图论

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Zhibo Lu
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图论方法建模
[定义]顶点： Ｖ中的元素称为顶点，用带标记的点表示，也 称为结点/Vertices。 [定义]边： 在有向图G中,若e=(a，b)∈E，e称为G的有向边 /directed edge。用由a到b带箭头的线把a和b连起 来； 在无向图G中,若e=(a,b)∈E，e称为G的无向边 /undirected edge 。a、ｂ间用连线连结； 有向边和无向边统称为G的边/edge。
图论方法建模
一般情况下，图中点的相对位置如何，点与点之间连线的 长短曲直，对于反映对象之间的关系并不重要。所以，图论 中的图与几何图、工程图等是不同的。例2也可以用下图表示
v1
v2
v3
v4
v5
(1)对象之间的“关系”具有“对称性”:象上面的两个例子 (2)对象之间的“关系”是“非对称的” 例如人们之间的认识关系，甲认识乙并不意味着乙也认识 甲；比赛中的胜负关系，甲胜乙和乙胜甲不同。反映这种非对 称的关系，只用一条连线就不行了。
类似胜负这种非对称性的关系，在生产和生活中也是常见 的，如交通运输中的“单行线”，部门之间的领导和被领导关 系，一项工程中各工序之间的先后关系等等。
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图论方法建模
[定义]图的分类 对图G =(V，E)。若对于任意的(a,b)∈E，a b,则称图G为简单图/Simple Graph。 对图G =(V，E) 。若允许Ｅ是一个重集，则称 图G为重图/Multigraph。其相同的元素称为重边。 对图G =(V，E) 。若G既允许是重图又允许是 非简单图，则称图G为拟图/Pseudograph。 一般的G称为线性图/Linear Graph。
0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0
为了反映这种关系，我们用一条带箭头的连线表示。
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图论方法建模
如例2中球队胜了，可从v1引一条带箭头的连线到v2，每 场比赛的胜负都用带箭头的连线标出，即可反映五个球队比 赛的胜负情况。如下图
v5
v1
v2 v3
v4
由图可知， v1三胜一 负， v4打了三场球， 全负等等
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图论方法建模
[定义]顶点的次：
在无向图G中，与a相邻的顶点的数目称为a的 次或度/degree。记为deg(a)或d(a)。 在有向图G中，以a为终点的边的条数称为a的入 次或入度/in-degree。记为deg–(a)或d –(a)。以a为起 点的边的条数称为a的出次或出度/out-degree。记为 e1 deg+(a)或d +(a)。 例：如右图， e1和e2是多重 边，d(v1)=4 , d(v2)=3，d(v3)=3， e5 d(v4)=4，(环e7在计算d(v4)时算 e7 v4 作两次)
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v1
v2 e2 e6 e3 v3
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e4
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[定理 (Handshaking)] 设无向图G=(V,E) 有e条边，则G中所有顶点的次之和等于e的 两倍。 证明思路：利用数学归纳法。 [定理] 无向图中次为奇数的顶点个数恰 有偶数个。 证明思路：将图中顶点的次分类，再利用 定理1。
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图论方法建模
[定理] 设有向图G=(V,E)有e条边，则G 中所有顶点的入次之和等于所有顶点的出 次之和，也等于e。
证明思路：利用数学归纳法。
[定理] 设无向完全图G有n个顶点，则 G有n(n-1)/2条边。
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图论方法建模
说明： 图Ｃ不是Ｅ的补图。（不互为补图） 因为：
Ｅ”＝Ｅ－Ｅ’ ＝ {[b,c],[b,d],[b,e], [c,d],[c,e],[d,e]}
Ｖ”＝{b,c,d,e} 而图C多了顶点a。
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图论方法建模
二、图的术语/Graph Terminology
[定义]相邻和关联：
在无向图G中，若e=(a,b)∈E，则称a与b相邻 /adjacent ， 或 边 e 关 联 a 、 b/incident 或 联 结 a 、 b/connect 。 a 、 b 称 为 边 e 的 端 点 或 结 束 顶 点 /endpoint. 在有向图G中，若e=(a,b)∈E ，即箭头由ａ到ｂ， 称ａ相邻到ｂ，或a关联或联结b。a称为e的起点 /initial vertex ， b 称 为 e 的 终 点 /terminal or end vertex。
0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0
i
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i
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同构判定算法(用邻接矩阵) 1、根据图确定其邻接矩阵(I)、(II) 2、计算行次：矩阵每行１的个数(对应于出次) 和 列次(对应于入次)
3 图的表示与同构/ Representing Graph and Graph Isomorphism 4 连通性/Connectivity 5 欧拉道路与哈密尔顿道路/Euler & Hamilton Paths 6 树及其性质 7 最短道路问题/Shortest Path Problem
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图论方法建模
图论方法建模(Graphs)
图/Graph： 可直观地表示离散对象之间的相互 关系，研究它们的共性和特性，以便解 决具体问题。
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图论方法建模
1 图的概念/Introduction of Graph
2 图的术语/Graph Terminology
3、不考虑出现的次序不同，若行次与列次不同， 则必不同构，否则继续
4、同时交换其一矩阵的i行和j行，i列和j列。 若此矩阵能变成与另一矩阵一样，则同构。对 所有顶点的排列都试过，仍不相同，则不同构。
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例：(1)的行次（２，１，２，１） 列次（１，２，１，２） (2)的行次（１，１，２，２） 列次（２，２，１，１） 把(II)的第1行与第4行交换， 第1列与第4列交换，得:
图论方法建模
[定义]邻接矩阵： 设有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ） ，Ｖ＝｛Ｖ1，Ｖ 2 ，„， Ｖn ｝ ，若用方阵 A ( a ij ) nn 来表示，其中
1 (Vi ,V j ) E aij 称Ａ为Ｇ的邻接矩阵。 0 (Vi ,V j ) E
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图论方法建模
一些特殊的简单无向图：
（1）Complete Graphs/完全图Kn (n>0)
（2）Bipartite Graphs/二分图
Complete Bipartite Graphs/完全二分图Kn,m
（3）正则图：若图Ｇ＝(V,E)中每个顶点的 次均为n，称此图Ｇ是n-正则的/n-regular。
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图论方法建模
[定义]子图： Ｇ＝(V,E)是图，若Ｇ’＝(V’,E’)也是 图且满足： (1)Ｖ’Ｖ； (2)Ｅ’Ｅ； 则称Ｇ’为Ｇ的子图/subgraph。 注： 当Ｖ’＝Ｖ时，称Ｇ’为Ｇ的生成子图。 当Ｅ’≠Ｅ时，或Ｖ’≠Ｖ时称Ｇ’为Ｇ的 真子图。
关于完全图的子图的补图称为此子图的绝 对补图，若子图记为Ｇ，则补图记为 G。
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a
a e
b
e
b d
图 B
Βιβλιοθήκη Baidu
c
图 A
d
c
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a
b
e
b
e
c
d
c
d
图 C
图 D
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图论方法建模
三、图的表示与同构/
Representing Graph and Graph Isomorphism
图G表示的二种方法：
（1）集合表示 （2）矩阵(matrix)表示 I、邻接矩阵(adjacency matrix)表示 II、关联矩阵(incidence matrix)表示
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a
b
b e c d
图 E
d
图 F
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图论方法建模
图Ａ是一个无向完全图 图Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ均是Ａ的子图
图Ｂ的边[ａ,ｂ]是孤立边
图Ｃ的顶点ａ是孤立顶点
图Ｄ是图Ｃ的子图
图Ｆ是图Ｄ关于图Ｃ的余图
图Ｅ是图Ｃ的补图
（Ａ是完全图， Ｃ是Ａ的子图 )
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图论方法建模
[定义]图的同构： 图Ｇ1＝ （Ｖ1 ， 1） Ｇ2＝ Ｅ ， （Ｖ2 ， 2） Ｅ ， 如果能建立Ｖ1 与Ｖ2 间的一一对应，在此 对应下，Ｅ1 与Ｅ2 中的边也一一对应，对有 向图还保持关联方向的对应，则称图Ｇ1 与 Ｇ2 同构/isomorphism，记作Ｇ1 Ｇ2。
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图论方法建模
下面举几个实际生活中的例子：
例1 铁路交通图
北京 天津
用点表示城市
诸如此类 的还有电 话线分布 图、煤气 管道图、 航空线路 等等
济南 郑州 徐州
南京 武汉
用点与点 之间的连 连云港 线表示两 城市间的 铁路线 上海
青岛
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图论方法建模
一、图的概念/Introduction of Graph [定义]图 V是一个非空有限集，E是V上的一个二元关 系，有序对(V,E)称为有向图/Directed Graph。 若将E中的有序对看成是无序的(即将 e=(a,b) 看 成 e={a,b}), 则 称 (V,E) 为 无 向 图 /Undirected Graph。有向图和无向图统称为图 /Graph ，记为G 。 G =(V，E)
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图论方法建模
设v ∈V(G)，用G－v表示从图G中去掉点v及v的关 联边后得到的一个图。
例如若G如下图(a)所示，则G－v3如下图(b)所示。 下图(c)是图G的一个生成子图。
v1 v1 v1
v2
v3
v2
v2
v3
v4 (a)
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图论方法建模
[定义]孤立顶点：
若ａ∈Ｖ，ａ不与其他顶点相邻，称ａ 为孤立顶点/isolated。
[定义]自回路： 若(a,a)∈E，({a,a}∈E），称边(a,a)({a， a})是自回路/loop。
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Zhibo Lu
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图论方法建模
例2 球队比赛的情况 v5
用点v1 v2 v3 v4 v5 代表五个球队
v1
v4
v2
v3
某两个队比 赛过，就在 这两个队所 对应的点之 间连一条线，
从上面的例子可知，可以用由点及点与点之间的 连线所构成的图，去反映实际生活中，某些对象之间 的某个特定的关系。
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v5
v4 (b)
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v5
v4 (c)
v5
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图论方法建模
[定义]补图/complementary graph ： Ｇ＝(V,E)是图，Ｇ’＝(V’,E’)是Ｇ 的子图，Ｅ”＝Ｅ－Ｅ’，Ｖ”＝V－V’或 是Ｅ”中边所关联的所有顶点集合，则Ｇ” ＝(Ｖ”,Ｅ”)称为Ｇ’关于Ｇ的相对补图。 [定义]绝对补图：
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例：
a 无 向 图 d b
c

c' (a)
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a' (b)
d'
b' (c)
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图论方法建模
从图中不容易直接得出。 可用邻接矩阵，通过某种算法确定两个图 是否同构。 比如这样的两个邻接矩阵：