材料力学(金忠谋)第六版答案 附录

附录I 截面图形的几何性质

I-1 求下列截面图形对z 轴的静矩与形心的位置。

解：（a ）)2

)2((2)2(2

h t h b t h ht t h bt s z ++=⋅

++= h

b h t h b h b t h t h b t A s y z

c +++=+++==2)2()()2)2((2

2 （b ）

3223

32219211)}2)4

()43()41

()43(32(])4()43[(2{4442D D D D D D D D D D s z =--⨯-+⨯⨯-=ππ

D D D D D D

A

s y z c 1367.0])2

()43[(2)44(219211223

=-⨯+⨯==π

（c ） ]22)[(22)(2

h t t b t h ht t t t b s z +

⋅-=⨯+⨯⨯-= )

(2)(2

t b h h t t b A s y z c -++-== I-2 试求（1）图示工字形截面对形心轴 y 及 z 的惯性矩z I 与I y 。 （2）图示 T 字形截面对形心轴的惯矩z I 与I y 。

t

b

解(a) 12

)2)((12)2)((123

333t h t b bh t h t b bh J z ---=---= 12))2(2(12))(2(1222333t t h b t t t h tb J y -+=-+=

(b) cm y c 643.9)

520515(2)

515(552522=⨯+⨯-⨯+⨯=

4

3

34

232

3161512

1551252010186520)643.91025(12

205515)5.2643.9(12515cm J cm J y z =⨯+⨯==⨯⨯--+⨯+⨯⋅-+⨯=

I-3 求图示椭圆截面对长轴的惯矩、惯性半径与对形心的极惯矩。 解： θθcos ,

sin ⋅=⋅=a z b y

θθd b dy cos = ⎰⎰--⋅==∴

b

b

b

b

z zdy y dA y J 222

322

223

224

cos sin 2cos cos sin 2ab d ab

d b a b J b

b

z π

θθθθθθθπ

π==⋅=

⎰⎰

--

(a)

b

)

(4

)(4

2

4

22333

b a ab b a ab J J J b ab ab A

J i y z p z

z +=

+=

+==

==

π

π

ππ

I-4 试求图示的

4

1

的圆面积（半径a ）对于z ，y 轴的惯性积zy I 。 解： 2

2

20

2

2z a zdz ydy zdz zydzdy J a

z a a yz -⋅===

⎰

⎰

⎰⎰⎰-

8

)(21402

2a dz z a z a =-=⎰

I-5 图示矩形截面h : b ＝3 : 2。试求通过左下角A 点一对主轴u 及v 的方位，并求u I 及v I 之

值。

y

y

解： 22334

1

,31,31h b J bh J hb J yz z y === 0

3322133221105.30))2

3()23((31)

23(21(2

1)3

131412(2

1)2(21-=⋅-⋅-=-⨯-=--=---b b b b b b tg hb bh h b tg J J J tg y z yz α

422223333169.046.1)4

1(4)](31[212)(31b h b hb bh hb bh J J v u =⨯++±+=

I-6 求下列各图形的形心位置、形心主惯轴方位，与形心主惯矩值。

解：(a) 00

2

22245,6

5,65222===+⋅+⋅==αa z a a a a

a a a A

s y c z

c

42242

2312

11)62(12)3(22121a a a a a a a a a J J yc

zc =+++-+⋅== 4223

1

)62)(3()6)(3(2a a a a a a a a J xcyc -=+-+-=

4

4

2442

22,112

745)3

1(42112114)(212

a a a a J J J J J J zy y z y

z =

-±=+-±

+=

（b ）

cm

A

s y z

c 186.41

715.1225

.1215.125.017=⨯+⨯⨯

⨯+⨯⨯=

=

cm A s z y c 936.11

715.125

.015.11418=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=

=

423236.2825.121)86.425.12(125.12117)5.0186.4(1217cm J zc

=⨯⨯-+⨯+⨯⨯-+⨯=

4232342.1015.111)5.0936.1(12

15.1181)936.14(1281cm J yc

=⨯⨯-+⨯+⨯⨯-+⨯=

4205.1037686.3564.25.12064.2436.1cm A b a J i i i xcyc -=⨯⨯-⨯⨯-==

4

2

2

2

22,169

.5433.32932.13701.192205.103)2

42.1016.282(242.1016.282)2

(

2

cm

J J J J J J zy y

z yc

zc =±=+-±+=

+-±+=

01-min

1-036.24)69

.546.282205

.1031(tg )1(tg =---

=--

=J J J zc zcyc α

I-7 图示截面由No14b 的槽钢截面与12⨯2cm 的矩形截面组成，试确其形心主惯矩。

解：NO 14b: A=21.31 2

cm

4

04.609cm J x =

cm

x cm J y 67.11.61040==

cm x c 96.32

1231.216

21267.131.21=⨯+⨯⨯+⨯=