3.3 简正振动 声子
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由简正坐标所代表的、体系中所有原子一起参加的共
同振动，称为一个振动模。
按照简正坐标的思想可以把晶格振动用简正坐标的形式 写出来：
Aq (t ) Aq e i (t )
un (t ) Aq (t )e
q
i ( qna)
un (q)
1 i ( qna) Q( q ) e Nm q
3.3 简正振动 声子
耦合振动
将光滑水平面上的两个弹簧振子用另一根弹簧 联结起来时，这种系统称为耦合振子。
为简单计，设两个弹簧振子的劲度系数均为k，振子 的质量均为m，另一根弹簧振子的劲度系数为K。如 上图所示取弹簧各自的原长处为坐标零点，则运动 方程：
a kxa K ( xb xa ) m x
q'
化简：
U 1 N
Q(q )(1 e 2m
qq '
iaq
)Q(q ' )(1 e
iaq'
)
e
n q
ina( q q ')
Q(q )(1 e 2m
iaq
)Q( q )(1 e
iaq
)
因此：
U Q(q )Q(q )
q
2m
(1 e iaq )(1 e iaq )
e
n
ina( q q ')
)
因此：
1 (q )Q (q) T Q 2 q
2 1 (q) Q 2 q
un (q)
势能函数：
1 i ( qna) Q ( q ) e Nm q
1 2 U (un 1 un ) 2 n 1 2 (un un 1 ) 2 n 1 1 [ Q(q )einaq (1 e iaq )] 2 n Nm q [ Q(q' )einaq' (1 e iaq' )]
标系里，系统的原子振动可以被描述成简谐振子的运动，即 用简正坐标来描述独立的简谐振动。
2 Qi i Qi 0
i 1,2,3,....3N
系统振动由 3N个独立的谐振子来表述
任意简正坐标的解：
Qi A sin( i t 0 )
简正坐标与位移坐标之间关系为：
mi ui aij Q j
Aq A q
q q
Q( q ) Q( q )
1 N
当
e
n 1
N
ina( q q )
'
q,-q
q -q '
等式左端=1
当 q -q 时：
'
1 N
e
n 1 N
N
ina( q q )
'
1 N
e
n 1
N
in 2l / N
=1
i 2l / N i 2l
un (q)
1 i ( qna) Q ( q ) e Nm q
利用这两式来化简系统动能和势能：
1 2 n T m u 2 n 1 1 inaq inaq' m ( Q(q)e )( Q(q' )e ) 2 Nm n q q' 1 1 Q(q)Q(q' )( 2 qq' N
ni 0,1,2,3....
1 谐振子的解是大家熟知的： i (ni )i 2
其中：
Q(q) Nm Aq e
iq t
u ( q ) n 因此，由
1 i ( qna) Q ( q )e Nm q
得
1 mun (q) N
Q ( q )e
q
i ( qna)
1 mun (q) N
3N
i ( qna) Q ( q ) e q
mi ui aijQ j
简正模与简正频率
如上所述，在耦合振子系统中，有两个特征圆频率
k 0 m
k 2K m m
对于一定的初始条件，系统的每个振子都能以这两个特 征圆频率中的某一个振动。系统中各个振子以相同的频 率作简谐振动的方式，称为该系统的简正模。每个简正 模所对应的频率，称为简正频率。
(9)(10)式是关于两个独立变量q1 和q2 的振动方程，描 述了耦合振子系统的两种独立的运动，这就是简正模的 另一种表述，这两个独立变量q1 和q2就称为简正坐标。
简正坐标：Q1、Q2、Q3、…Q3N
简正坐标与位移坐标有关系：
mi ui aij Q j
j 1
3N
简正坐标的意义
简正坐标是数学上的一种处理方式，它是将各 原子的原始物理坐标进行线性叠加、组合，从而消 除各原子的原始坐标的耦合（它反映了物理间的相 互作用关系）。如将x1x2乘积项转化为Q1和Q2平 方之和（Q1、Q2分别是x1、X2的线性叠加），消 除物理坐标间的相关性，从而将方程中含有Q1或 Q2分别提取出来，分别求解，数学上处理起来相 当方便简洁。
b kxb K ( xb xa ) m x
(1) (2)
由这两个方程的结构可看出，每个振子的加速度都与 另一振子的位置有关，它们的运动彼此相关联， 即两振子之间存在着耦合。
上述两个方程都不是简单的简谐振动方程，一般来说，即使 是两个全同的耦合振子，每个振子的运动也还是比较复杂的。
j 1
3N
1 ui mi
a Q
j 1 ij
3N
j
格波的振动是3N个简正振动的线性叠加
当只考察某一个Qi的振动时：
ui
aij mi
Qj
aij mi
A sin( j t 0 )
即简正振动并不是一个原子的振动，而是 表示整个晶体所有原子都参与的振动，且 振动频率相同。
一维晶格的简正振动
i
mi
3N
简正坐标下的振动方程
系统的拉格朗日函数为：
正则动量为：
1 3N 2 1 3N 2 2 L T - U Qi - i Qi 2 i 1 2 i , j 1
L pi Q i Qi
简正坐标下的振动方程
系统的总能量：
E T U 1 3N 2 1 3N 2 2 Q i i Q i 2 i 1 2 i , j 1
分别把上述两微分方程相加和相减，得:
d ( xa xb ) k 2K ( )( xa xb ) 2 dt m m
2
d ( xa xb ) k ( xa xb ) 2 dt m
2
(3)
(4)
解以上两微分方程，令
xa xb q1 xa xb q2
1 xb (q1 q2 ) 2
能量表达式的简化
引入简正坐标的目的是为了使系统的势能函数和动能函 数具有简单的形式，即化为平方项之和而无交叉项。
由于动能函数是正定的，根据线性代数理论，总可以 找到这样的线性变换，使动能和势能函数同时化为平 方项之和：
1 2 T Q i 2 i 1
其中： i
3N
1 2 2 U i Qi 2 i , j 1
(11) (12)
q2 A2 cos( t 2 )
1 1 A1 cos(0t 1 ) A2 cos( t 2 ) 2 2 1 1 xb A1 cos(0t 1 ) A2 cos( t 2 ) 2 2 xa
(13) (14)
上式中的A1 A2 φ 1 φ2由耦合振子的初始条件决定。
势能表达式
势能在平衡位置展开：
U 1 3 N 2U U U 0 ( ) 0 ui ( ) 0 ui u j 高阶项 2 i , j 1 ui u j i 1 ui
3N
U U 0 0； ( )0 0 ui
1 3 N 2U U ( ) 0 ui u j 2 i , j 1 ui u j
2、 独立格波的总数=晶体中原子总自由度数
每一种格波都有一定的频率ω和波矢q ，由色散关系ω (q)决定二者关系 该种格波是所有原子都共同参与的集体运动形式，称为:简正振动模式
简谐近似下晶格振动的特点
3、 简正振动模式总数为3NS
实际晶体中原子的振动很复杂，但是任何复杂的振动都可 以分解为若干个简正振动模式的叠加。或者说实际的振动 可以通过所有独立振动模式的某种线性组合来描述，就如 同由化学元素周期表中的各种元素的某种组合可以构成任 何一种物质。
1 N
(e
n 1
i 2l / N n
1 e (1 e ) ) 0 i 2l / N N 1 e
ina( q q ' )
因此：
1 N
e
n 1
N
q ,q '
Q(q) Q(q) N ' 1 ina( q q ) e q ,q ' N n 1
简谐近似下晶格振动的特点
简谐近似
U 1 2U 2 泰勒展开 U (a ) U (a ) ( )a ( 2 ) 高阶项 r 2 r
1、形成一系列互相独立的格波
设晶体有N个原胞,每个原胞有S个原子，原子总数NS，每个原子3个自由度 总自由度=3NS，总格波数= 3NS.
2)、各原子相互间的势能项含有交叉项目。 3)、引进简正坐标消除交叉项，同时刚好转变 为谐振子的形式。 4)、量子力学 谐振子模型的能量是量子化的。
三维晶格中原子的坐标描述
1 N N ' U (r ) u (rij ) 2 i j
势能为位移偏移量的函数
对于含有N个原子的三维晶格：
U (r ) U (u1 , u2 ,...., u3 N )
j 1
1 inqa anq e N
Q(q)是否能将
1 1 2 2 n (un1 un ) E T U mu 2 n 2 n
变换为平方和的形式，需要验证。
两个关系式的证明
Q(q) Nm Aq e
Q(q) Nm Aq e
iq t
i q t
系统的哈密顿量：
L pi Q i Qi
1 2 2 2 H E ( pi i Qi ) 2 i 1
3N
简正坐标下的振动方程
1 3N 2 2 2 H ( p Q i i i ) 2 i 1
可见，经过变换后的哈密顿量已经不包含交叉项，成为 我们所熟知的经典谐振子哈密顿量之和，也就是说在新的坐
wk.baidu.com
Q(q )Q(q )
q
2m
(2 2 cos( aq ))
1 2 2 q Q(q) 2 q
即Q(q)是系统的复数形式的简正坐标
2 1 2 2 H ( Q(q ) q Q(q ) ) 2 q
等式右端的每一个单项就代表一个简谐振 子的能量。
能量量子化
2Q 0 Q i i i i 1,2,3,....3N
(13)(14)式表明，每一个振子的坐标都可以表示为这两个 独立的简正坐标的线性组合。可以证明，若质点系统的 自由度为N，则有N个简正模和N个相应的简正频率。一 般而言，对应于运动的初始条件，系统中原子将以一定 方式作N个简谐质点的组合振动。 总之，简正模是一个多自由度运动的一些特殊的组合， 是一些集体运动模式，它们彼此相互独立。如果初始 运动状态符合某个简正模式，则系统将按此模式振动， 其它模式将不激发；如果初始运动状态是任意的，则 该系统的运动将是各简正模式按一定比例的叠加。
描述晶格振动的基本成分----- 3NS种独立格波
理论依据
运动方程是线性的
d 2 xn m 2 ( xn1 xn1 2 xn ) dt
方程特解为：
xn Ae
i (t naq )
普遍解=特解线性组合
实际运动情况=独立格波线性组合
简正振动法分析晶格振动的几大步骤
1)、格波作用下，晶体的能量：各原子动能+相 互间的势能。
1 xa (q1 q2 ) 2
(5) (6) (7) (8) (9)
则上述两微分方程简化为
d 2 q1 k q1 2 dt m
d 2 q2 k 2K ( ) q2 2 dt m m
(10)
这是两个标准的简谐振动之力方程，它们的通解为
q1 A1 cos(0t 1 )
只保留 ui 的二次项称作简谐近似。系统总能量中势能项中包含 有依赖于两原子坐标的交叉项，这给理论表述带来了困难， 同时，由于ui 的变化可以是连续的，所以总能量也是连续的。 这是经典力学描述的结果。
动能表达式
1 2 i T mi u 2 i 1
3N
为使系统的势能和动能表示更加简化，引入简正坐标：
同振动，称为一个振动模。
按照简正坐标的思想可以把晶格振动用简正坐标的形式 写出来：
Aq (t ) Aq e i (t )
un (t ) Aq (t )e
q
i ( qna)
un (q)
1 i ( qna) Q( q ) e Nm q
3.3 简正振动 声子
耦合振动
将光滑水平面上的两个弹簧振子用另一根弹簧 联结起来时，这种系统称为耦合振子。
为简单计，设两个弹簧振子的劲度系数均为k，振子 的质量均为m，另一根弹簧振子的劲度系数为K。如 上图所示取弹簧各自的原长处为坐标零点，则运动 方程：
a kxa K ( xb xa ) m x
q'
化简：
U 1 N
Q(q )(1 e 2m
qq '
iaq
)Q(q ' )(1 e
iaq'
)
e
n q
ina( q q ')
Q(q )(1 e 2m
iaq
)Q( q )(1 e
iaq
)
因此：
U Q(q )Q(q )
q
2m
(1 e iaq )(1 e iaq )
e
n
ina( q q ')
)
因此：
1 (q )Q (q) T Q 2 q
2 1 (q) Q 2 q
un (q)
势能函数：
1 i ( qna) Q ( q ) e Nm q
1 2 U (un 1 un ) 2 n 1 2 (un un 1 ) 2 n 1 1 [ Q(q )einaq (1 e iaq )] 2 n Nm q [ Q(q' )einaq' (1 e iaq' )]
标系里，系统的原子振动可以被描述成简谐振子的运动，即 用简正坐标来描述独立的简谐振动。
2 Qi i Qi 0
i 1,2,3,....3N
系统振动由 3N个独立的谐振子来表述
任意简正坐标的解：
Qi A sin( i t 0 )
简正坐标与位移坐标之间关系为：
mi ui aij Q j
Aq A q
q q
Q( q ) Q( q )
1 N
当
e
n 1
N
ina( q q )
'
q,-q
q -q '
等式左端=1
当 q -q 时：
'
1 N
e
n 1 N
N
ina( q q )
'
1 N
e
n 1
N
in 2l / N
=1
i 2l / N i 2l
un (q)
1 i ( qna) Q ( q ) e Nm q
利用这两式来化简系统动能和势能：
1 2 n T m u 2 n 1 1 inaq inaq' m ( Q(q)e )( Q(q' )e ) 2 Nm n q q' 1 1 Q(q)Q(q' )( 2 qq' N
ni 0,1,2,3....
1 谐振子的解是大家熟知的： i (ni )i 2
其中：
Q(q) Nm Aq e
iq t
u ( q ) n 因此，由
1 i ( qna) Q ( q )e Nm q
得
1 mun (q) N
Q ( q )e
q
i ( qna)
1 mun (q) N
3N
i ( qna) Q ( q ) e q
mi ui aijQ j
简正模与简正频率
如上所述，在耦合振子系统中，有两个特征圆频率
k 0 m
k 2K m m
对于一定的初始条件，系统的每个振子都能以这两个特 征圆频率中的某一个振动。系统中各个振子以相同的频 率作简谐振动的方式，称为该系统的简正模。每个简正 模所对应的频率，称为简正频率。
(9)(10)式是关于两个独立变量q1 和q2 的振动方程，描 述了耦合振子系统的两种独立的运动，这就是简正模的 另一种表述，这两个独立变量q1 和q2就称为简正坐标。
简正坐标：Q1、Q2、Q3、…Q3N
简正坐标与位移坐标有关系：
mi ui aij Q j
j 1
3N
简正坐标的意义
简正坐标是数学上的一种处理方式，它是将各 原子的原始物理坐标进行线性叠加、组合，从而消 除各原子的原始坐标的耦合（它反映了物理间的相 互作用关系）。如将x1x2乘积项转化为Q1和Q2平 方之和（Q1、Q2分别是x1、X2的线性叠加），消 除物理坐标间的相关性，从而将方程中含有Q1或 Q2分别提取出来，分别求解，数学上处理起来相 当方便简洁。
b kxb K ( xb xa ) m x
(1) (2)
由这两个方程的结构可看出，每个振子的加速度都与 另一振子的位置有关，它们的运动彼此相关联， 即两振子之间存在着耦合。
上述两个方程都不是简单的简谐振动方程，一般来说，即使 是两个全同的耦合振子，每个振子的运动也还是比较复杂的。
j 1
3N
1 ui mi
a Q
j 1 ij
3N
j
格波的振动是3N个简正振动的线性叠加
当只考察某一个Qi的振动时：
ui
aij mi
Qj
aij mi
A sin( j t 0 )
即简正振动并不是一个原子的振动，而是 表示整个晶体所有原子都参与的振动，且 振动频率相同。
一维晶格的简正振动
i
mi
3N
简正坐标下的振动方程
系统的拉格朗日函数为：
正则动量为：
1 3N 2 1 3N 2 2 L T - U Qi - i Qi 2 i 1 2 i , j 1
L pi Q i Qi
简正坐标下的振动方程
系统的总能量：
E T U 1 3N 2 1 3N 2 2 Q i i Q i 2 i 1 2 i , j 1
分别把上述两微分方程相加和相减，得:
d ( xa xb ) k 2K ( )( xa xb ) 2 dt m m
2
d ( xa xb ) k ( xa xb ) 2 dt m
2
(3)
(4)
解以上两微分方程，令
xa xb q1 xa xb q2
1 xb (q1 q2 ) 2
能量表达式的简化
引入简正坐标的目的是为了使系统的势能函数和动能函 数具有简单的形式，即化为平方项之和而无交叉项。
由于动能函数是正定的，根据线性代数理论，总可以 找到这样的线性变换，使动能和势能函数同时化为平 方项之和：
1 2 T Q i 2 i 1
其中： i
3N
1 2 2 U i Qi 2 i , j 1
(11) (12)
q2 A2 cos( t 2 )
1 1 A1 cos(0t 1 ) A2 cos( t 2 ) 2 2 1 1 xb A1 cos(0t 1 ) A2 cos( t 2 ) 2 2 xa
(13) (14)
上式中的A1 A2 φ 1 φ2由耦合振子的初始条件决定。
势能表达式
势能在平衡位置展开：
U 1 3 N 2U U U 0 ( ) 0 ui ( ) 0 ui u j 高阶项 2 i , j 1 ui u j i 1 ui
3N
U U 0 0； ( )0 0 ui
1 3 N 2U U ( ) 0 ui u j 2 i , j 1 ui u j
2、 独立格波的总数=晶体中原子总自由度数
每一种格波都有一定的频率ω和波矢q ，由色散关系ω (q)决定二者关系 该种格波是所有原子都共同参与的集体运动形式，称为:简正振动模式
简谐近似下晶格振动的特点
3、 简正振动模式总数为3NS
实际晶体中原子的振动很复杂，但是任何复杂的振动都可 以分解为若干个简正振动模式的叠加。或者说实际的振动 可以通过所有独立振动模式的某种线性组合来描述，就如 同由化学元素周期表中的各种元素的某种组合可以构成任 何一种物质。
1 N
(e
n 1
i 2l / N n
1 e (1 e ) ) 0 i 2l / N N 1 e
ina( q q ' )
因此：
1 N
e
n 1
N
q ,q '
Q(q) Q(q) N ' 1 ina( q q ) e q ,q ' N n 1
简谐近似下晶格振动的特点
简谐近似
U 1 2U 2 泰勒展开 U (a ) U (a ) ( )a ( 2 ) 高阶项 r 2 r
1、形成一系列互相独立的格波
设晶体有N个原胞,每个原胞有S个原子，原子总数NS，每个原子3个自由度 总自由度=3NS，总格波数= 3NS.
2)、各原子相互间的势能项含有交叉项目。 3)、引进简正坐标消除交叉项，同时刚好转变 为谐振子的形式。 4)、量子力学 谐振子模型的能量是量子化的。
三维晶格中原子的坐标描述
1 N N ' U (r ) u (rij ) 2 i j
势能为位移偏移量的函数
对于含有N个原子的三维晶格：
U (r ) U (u1 , u2 ,...., u3 N )
j 1
1 inqa anq e N
Q(q)是否能将
1 1 2 2 n (un1 un ) E T U mu 2 n 2 n
变换为平方和的形式，需要验证。
两个关系式的证明
Q(q) Nm Aq e
Q(q) Nm Aq e
iq t
i q t
系统的哈密顿量：
L pi Q i Qi
1 2 2 2 H E ( pi i Qi ) 2 i 1
3N
简正坐标下的振动方程
1 3N 2 2 2 H ( p Q i i i ) 2 i 1
可见，经过变换后的哈密顿量已经不包含交叉项，成为 我们所熟知的经典谐振子哈密顿量之和，也就是说在新的坐
wk.baidu.com
Q(q )Q(q )
q
2m
(2 2 cos( aq ))
1 2 2 q Q(q) 2 q
即Q(q)是系统的复数形式的简正坐标
2 1 2 2 H ( Q(q ) q Q(q ) ) 2 q
等式右端的每一个单项就代表一个简谐振 子的能量。
能量量子化
2Q 0 Q i i i i 1,2,3,....3N
(13)(14)式表明，每一个振子的坐标都可以表示为这两个 独立的简正坐标的线性组合。可以证明，若质点系统的 自由度为N，则有N个简正模和N个相应的简正频率。一 般而言，对应于运动的初始条件，系统中原子将以一定 方式作N个简谐质点的组合振动。 总之，简正模是一个多自由度运动的一些特殊的组合， 是一些集体运动模式，它们彼此相互独立。如果初始 运动状态符合某个简正模式，则系统将按此模式振动， 其它模式将不激发；如果初始运动状态是任意的，则 该系统的运动将是各简正模式按一定比例的叠加。
描述晶格振动的基本成分----- 3NS种独立格波
理论依据
运动方程是线性的
d 2 xn m 2 ( xn1 xn1 2 xn ) dt
方程特解为：
xn Ae
i (t naq )
普遍解=特解线性组合
实际运动情况=独立格波线性组合
简正振动法分析晶格振动的几大步骤
1)、格波作用下，晶体的能量：各原子动能+相 互间的势能。
1 xa (q1 q2 ) 2
(5) (6) (7) (8) (9)
则上述两微分方程简化为
d 2 q1 k q1 2 dt m
d 2 q2 k 2K ( ) q2 2 dt m m
(10)
这是两个标准的简谐振动之力方程，它们的通解为
q1 A1 cos(0t 1 )
只保留 ui 的二次项称作简谐近似。系统总能量中势能项中包含 有依赖于两原子坐标的交叉项，这给理论表述带来了困难， 同时，由于ui 的变化可以是连续的，所以总能量也是连续的。 这是经典力学描述的结果。
动能表达式
1 2 i T mi u 2 i 1
3N
为使系统的势能和动能表示更加简化，引入简正坐标：