柯西—黎曼方程

3. 解析函数的充分必要条件 设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在区域B内解析当且仅当：
(1)实部和虚部在B内可导；
(2)实部和虚部在B内每一点满足柯西—黎曼条件
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例 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
(1). w z ; (2). f ( z ) e x (cos y i sin y); (3). w z Re( z )
设f(z)在z点可导.下面分析z分别沿平行于实轴（ y0）和平行于虚轴 （ x0）趋于零的特殊情况：
z沿实轴→0, y0
w w x x, y w x , y z x u x x , y u x , y v x x , y v x , y i x x u v i x x
u u 2 x, 0 x y v v y, x x y
• 容易看出, 这四个偏导数处处连续, 但仅当x=y=0时, 它们才满足柯西-黎曼方程, 因而函数仅在z=0可导, 但在复平面内任何地方都不解析.
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由于f(z)在z点可导，要求沿不同方向的极限相等
u v ; x y
可导必要条件
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u v y x
柯西—黎曼方程 或C-R条件
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复变函数可导的充分条件：
可导的充分条件是: f(z)=u+iv的u,v偏导数 在，连续且满足柯西—黎曼方程。
u u v v , , , x y x y
柯西—黎曼方程
张宏浩
柯西—黎曼方程（复变函数可导必要条件） 可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。 实变数f(x)： x沿实轴逼近零。
0 实数
x
x x
复变函数f(z)：z沿任一曲线逼近零。
y 复数 z
z Hale Waihona Puke Baiduz
因此，复函数的可导性是比实 函数的可导性条件强得多。
z z '
x
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u v i x x
这一极限是与 z 0 的方式无关的有限值
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解析函数
解析函数的概念
若函数f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在 区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内是解析函数
说明： 1.解析与可导不等价 函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然 但是在区域B内解析的函数则解析与可导等价.
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• 柯西-黎曼方程成立, 由于上面四个偏导数都是 连续的, 所以f(z)在复平面内处处可导, 处处解 析, 且根据(1.2.4)式有 • f '(z)=ex(cos y+isin y)=f(z) • 这个函数就是指数函数ez.
(3) 由w=zRe(z)=x2+ixy, 得u=x2, v=xy, 所以
u x , y y u x , y v x , y y v x , y i i y i y u v i i y i y u w v v u lim lim i i z 0 z y 0 i y i y y y x 0
w v u v u lim lim i i z 0 z x 0 x x x x y 0
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z沿虚轴→, x0
w w x , y y w x , y z i y
w u v lim i z 0 z x x y 0
[解] （1） 因为u=x, v=-y,
u u v v 1, 0, 0, 1 x y x y
可知柯西-黎曼方程不满足, 所以 w =z 在复平面内处处不可导, 处处不解析
（2） 因为u=excos y, v=exsin y,
u u x e cos y, e x sin y x y v v x x e sin y, e cos y x y
例：函数 f ( z ) z 2 x2 y 2
u x, y x 2 y 2 , v( x, y) 0
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u v ; x y
u v y x
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只在z=0点可导，因而在复平面上处处不解析
2. 称函数的不解析点为奇点 f(z)在点z0 无定义或无确定值； f(z)在点z0 不连续； f(z)在点z0 不可导； f(z)在点z0 可导,但找不到在其内处处可导的邻域
存
证：
由于偏导数连续，则二元函数u 和v 的增量可分别写为
u u u x y 1 x 2 y x y
v v v x y 3 x 4 y x y
随着 z 0 则
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i 0
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u u v v x y i ( x y ) f u i v x y x y lim lim lim z 0 z z 0 z 0 z z u v x y 柯西—黎曼方程 u v y x u v (x i y ) i (x i y ) x lim x z 0 z