材料力学附录

y
解：将截面分为1、2两个矩形。
10
建立坐标系如图示。
Ⅰ
xⅠ
各矩形的面积和形心坐标如下： 矩形I
C ( y ,x )
A1 10120 1200mm2
10
120 y1
Ⅱ
O
Ⅱ
xⅡ 80
x y
10 120 x1 5mm y1 60mm 2 2 A2 10 70 700mm2
dy b (y ) y O h
b
x
b 解： 取平行于x轴的狭长条， 易求 b( y) (h y) h b 因此 d A (h y ) d y 所以对x轴的静矩为
h hb bh2 S x A y d A 0 (h y ) y d y h 6
例I-2 试计算图示截面形心C的位置。
3
a =100
a + 2d 3p
（2）一个半圆对其自身形 心轴xc的惯性矩（见上例）
d =80 (a)
40
I xc
πd 2 πd 4 d 4 I x ( yc ) 2 8 128 18π
（3）一个半圆对x的惯性矩： 由平行移轴公式得：
I x2
2d πd 2 I xc a 3π 8 πd 2 4 d 2 a 2 2ad 3467 104 mm4 32 2 3π
i 1 n
S x Ai yi
i 1
n
代入 S y A x
Sx A y
解得组合截面的形心坐标公式为：
x
i 1 n
Ai x i
i 1
n
Ai
y
i 1 n
Ai y i
i 1
n
Ai
（注：被“减去”部分图形的面积应代入负值）
例 I-1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x 轴的静矩。 y
I x I xi
i 1
n
I y I yi
i 1
n
I xy I xyi
i 1
n
例I-5 试求图a 所示截面对于对称轴x的惯性矩。
y
解：将截面看作一个矩形和 两个半圆组成。 （1）矩形对x的惯性矩：
40
C 100
x
d 2a 80 2003 I x1 12 12 5333 104 mm4
4
C
yc
d
xc x
由平行移轴公式得：
I xc
πd 2 πd 4 d 4 I x ( yc ) 2 8 128 18π
补充例题2
y 20 140 xc x 100
试计算组合截面的Ixc. 解：（1）求截面形心位置：
140 20 80 100 20 0 y 46.67 mm 140 20 100 20
2、惯性矩和极惯矩永远为正，
惯性积可能为正、为负、为零。
x2 ( x1 )
dA
y
y
dA
y
x1
3、任何平面图形对于通过其形
心的对称轴和与此对称轴垂直的轴 的惯性积为零。 4、对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分 布的越远，其惯性矩越大。
x
o
5、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积
2 2
利用二倍角函数代入上式，得转轴公式 ：
I x1 I y1
Ix Iy 2 Ix Iy

Ix Iy 2 Ix Iy 2
cos 2 I xy sin 2 cos 2 I xy sin 2
I x1 y1
2 Ix Iy 2
sin 2 I xy cos 2
附录
截面的几何性质
y dA
§ -1 截面的静矩和形心位置
设任意形状截面如图所示。
1. 静矩（或一次矩） y
y
O
C
S y Ax d A
S x A y d A
x来自百度文库
x
(常用单位： m3 或mm3 。值：可为正、负或 0 。） x
2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）
x
xd A
y1 y cos x sin
y C E D O x B
代入惯性矩的定义式：
x
I x1 y d A
A 2 1
I x1 cos y d A sin x d A
2 2 2 2 A A
2 sin cos xy d A
A
I x cos I y sin 2 I xy sin cos
_
（2）求个简单截面对形心轴的惯性矩：
1 I xc1 20 1403 (80 46.67) 2 20 140 7.68 106 m m4 12 1 I xc2 100 203 46.672 20 100 4.43 106 m m4 12
（3）求整个截面的惯性矩：
x xC b
y yC a
I x A y d A A y c a d A
2 2
y c d A 2a y c d A a 2 d A
2 A
I xc 2 a A y c a 2 A I xc a 2 A
同理，有：
b(y) C yc d
xc x
S x A y d A yb( y) d y
d 2 0
d 2 0
d3 y 2 R2 y2 d y 12
S x d 3 12 2d yc 2 A πd 8 3π
（2）求对形心轴xc的惯性矩
y b(y)
πd 64 πd 4 Ix 2 128
Iz Iy
由于
d
所以
Ix I y Ip
Ip
πd 4 Iz Iy 2 64
§-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
组合截面的惯性矩和惯性积
1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式 yc y 设有面积为A的任意形状的截面。 x xc dA C为其形心，Cxcyc 为形心坐标 yc xc 系。与该形心坐标轴分别平行 C 的任意坐标系为Oxy ,形心C在 y 在Oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元dA在两坐标系 x 下的坐标关系为： O b
A
A
y

A
yd A A
x
xd A
A
A
y

A
yd A A
3. 静矩与形心坐标的关系
S y Ax
S x Ay
结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。
4. 组合截面的静矩 由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应 等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和:
S y Ai xi
i 1
矩形II
70 10 x 2 10 45mm y 2 5mm 2 2
代入组合截面的形心坐标公式
x
i 1 2
Ai x i
i 1
2
Ai
y
i 1 2
Ai y i
i 1
2
Ai
解得：
x 20mm
y 40mm
如图所示将截面任意分为两部分A1与A2，证 补充 明这两部分面积对整个截面形心轴xc的面积矩绝 例题1 对值相等。 设： A1，A2对xc轴的静矩分别为Sxc1和Sxc2
2
（4）整个截面对于对称轴x的惯性矩：
I x I x1 2 I x 2 5333 104 2 3467 104 12270 104 mm4
补充 例题1
求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯 性矩。 解： （1）求形心坐标 y b( y ) 2 R 2 y 2
注：
•上式中的 的符号为：从旧轴x至新轴x1逆时 针为正，顺时针为负。 •将前两式相加得
I x1I y1I x I y
（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对 相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数， 并等于截面对该坐标原点的极惯性矩 ）
I xc I xc1 I xc2 7.68106 4.43106 12.11106 mm4
补充 例题3
图示为三个等直径圆相切的组合问题,求 对形心轴x的惯性矩. O2、O3到xc轴的距离
O1
1 3 3 d d 3 2 6 2 3 3 d d 3 2 3
O1到xc轴的距离
I P I Pi
i 1
n
I x I xi
i 1
n
I y I yi
i 1
n
I xy I xyi
i 1
n
例I-3 试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心 轴）x和y的惯性矩。 解： 取平行于x轴的狭长条，
y dy
h 2 h 2 3
则
dA=b dy
2
I x A y d A
n
S x Ai yi
i 1
n
( Ai 和x i , y i 分别为第 i个简单图形的面积及其 形心坐标）
小
结
1、 截面图形的静矩是对某一坐标轴 定义的，故静矩与坐标轴有关 2、截面对形心轴的静矩为零 3、若截面对某轴的静矩为零，则该 轴必为形心轴
5. 组合截面的形心坐标公式
将 S y Ai xi
O2 O3
xc
pd 4 pd 2 3 2 pd 4 pd 2 3 2 11pd 4 I x 2 6 d 64 4 3 d 64 4 64
思考：O为直角三角形ABD斜边上的中点，x、y轴为
3. 惯性积
y dA
I xy A xy d A
（其值可为正、负或0， 单位:m4 或 mm4)
结论： 4. 惯性半径
y
O
x
x
截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0。
Iy iy A
Ix ix A
（单位m 或 mm）
性 质：
1、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的， 而极惯矩，是对点定义的。
h2 a 2b 6
x
h
C1x
C2x
O a
x 0
形心位置
h a 2b h a 2b Sx y 6 A 3 ab h a b 2
2
§ I－2 极惯性矩 ·惯性矩 ·惯性积
设任意形状截面如图所示。 1.极惯性矩（或截面二次极矩）
y dA
2 d A Ip
(1)惯性积Ixy＝＿＿ (2)惯性矩Ix＝＿＿ 、 Iy＿＿＿。
y a a

x
答案：
0；a4/24; a4/24
§-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
1.惯性矩和惯性积的转轴公式
y
任意面元dA 在旧坐标系oxy 和新坐标系ox1y1的关系为：
A dA
x1 x cos y sin
S xc S xc1 S xc2
A1
0 S xc1 S xc2
C
xc
S xc1 S xc2
证毕
A2
补充 例题2
试确定图示梯形面积的形心位置，及其 对底边的静矩。
y b
解： 图形对底边的静矩 S x A y1 A2 y2 1
1 2 1 h bh h ah 2 3 2 3
hb 同理 I y 12
h
bh3 by2 d y 12
y
C
x
b (a)
y
若截面是高度为h的平行 四边形（图b），则其对形心 轴x 的惯性矩同样为
h C x
bh3 Ix 12
b
(b)
例I-4 试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴） 的惯性矩。
y
解：
x
y
由于圆截面有极对称性， x
所以
A 2
2.惯性矩（或截面二次轴矩）
I y A x d A
2 2
I x A y d A
2
y
由于 y x
（为正值，单位m4 或
2
mm4)
O
x
x
2 d A ( y 2 x 2 ) d A I x I y 所以 I p A A
（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原 点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）
过点Ｏ且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性 积和惯性矩有四种答案(已知b>a)： （A）Ixy＞０ （B） Ixy<０ (C) Ixy=０ （D） Ix=Iy
A
b
y O x 正确答案是 (C)
B
a
D
思考：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点 的任意一对坐标轴（即图中为任意值），该图形的:

A

A
I x I xc a A
2
I y I yc b A
2
I xy I xc yc abA
（此为平行移轴公式 ）
注意： •式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。
•等号右边各首项为相对于形心轴的量。
2.组合截面的惯性矩和惯性积
根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某 轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一 轴的惯性矩（或惯性积）之和：