基本初等函数 换底公式(44张)

思路方法技巧
命题方向 1 换底公式的应用
[例 1]
1 1 1 (1)计算 log2 · log3 · log5 . 25 8 9
(2)若 log34· log48· log8m＝log42，求 m 的值． [分析] (1)将底统一成以 10 为底的常用对数； (2)等式左
边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容 易进行约分求解 m 的值．
m
3 ＝ . 2 lg9 lg32 lg32 lg25 2lg3 5lg2 10 (3)log89· log2732＝lg8· lg27＝lg23· lg33＝3lg2· 3lg3＝ 9 .
Fra Baidu bibliotek [例 2] [分析]
已知 log189＝a,18b＝5，用 a、b 表示 log3645. 本题是不同底数的对数之间的运算， 解答本题可
自主预习 1．(1)计算 log48，log42 与 log28 的值，看它们之间有什 么关系？
3 1 log48 ， ，3，log28＝ . 2 2 log42
[答案]
(2)计算 log1 000100 的值，看它们与 lg100，lg1 000 的值有 何联系？
[答案]
lg100 log1 000100＝lg1 000.
4．利用换底公式求值： 2 (1)log54· log85＝ 3 .
10 (2)log89· log2732＝ 9 .
[解析]
lg4 lg5 2 (1)原式＝ · ＝ . lg5 lg8 3
lg9 lg32 2lg3 5lg2 10 (2)log89· log2732＝lg8×lg27＝3lg2×3lg3＝ 9 .
先利用换底公式化成同底的对数，然后根据对数的运算法则 求解．
[解析]
解法一：log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，
log1845 log189×5 log189＋log185 ∴log3645＝log 36＝ ＝ log1818×2 1＋log182 18 a＋b ＝ 18＝2－a. 1＋log18 9 a＋b
1 2
∴m＝ 3.
规律总结： 换底公式可将不同底的对数换算为常用对数 或自然对数，是对数运算中非常重要的工具．在运用换底公 式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论如 1 n n n logab＝log a；logaa ＝n，logbb ＝mlogab；lg2＋lg5＝1 等，将 b 会达到事半功倍的效果．
n (1)求证：logamb ＝ logab(a<0 且 a≠1，b>0) m
n
(2)log927； (3)log89· log2732.
[解题流程] 对数运算 ――→ 结果 性质
换底公式 原式 ――→ 同底数的对数式 及常用结论
[解析]
n log b nlogab n a n (1)logamb ＝ ＝ ＝ log b. logaam mlogaa m a
成才之路· 数学
人教A版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
第二章
2．2 对 数 函 数
第二章
2.2.1 对数与对数运算
第二章
第 3 课时 换底公式
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课前自主预习
温故知新 1．指数式与对数式的互化：ax＝N⇔ logaN＝x (a>0，且 a≠1)．
[解析]
1 1 1 lg25 lg8 lg9 (1)原式＝ lg2 · lg3· lg5
－2lg5· －3lg2· －2lg3 ＝ ＝－12. lg2lg3lg5 lg4 lg8 lgm lg2 1 (2)由题意，得lg3· lg4· lg8 ＝lg4＝2， 1 ∴lgm＝2lg3，即 lgm＝lg3 ，
lg27 lg33 3lg3 (2)解法一： (换成以 10 为底)： log927＝ lg9 ＝lg32＝2lg3＝ 3 2.
log327 log333 3log33 解法二： (换成以 3 为底)： log927＝ ＝ ＝ log39 log332 2log33 3 ＝2. m 3 3 解法三：(利用 loganb ＝ n logab)：log927＝log323 ＝2log33
解法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b， log189×5 log189＋log185 a＋b ∴log3645＝ ＝ ＝ . 18 2log1818－log189 2－a log18 9 解法三：∵log189＝a,18b＝5，∴lg9＝alg18，lg5＝blg18. lg9＋lg5 lg45 lg9×5 ∴log3645＝lg36＝ 182 ＝ 2lg18－lg9 lg 9 alg18＋blg18 a＋b ＝ ＝ . 2lg18－alg18 2－a
设 log83＝a，log35＝b，试用 a，b 表示 log25.
[解析] b· log833＝3ab.
log35 解 法 一 ： log25 ＝ ＝ b· log23 ＝ b· log2333 ＝ log32
解法二：因为 lg3＝alg8，lg5＝blg3， lg5 blg3 lg3 所以 lg25＝lg2＝1 ＝3blg8＝3ab. lg8 3
logcb 2． 换底公式： logab＝ (其中 a>0 且 a≠1， c>0 且 c≠1， logca b>0)． 3．由换底公式可得： 1 (1)logab＝log a(a>0 且 a≠1，b>0 且 b≠1)． b
n (2)logambn＝ m logab(其中 a>0 且 a≠1，b>0)
2．对数的运算性质：如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0， 那么， (1)loga(M· N)＝ logaM＋logaN ； M log M－log N a a (2)loga N ＝ ； (3)logaMn＝ nlogaM (n∈R)．
新课引入 通过以前的学习，我们对于对数的基本运算性质已经有 了一定的了解，能应用真数的积、商、幂的对数运算解决一 些问题．平时我们可以遇到这样的化简，如 alogaN，又能在 化简中遇到 logab 与 logba 的化简问题， 这些问题怎么解决呢？