递增与递减区间a函数的定义域

3-6
判斷函數的遞增與遞減
觀察下圖，發現整個圖形發生轉折的點在 x = a, b, c, d，而 且 f(x) 在 (- , a) 為遞增，在 (a, b) 為遞減，在 (b, c) 為遞 增，在(c, d) 為遞減，在 (d, ) 亦為遞減。另一方面，我們 又發現在這些轉折的點，f '(a) = 0 且 f '(b)、 f '(c) 與 f '(d) 都不存在。
在 x = b 附近，f (b) 之 值最小，我們稱 f (b) 為 f(x) 之 相 對 極 小 值 (relative minimum value) ，同理 f (d) 亦為 f (x)
之相對極小值。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用
3-14
相對極值
定義3-2: f (x) 為一函數且 a 和 b 屬於 f (x) 之定 義域。
結論：求出 f '(x) = 0 或不存 在的點 x，我們即可判別 f(x) 在那些區間是遞增或遞減。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用
3-7
遞增函數
設 f(x) = x3 ，則 f (x) 為遞增函數。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用
3-8
決定遞增與遞減區間
設 f(x) = x2 + 2x - 5，決定 f(x) 遞增或遞減之區間。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用
3-2
遞增函數與遞減函數
定義3-1: 設 f(x) 為一函數定義在開區間 I 中。
(a) 若 x1 < x2，則 f (x1) < f (x2)。吾人稱 f(x) 在 I 為遞增函數 (increasing function)。
(b) 若 x1 < x2，則 f (x1) > f (x2)。吾人稱 f(x) 在 I 為遞減函數 (decreasing function)。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用
3-5
判斷函數的遞增與遞減
若 f(x) 在 (a, b) 為遞減，如 右圖所示，我們發現對任 意 a < x < b，切線之斜率 皆小於 0，即 f '(x) < 0。
定理3-1: 一階導數判別函 數設的f(遞x) 為增一或定遞義減在開區間 I 的可微函數。
若存在開區間 I 包含 a 且對任意 x 屬於 I，f (x) < f (a)，則 f (a) 稱為 f (x) 的相對極大值。 若存在開區間 I 包含 b 且對任意 x 屬於 I，f (x) > f (b)，則 f (b) 稱為 f (x) 的相對極小值。 f (x) 之相對極大值或相對小值統稱為 f (x) 之 相對極值 (relative extreme value)。
Chapter 3
導數的應用
增函數與遞減函數 相對極值與圖形的描繪 凹性與圖形的描繪 絕對極值 最佳化問題
經濟學與商學上的應用 隱微分法 相關變率 線性近似與微分
商用微績分 Chapter 3 導數的應用
3-1
Fra Baidu bibliotek
遞增函數與遞減函數
觀察下列圖形，我們發現它的圖形在開區間 (- , a) 和 (b, )裡，圖形由左下角往右上角上升(遞增)； 在開區間 (a, b) 裡，圖形由左上角往右下角下降 (遞減)。
3-13
相對極值與圖形的描繪
在下圖中，我們發現它在 (a, f (a)) 及 (c, f (c)) 為相對的最高
點，在 (b, f (b)) 及 (d, f (d)) 為相對的最低點。
在 x = a 附近，f (a) 之值最大，這時候我們稱 f (a) 為 f(x) 之 相對極大值 (relative maximum value)，f (c) 亦為 f (x) 之相 對極大值。
遞增函數與遞減函數
設 f(x) = x2，則 f(x) 在 (0, ) 為遞增函數，在 (-, 0) 為遞減函數。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用
3-3
遞增函數與遞減函數
設
f
(x)

1 x
，則 f(x) 在 (0, ) 為遞減函數，在(-,
0) 亦為遞減函數。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用
商用微績分 Chapter 3 導數的應用
3-15
臨界點
定義3-3: 設 f (x) 為一函數且 c 屬於 f (x) 之定義域。 若 f '(c) = 0 或不存在，則 c (或(c, f (c)))稱為 f(x) 的臨界點 (critical point)。 求臨界點
(a)若對任意 x 在 I 裡，f '(x) > 0，則 f(x) 在 I 為遞增函數。 (b)若對任意 x 在 I 裡，f '(x) < 0，則 f(x) 在 I 為遞減函數。 (c)若對任意 x 在 I 裡，f '(x) = 0，則 f(x) 在 I 為常數函數。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用
解: P'(x) = -3x2 + 90x + 3000 = -3(x - 50)(x + 20) 所以，純就函數的觀點而言，P'(50) = P'(-20) = 0。因為耳機銷售量必須為正整數，故該零售商 每日銷售量介於 0 和 50 間其利潤遞增，銷售量 大於 50 時，其利潤遞減。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用
商用微績分 Chapter 3 導數的應用
3-9
決定遞增與遞減區間
設 f(x) = x2/3 ，決定 f(x) 遞增或遞減之區間。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用
3-10
決定遞增與遞減區間
設 f(x) = x4 – 4x3 + 5 ，決定 f(x) 遞增或遞減之 區間。
商用微績分 Chapter 3 導數的應用
3-4
判斷函數的遞增與遞減
由函數的定義證明函數為 遞增或遞減，此種方法很 困難而且不經濟，必須尋 求另外的辦法來判斷函數 的遞增與遞減。
先考慮遞增的情況。假設 f(x) 在 (a, b) 區間為遞增， 如右圖所示，我們發現對 任意 a < x < b，切線之斜 率皆大於 0，即 f '(x) > 0。
3-11
決定遞增與遞減區間
設
f
(
x)

(xx2
2x - 5)2
-
5
當x 4 當x 4
商用微績分 Chapter 3 導數的應用
3-12
利潤遞增與遞減
某家零售商銷售耳機，其每日銷售 x 個耳機之利 潤為 P(x) = -x3 + 45x2 + 3000x 元。求該零售商之 利潤遞增或遞減的銷售量區間為何。