求根公式是b 2－4ac ≥0）．3．二元三项式ax 2+bx+c=a （x －x 1）（x －x 2）．其中x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx+c=0•的两个实数根．4．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2－4ac ．当△>0时，•方程有两个不相等的实数根x 1=2b a -+，x 2=2b a-；当△=0时，方程有两个相等实数根x 1=x 2=－2ba；当△<0时，方程没有实数根． 5．若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2=－b a ，x 1x 2=c a． 6．以x 1，x 2为根的一元二次方程可写成x 2－（x 1+x 2）x+x 1x 2=0．7．使用一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2－4ac•解题的前提是二次项系数a ≠0．8．若x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两根，则ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0．反之，若ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0，且x 1≠x 2，则x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根．9．一元二次方程的应用列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．◆例题解析例1 （2006，四川绵阳）若0是关于x 的方程（m －2）x 2+3x+m 2+2m －8=0的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，•又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力．【解答】由题知：（m－2）×02+3×0+m2+2m－8=0，∴m2+2m－8=0．利用求根公式可解得m1=2，或m2=－4．当m=2时，原方程为3x=0，此时方程只有一个解，x=0．当m=－4时，原方程可化为2x2－x=0，解得x1=0，x2=12．例2 （2006，北京海淀）已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2－1=0 （1）x2+x－2=0 （2）x2+2x－3=0 （3）……x2+（n－1）x－n=0 （n）（1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n）；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．【分析】由具体到一般进行探究．【解答】（1）<1>（x+1）（x－1）=0，所以x1=－1，x2=1．<2>（x+2）（x－1）=0，所以x1=－2，x2=1．<3>（x+3）（x－1）=0，所以x1=－3，x2=1．……<n>（x+n）（x－1）=0，所以x1=－n，x2=1．（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等．【点评】本例从教材要求的基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查．例3 （2005，黄冈市）张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，•他将此矩形铁片的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱．且此长方体运输箱底面的长比宽多2m，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？【分析】首先化无形为有形，画出示意图，分清底面、侧面，底面的长与宽和长方体的高各用什么数或式子表示，然后利用体积相等列出方程求解．【解答】设这种运输箱底部宽为xm，则长为（x+2）m，依题意，有x（x+2）×1=15化简，得x2+2x－15=0．∴x1=－5（舍去）x2=2．所求铁皮的面积为：（3+2）（5+2）m2=35m2．所购矩形铁皮所需金额为：35×20元=700元．答：张大频购回这张矩形铁皮花了700元钱．【点评】画出示意图是解题的关键．另外本题所采用的是间接设未知数的方法．若直接设出购买铁皮所需金额就困难了．◆强化训练一、填空题1．方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为______，其中a=____，b=____，c=____．2．方程（x－1）2=2的解是_______．3．关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．4．配方：x2－6x+_____=（x－____）2；x2－52x+______=（x－_____）2．5．方程（x－1）（x+2）（x－3）=0的根是_______．6．关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是______．7．若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则p的值是____．8．两个连续整数的积为210，则这两个数分别是_____．9．若一个三角形的三边长均满足方程x2－6x+8=0，则此三角形的周长为_____．10．如果a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2=2a2+16a+14与bc=a2－4a－5，那么a的取值范围是______．二、选择题11．关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（）A．1 B C D12．若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．013．关于x 的一元二次方程x 2－（k+1）x+k －2=0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法判断14．已知关于x 的方程x 2－（2k －1）x+k 2=0有两个不相等的实数根，那么k•的最大整数值是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．1 15．方程mx 2－4x+1=0的根（ ）A ．14B C D ．以上都不对16．关于x 的一元二次方程x 2－3x+k=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k<94 B ．k>94 C ．k ≤94 D ．k ≥9417．方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，那么方程x 2+ax+b=0 （ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个根为2和318．若a ，b 是方程x 2+2x －2002=0的两个不相等的实数根，则a 2+3a+b 的值是（ ） A ．－2002 B ．2002 C ．2001 D ．2000 三、解答题 19．解方程：（1）x 2－6x+9=（5－2x ）2 （2）x 2－4x+1=020．汽车产业的发展，•有效促进我国现代化建设，•某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，•每年盈利的年增长率相同． （1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？21．如果方程ax2－bx－6=0与方程ax2+2bx－15=0有一个公共根是3，求a，b的值，•并求方程的另一个根．22．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？23．黄冈百货商店服装柜在销售中发现：•“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，•商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现，•如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，•那么每件童装应降价多少元？24．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，•请你根据图所示的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．25．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，•某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36kg．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、•乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70kg，•用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，•加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，•同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1．6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12kg．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？。
一元二次方程培优专题(教师版)
一元二次方程培优专题Part1 可化为一元二次方程的高次方程在遇到这类可转化为一元二次方程的高次方程时，通常有两种转化方法．1．因式分解法：如果所遇到的高次方程可以因式分解成两个或者多个一元二次式或一元一次式的乘积的形式，可以用因式分解法．2．整体换元法：在一个式子中要善于观察几个式子的关系，有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的，可以用整体换元法，实现降次的目的．Part2可化为一元二次方程的分式方程在遇到这类可转化为一元二次方程的分式方程时，通常有两种转化方法．1．去分母法：在遇到分式方程时，往往先去分母，即通分然后求解．2．整体换元法：在一个分式方程中，如果有的式子含有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的时候可以考虑整体换元法，实现化简的目的．注意：在分式方程中，不管用什么方法解出来，最后一定要验根，因为要使得分式方程有意义，分母不为0，在这个过程中可能产生增根．Part3 可化为一元二次方程的绝对值方程在遇到这种可转化为一元二次方程的绝对值方程时，通常有两种转化方法．1．分类讨论法：遇到绝对值方程时，可以先去绝对值，而去绝对值，就意味着要分类讨论．第一步，找出分段点，考虑当绝对值符号内的式子等于0时，x的取值，由此划分x取值．第二步，根据x取值讨论去绝对值，得到相应转化的一元二次方程．第三步，用合适的方法求解，但是解得的解应该在讨论的x取值内．第四步，依次写出满足绝对值方程的所有根．2．整体换元法：在遇到一个特定的方程时，如果分类讨论，虽然可行但较为繁琐，可以考虑用整体换元法．注意：在绝对值方程中，要记着考虑绝对值的非负性．Part4 可转化为一元二次方程的根式方程在遇到这类可转化为一元二次方程的根式方程时，通常有两种转化方法．1．两边平方法：等式的两边同时平方，然后化简得到相应的一元二次方程．2．整体换元法：在含根式方程的一个方程中，如果几个式子存在特殊的关系，可以考虑整体换元法．特别注意：在根式中解的时候，解一定要使得根号下非负；在整体换元的时候要考虑到换的元的取值范围内，在取值范围内的解才有意义，最后也要像分式方程那样进行验根．【例1】解方程：（1）x x x 53+5+6=0（2）()x x x x 222-2-3=2-4-7（3）()()=x x 331999-+-19981【答案】（1）由题意得()x x x 42+5+6=0，所以x =0或x x 42+5+6=0，当x x 42+5+6=0时，得()()x x 22+2+3=0， 此时方程无解．综上所述，原方程得解为x =0． （2）令t x x 2=-2-3，则x x t 2-2=+3，代入原方程得：()t t 2=2+3-7，即得到t t 2-2+1=0，()t 2-1=0，t =1， 将t 的表达式代入得x x 2-2-3=1，即x x 2-2-4=0，解得x =1±所以x x 12=1+=1-（3）令t x =1999-，则x t -1998=1-，则()=t t 33+1-1，所以t t 23-3+1=1， 得t 1=0，t 2=1，将t 的代数式代入得到x 1=1999，x 2=1998．【例2】解分式方程：（1）x x x x2142++=1+2-42-（2）()()x x x x 222+16+1+=7+1+1【答案】（1）把第三个分式的分母x 2-变形为x -2，得()()x x x x x 142+-=1+2+2-2-2． 方程两边都乘以()()x x +2-2，得()()()x x x x x -2+4-2+2=+2-2， 即x x 2-3+2=0，解得x 1=1，x 2=2．检验：把x =1化入最简公分母，它不等于0，所以x =1是原方程的根； 把x =2代入最简公分母，它等于0，所以x =2是增根． 因此原方程的根是x =1．（2）设x y x 2+1=+1，那么x x y 2+11=+1，于是原方程变形为y y 62+=7． 方程的两边都乘以y ，约去分母，得y y 22-7+6=0．解这个方程，得y 1=2，y 23=2．当y =2时，x x 2+1=2+1，去分母，整理得x x 2-2-1=0．所以x =，当y 3=2时，x x 2+13=+12，去分母，整理得x x 22-3-1=0．所以x ．检验：把x x 分别原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根．综上：原方程的根是x 1x 2，x 3，x 4 【例3】（1）x x x x x2212-6++2+=0 （2）x x x x 4322+3-16+3+2=0（3）x x x x x 54326-41+97-97+41-6=0【答案】（1）换元的方法x 1=1，x 2=-2x 3=-2（2）显然x ≠0，两边同除以x 2，得：x x x x 22322+3-16++=0，即x x x x 2211⎛⎫⎛⎫2++3+-16=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令t x x1=+，则x t x 2221+=-2，所以方程可化为：()t t 22-2+3-16=0，即：t t 22+3-20=0，解得t 1=-4，t 25=2，解得x x 1+=-4，或x x 15+=2，∴x 1=-2+x 2=-2x 31=2，x 4=2．（3）观察知x =1为原方程的一个解，于是x -1必为左边代数式的一个因式．于是有()()x x x x x 432-16-35+62-35+6=0．得x =1或x x x x 4326-35+62-35+6=0， 下面来解x x x x 4326-35+62-35+6=0， 显然x ≠0，两边同除以x 2，得：x x x x 22166-35+62-35+=0，即：x x x x 2211⎛⎫⎛⎫6+-35++62=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令y x x 1=+，则y x x2221=++2，所以方程可化为：()y y 26-2-35+62=0，即：y y 26-35+50=0．解得：y 15=2，y 210=3，即x x 15+=2，x x 110+=3．解得：x 1=2，x 21=2，x 3=3，x 41=3．于是原方程的解为x 1=2，x 21=2，x 3=3，x 41=3，x 5=1．【例4】解方程()||x x 22-1-32-1+2=0．【答案】原方程可写为||||x x 22-1-32-1+2=0，令||t x =2-1，得t t 2-3+2=0，即()()t t -1-2=0，解得t 1=1，t 2=2．由||x 2-1=1，得x 1=0，x 2=1．由||x 2-1=2，得x 33=2，x 41=-2．∴原方程的根为x 1=0，x 2=1，x 33=2，x 41=-2． 【例5】解方程：（1）||x x 2-2-1-4=0（2）()()x x x -2+3=3+【答案】（1）令,x 2-1=0得x 1=2，以12为分界点把数轴划分为两个区间，分别求解． ①当x 1<2时，则x 2-1<0，原方程可化为x x 2+2-5=0．所以x =x =；②当≥x 12时，则≥x 2-10，原方程可以化为x x 2-2-3=0，所以x =3或x =-1（舍去）．综上所述，原方程的解为x 1=-1-，x 2=3．（2）分情况讨论：令()()x x -2+3=0得x =2或x =-3，以-3和2为分界点把数轴划分为四个区间，分别求解．①当≥x 2时，方程化为()()x x x -2+3=3+，即x 2=9， 解得：x 1=3，x 2=-3（舍去）；②当≤x -3<2时，方程化为()()x x x --2+3=3+，即x x 2+2-3=0， 解得：x 3=1，x 4=-3；③当x <-3时，方程化为()()x x x -2+3=3+，即=9x 2， 解得：x 5=3（舍去），x 6=-3（舍去），综上所述，原方程的解为x 1=3，x 2=1，x 3=-3．【例6】解方程：（12 （2=（3【答案】（12；两边平方，得x x +8=5+20+4，x --4；两边平方整理，得x x 2+3-4=0，解得x 1=-4，x 2=1；经检验，x 2=1是增根，舍去，x 1=-4是原方程的根．（2）x x x 2+1+-3+=4；x +2=()x x x x 22+4+4=42-5-3；x x 27-24-16=0；()()x x 7+4-4=0，∴x 14=-7，x 2=4；经检验，x 14=-7是增根，舍去；x 2=4是原方程的根．（3）y =，y 1=，于是原方程可变形为y y 2-=1化为整式方程得y y 2--2=0，解之得y 1=2，y 2=-1；当y =22，解得x =10，当y =-1=-1，无实数解；经检验x =10是原方程的解． 【例7】x 7x 7，两边同时平方得x x x x x 2227+9+13=49+7-5+13-14整理得x x 249-14=14两边同时除以()x x 7≠0，得x 7-2=， 两边同时平方得x x x x 2249-28+4=28-20+52， 整理得()()x x 3+47-12=0，解得x 14=-3，x 212=7，经检验，x 4=-3是原方程的增根，则原方程的解为：x 12=7．【课后作业】1.解方程：()()x x x x 22++1+=22. （1）x x x x x x 2+11+5-=-33-3（2）x x x x 2213--2=1-1-3. （1）x x x x 2⎛⎫⎛⎫+5+6=0 ⎪ ⎪+1+1⎝⎭⎝⎭（2）()()x x x x x x 22228+23-1+=11-1+2 （3）x x x x 2318⎛⎫2-+12=-5 ⎪⎝⎭4. 解方程：（1）x x x x 4326-35+62-35+6=0（2）22+229+x x x x x 54326-9+77-6=05. 解方程：||||x x x -3+2=06.解方程：（13（25=0【作业答案】1. 令x x y 2+=，原方程为y y 2+-2=0，y 1=-2，y 1=1．由y 1=-2，得x x 2++2=0，因为<△0，所以无解．由y 2=1，得x x 2+-1=0，x =． 2. （1）x =-4，x =1（舍去，增根）；（2）x 1=-3，x =1（增根）；3.（1）x 12=-3，x 23=-4；（2）设x xy x 22+2=-1，得y 13=8，y 2=1，由y 13=8，得x 11=-5，x 2=-3，由y 2=1，得x 1=-2．（3）先别忙着把x x 23⎛⎫2- ⎪⎝⎭展开．把等号右边各式都移到等号左边，得x x x x 2318⎛⎫2-+12-+5=0 ⎪⎝⎭．可变形为x x x x 233⎛⎫⎛⎫2-+62-+5=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设x y x 32-=， 原方程可化为y y +6+5=0．所以y 1=-1，y 2=-5．由x x 32-=-1，得x x 22+-3=0，得x 13=-2，x 2=1．由x x 32-=-5，得x x 22+5-3=0．得x 3=-3，x 41=2．经检验，这四个根都适合．所以原分式方程的解是x 13=-2，x 2=1，x 3=-3，x 41=2．4. （1）显然x ≠0，两边同除以x 2，得：x x x x22166-35+62-35+=0，即：x x x x 2211⎛⎫⎛⎫6+-35++62=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1），令y x x1=+，则y x x 2221=++2，所以方程（1）可化为：()y y 26-2-35+62=0，即：y y 26-35+50=0．解得：y 15=2，y 210=3，即x x 15+=2，x x 110+=3．解得：x 1=2，x 21=2，x 3=3，x 41=3．（2）观察知x =-1为原方程的一个解，于是x +1必为左边代数式的一个因式．于是有()()x x x x x 432+16-35+62-35+6=0．得-x =1或x x x x 4326-35+62-35+6=0， 下面来解x x x x 4326-35+62-35+6=0， 显然x ≠0，两边同除以x 2，得：x x x x 22166-35+62-35+=0，即：x x x x 2211⎛⎫⎛⎫6+-35++62=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令y x x 1=+，则y x x2221=++2，所以方程可化为：()y y 26-2-35+62=0，即：y y 26-35+50=0．解得：y 15=2，y 210=3，即x x 15+=2或x x 110+=3．解得：x 1=2，x 21=2，x 3=3，x 41=3．于是原方程的解为x 1=2，x 21=2，x 3=3，x 41=3，-x 5=1．5. （1）当x <0时，原方程化为x x 2-3-2=0，解得x =x =（舍去）；（2）当≥x 0时，原方程化为x x 2-3+2=0，解得x =1或x =2；综上所述，原方程有3个解：x 1，x 2=1，x 3=2．6.（1）先把一个根号移到右边，然后两边同时平方，最后解得x =1；（2）换元法，最后得到x 3=5．。
华师大初三上册培优讲义第三讲 一元二次方程的应用
第三讲一元二次方程的应用学习目标 1、知识目标：能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型；掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤；会列一元二次方程解平均变化率问题、商品销售问题、面积问题的应用题；能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
2、能力目标：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能用一元二次方程对之进行描述；体验解决问题的多样性，发展实践应用意识。
3、情感目标：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识的应用价值，提高学生学习数学的兴趣。
一、知识讲解 课前测评 1、（2012秋合浦县期中）一个两位数字,十位数字比个位数字大3,且这两个数字之积等于这个两位数字的27，若设个位数字为x ，则可列出方程____________. 2．（2017秋鼓楼区期中）某企业2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x ，根据题意可列方程 ．3．（2017秋凤庆县期末）如图，某小区规划在一个长30m 、宽20m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？知识点回顾（或新课预习）1、掌握列一元二次方程解应题一般步骤：①审题；①设未知数；①找等量关系；①列方程；①解答。
2、面积问题：理解平移法的作用；3、数字问题：一个两位数，个位数字是a,十位数字是b ，则这个两位数可表示为；一个三位数，个位数字是a,十位数字是b ，百位数字是c ，则这个三位数可表示为 ；4、增长率问题：2(1)a x b ±=。
5、利润问题：利润＝售价－进价；总利润＝1件利润×件数；二、例题辨析【考点1、面积问题】例1、（2013年秋南雅中学入学考）在一幅长80厘米，宽50厘米的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边,制成一幅矩形挂图，如图,如果要使整个挂图的面积是5400平方厘米,设金色纸边的宽为x 厘米,那么满足的方程是( )A. x 2+130x−1400=0B. x 2+65x−350=0C. x 2−130x−1400=0D. x 2−65x−350=0变式练习：1．（2017秋靖远县校级月考）如图所示要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为35m．（1）求鸡场的长与宽各为多少米？（2）题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用？2．（2017秋江都区校级期中）在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．小明说：我的设计方案如图（1），其中花园四周小路的宽度相等．通过解方程，我得到小路的宽为2m．小颖说：我的设计方案如图（2），其中花园中每个角上的扇形相同．（1）你认为小明的结果对吗？请计算说明；（2）请你帮助小颖求出图中的x（结果保留根号和π）【考点2、数字问题】例2、（2016秋孝南区校级月考）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为（）A．a2（a-4)2=10（a-4）+a-4 B．a2+（a+4)2=10a+a-4-4C．a2+（a+4)2=10（a+4）+a-4 D．a2+（a-4)2=10a+（a-4)-4变式练习：1．（2016秋新民市期中）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是（）A．不存在B．25 C．36 D．25或362．（2014秋双峰县校级月考）有一个两位数比它的个位数字的平方小2，个位数字比十位数字大3，求这个两位数．如果设十位数字为x，则可列方程为：．【考点3、增长率问题】例3、（2017年春长郡中学期中）“屠呦呦成为我国首位获得诺贝尔奖的科学家，这说明，只要坚持，梦想总是可以实现的”“推动‘一带一路’建设取得实质性进展”，为响应这一经济发展战略，树立品牌意识，我市2014年投入科研经费500万元，2016年投入科研经费720万元。
高考培优课程数学讲义：一元二次函数、二次方程及二次不等式的关系【学生版】
高考培优 数学“一元二次函数、二次方程及二次不等式的关系”讲义编号：本讲义从以下两方面展开：1. 一元二次方程与一元二次不等式的基本解法有关一元二次方程与一元二次不等式的求解，是高考与会考考察内容的基础之一。
该部分内容或许不会独立形成题目，却是求解其他问题的基本工具。
这一部分内容，相对来说比较简单，却是最基本与最基础的，需要熟练掌握。
2. 利用一元二次函数的性质求解有关一元二次方程与一元二次不等式的问题一元二次函数是在高考以及会考当中是十分常考的一种函数，原因在于其性质比较容易研究，也相对简单。
因此，这部分内容也是基础的内容。
其主要问题大多在于一些含参数不等式（等式）恒成立（有解）条件的研究。
1. （★★★☆）已知函数2()f x x bx c =++，,b c R ∈，对于任意的x R ∈，不等式2()x b f x +≤恒成立，证明当0x ≥时，2()()f x x c ≤+2. （★★☆☆）已知不等式()22454(1)30m m x m x +---+>恒成立，求实数m 的取值范围。
知识点一：一元二次方程与一元二次不等式的基本解法✧ 子知识点一：一元二次不等式的基本解法。
一般地，对于一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其解集有如下形式：这个表格是求解一元二次不等式问题的基础，是需要学生牢牢掌握的。
✧ 子知识点二：注意有关含参数的一元二次方程与一元二次不等式求解时的讨论。
知识点二：利用一元二次函数的性质求解有关一元二次方程与一元二次不等式的问题✧ 子知识点一：要学会利用一元二次方程的解与相应的一元二次不等式的解集之间的内在联系。
具体可以参见知识点一中的表格。
✧ 子知识点二：一元二次方不等式（方程）的恒成立问题。
一元二次不等式恒大于0，那么可知对应的二次函数开口向上且无实数零点；类似地，一元二次不等式恒小于0，那么可知对应的二次函数开口向下且无实数零点。
不过这道题需要注意的是，该不等式虽然形如一元二次不等式，但是不一定就是一元二次不等式。
一元二次方程优质讲义
一元二次方程的单元复习（优化）学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容课型教学目标1.巩固一元二次方程的解法；2.根的判别式及韦达定理灵活运用；3.一元二次方程的实际应用.重、难点根的判别式、韦达定理综合；一元二次方程的实际应用知识导图导学一：一元二次方程的基本概念知识点讲解1：一元二次方程的基本概念例 1. 若是关于x的一元二次方程，则m的值是。
例 2. 若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0的常数项为0，则m的值是．我爱展示1. [单选题] 关于x的方程（m﹣3）x ﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（）A.﹣1B.1C.3D.3或﹣1知识点讲解2：一元二次方程的根（也叫方程的解）一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根（也叫方程的解）。
即：若是的根，则例 1. [单选题] 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A.1B.﹣1C.1或﹣1D.例 2. [单选题] 已知2是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）．A、10B、14C、10或14D、8或10【学有所获】①题目中若出现“方程的解”，则将代入；②等腰三角形问题，要注意思想运用；③最终结果要注意用检验。
[学有所获答案]方程的解；原方程；②分类讨论；③三边关系。
我爱展示1.[单选题] 若x=﹣2是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（）A. 1或4B. ﹣1或﹣4C. ﹣1或4D. 1或﹣42.[单选题] 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是（）A.5B.7C.5或7D.10导学二：一元二次方程的解法知识点讲解1：一元二次方程的解法例 1. [单选题] 一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A.（x+4）2=17B.（x+4）2=15C.（x﹣4）2=17D.（x﹣4）2=15导学三：一元二次方程根的判别式知识点讲解一元二次方程根的判别式例1. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若为符合条件的最小整数，求此方程的根．例 2. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值．例 3. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．我爱展示1.[单选题] 若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0的根的情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断2.[单选题] 关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A.m≤3B.m＜3C.m＜3且m≠2D.m≤3且m≠23.已知关于x的一元二次方程x2﹣2 x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为．4.关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．5.已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？6. 已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．导学四：一元二次方程根与系数的关系知识点讲解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）例1. 关于x的一元二次方程有两个不等实根，．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根，满足，求k的值．例 2. 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．我爱展示1.[单选题] 设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A.2014B.2015C.2016D.20172.[单选题] 已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（） A.x2﹣7x+12=0 B.x2+7x+12=0 C.x2+7x﹣12=0 D.x2﹣7x﹣12=03.已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根．（1）当m=0时，求方程的根；（2）若（x1﹣2）（x2﹣2）=41，求m的值；（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长4.已知关于x的一元二次方程．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值．导学五：一元二次方程的实际应用知识点讲解一元二次方程的实际应用例 1. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？例 2. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1米宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？例 3. 楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？例 4. 如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．我爱展示1.利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？3.如图△ABC，∠B=90∘，AB=6，BC=8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．限时考场模拟：1.一元二次方程x2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c= ．（只需填一个）．2.已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足+ =3，则k的值是．3.已知关于x的方程x2﹣5x+3a+3=0（1）若a=1，请你解这个方程；（2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．4.如图，为美化环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）用含a的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．5.等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．自主学习1.[单选题] 方程x2+8x+9=0配方后，下列正确的是（）A.（x+4）2=7B.（x+4）2=25C.（x+4）2=﹣9D.（x+8）2=72.[单选题] 一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（）A.x=﹣2B.x=C.x=﹣4D.x=23.[单选题] 一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.[单选题] 学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（）A.x2=21B. x（x﹣1）=21C. x2=21D.x（x﹣1）=215.[单选题] 关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A.m≤3B.m＜3C.m＜3且m≠2D.m≤3且m≠2。
初中数学竞赛代数专题之一元二次方程培优讲义例题练习及解答
初中数学竞赛之一元二次方程培优讲义形如0=a 的方程叫做一元二次方程。
当240b ac -≥时，一元二次方程的两根为1242b x a-±=、一、专题知识1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解发是一元二次方程的四种基本解法。
2.公式法是解一元二次方程最一般地方法：（1）240b ac ->时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根122b x a-±=、（2）240b ac -=时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-（3）240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根二、经典例题例题1已知m n 、是有理数，方程20x mx n ++=2-，求m n +的值。
解：由题意得22)2)0m n ++=即(92)(0m n m -++-而m n 、是有理数，必有92040m n m -+=⎧⎨-=⎩，解得41m n =⎧⎨=-⎩，所以m n +的值为3.例题2求证：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。
证明：用反证发假设方程20(0)ax bx c a ++=≠有三个不同的实数根1x 、2x 和3x ，则有2110(0)ax bx c a ++=≠①2220(0)ax bx c a ++=≠②2330(0)ax bx c a ++=≠③①—②得22121212()()0,a x x b x x x x -+-=≠有12()0a x xb ++=④同理②—③有23()0a x xb ++=⑤④—⑤得1313()0()a x x x x -=≠必有0a =，与已知条件矛盾，所以一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。
例题3已知首项系数不相等的两个一元二次方程222(1)(2)(2)0a x a a a --+++=及222(1)(+2)(+2)0(,)b x b x b b a b Z -++=∈有一个公共根，求a bb aa b a b --++的值。
一元二次方程培优讲义
一元二次方程培优讲义1、一元二次方程的一般式：20 (0)++=≠，a为二次项系数，bax bx c a为一次项系数，c为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法）①2(0)=±=≥解为：x ax a a②2+=±+=≥解为：x a b()(0)x a b b③2+=±+=≥解为：ax b c()(0)ax b c c④22()()()+=+≠解为：()ax b cx d a c+=±+ax b cx d（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0+=≠⇔+=此类方程适合用提供因此，而ax bx a b x ax b且其中一个根为0290(3)(3)0-=⇔-=x x x xx x x-=⇔+-=230(3)0---=⇔--=3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。
22x x x-+=⇔-=41290(23)0694(3)4x x x-+=⇔-=2224120(6)(2)0x x x x+-=⇔-+=25120(23)(4)0 x x x x--=⇔-+=2十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。
（3）配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2220()()022P P x Px q x q ++=⇔+-+= 示例：22233310()()1022x x x -+=⇔--+=②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220 (0)()0 ()()022b b b ax bx c a a x x c a x a c a a a++=≠++=⇒-⇒++=g 222224()()2424b b b b ac a x c x a a a a-⇒+=-⇒+= 示例： 22221111210(4)10(2)2102222x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-=备注：实际在解方程的过程中，一般也只是针对1a =±且b 为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。
人教版九年级上册数学 一元二次方程的定义、解法和应用 培优讲义
人教版九年级上册数学一元二次方程的定义、解法和应用 培优讲义一、主要知识点回顾1．一元二次方程：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫一元二次方程，它的一般形式是20ax bx c ++=（a 、b 、c 是已知数且a ≠0），其中ax 2叫做 ，bx 叫做 ，a 叫做 系数，b 叫做 系数，c 叫做 。
2．解一元二次方程的方法（1）直接开平方法：如果一元二次方程能化成2x p =或()()20≥mx n p p +=的形式，那么可以得x =± 。
或mx n +=± 的形式，从而通过解一元一次方程得到一元二次方程的两根。
（2）配方法：先将原方程变为 2()x m n +=的形式，再两边直接开平方。
用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①化二次项系数为1； ②移项,使方程左边．．为二次项和一次项,右边．．为常数项； ③方程两边都加上一次项系数一半．．．．．．．的平方．．； ④把原方程变为2()x m n +=的形式；⑤如果方程右边是非负数，就可以直接用开平方法求出方程的解。
（3）公式法：求根公式为=x （ ≥0） （4）因式分解法： 因式分解法的步骤是： ①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
3．一元二次方程的四种解法的灵活运用：对于方程20ax bx c ++=（a ≠0，240b ac -≥） （1）若b ＝0，即20ax c +=，则宜用 法解；（2）若c ＝0，即20ax bx +=，则宜用 法解；（3）若b ≠0，c ≠0，则要准确把握方程的特征，选用适当的解法。
①方程化为标准形式ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）后，左边易于因式分解的，用因式分解法。
②若方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）中，a ＝1、b 是偶数，可以考虑用配方法。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。