对数函数·换底公式·例题
高中数学复习提升-对数的运算及换底公式7(学生)
第三章 指数函数、对数函数和幂函数第 7 课时 内容：对数的公式班级 姓名 小组一、学习目标1．理解并掌握对数性质及运算法则； 2．掌握对数换底公式；二、自主学习 阅读读本(P75 –P78 )1.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 1.加法：log log log ()a a a M N MN += 2.减法：log log log a a aM M N N-= 3.数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ 4.N aNa =log5.换底公式：log a N=aNc c log log )1,0(≠>c c 说明：由换底公式可得以下常见结论（也称变形公式）： ① log log 1a b b a ⋅=；② log log m n a a nb b m=；三、例题分析 例1.求值．（1）log 5125； （2）log 2(23·45)；（3）(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2； (4)3log 24例2.计算（1）83log 9log 32⨯（2）427125log 9log 25log 16⋅⋅（3）483912(log 3log 3)(log 2log 2)log ++-例3.设)2lg(2lg lg b a b a -=+，求log 4a b的值．四、课堂训练1.若0>a 且1≠a ,0,0>>N M ,且N M >,给出下列式子:①)(log log log N M N M a a a +=⋅; ②)(log log log N M N M a a a ⋅=⋅; ③)(log log log MN N M a a a =+; ④)(log log log N M N M a a a -=-. 其中不正确的是 .2. 用lg x ，lg y ，lg z表示：2lg yz3.求值：（1）52log (48)⨯ （2）52lg 4lg 8+ （3）lg8lg125+ （4）13log 22+4. 化简：532111log 7log 7log 7++；5. 设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值.五、课堂小结 1．对数的运算性质； 2．换底公式.六、课后作业1.若a =2lg ，lg3＝b ，则log 512＝________2.计算：（1）12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+(2)(log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258)3.若a lg 、b lg 是方程01422=+-x x 的两个实根，求2)(lg )lg(baab ⋅的值。
对数的运算及换底公式2012.10.27
关系： １．关系： a b = N
指数式
b = log a N
对数式
a
指数式 a b = N 对数式 log a N = b 底数 对数的底数
N
幂 真数
b
指数 对数
2.特殊对数：1）常用对数 — 以10为底的对数；lg N 特殊对数： ） 为底的对数； 特殊对数 为底的对数 2）自然对数— 以 e 为底的对数；ln N ）自然对数 为底的对数； 3.重要结论：1）log a a = 1；2）log a 1 = 0 重要结论： ） 重要结论 ； ） 4.对数恒等式：a log a N = N 对数恒等式： 对数恒等式
n N = log a N m
n
(a, c ∈ (0,1) U (1,+∞), N > 0) a, b ∈ (0,1) U (1,+∞)
1、计算： (1) log 5 35 －2log 5 、计算：
7 + log 5 7 －log 5 1. 8 3
(2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2
解法一： 解法一： 解法二： 解法二：
7 7 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 3 3 7 7 2 = lg 14 − lg( ) + lg 7 − lg 18 = lg(2 × 7) − 2 lg 3 3 2 + lg 7 − lg(2 × 3 ) 14 × 7 = lg 7 2 = lg 2 + lg 7 − 2(lg 7 − lg 3) ( ) × 18 3 + lg 7 − (lg 2 + 2 lg 3) = lg 1 = 0 =0
对数函数换底公式
对数函数换底公式换底公式为：loga（b）=logc（b）/logc（a）（c＞0，c≠1）推导过程令loga（b）=t (1)即a^t=b两边取以c（c＞0，c≠1）的对数即logc（a^t）=logc（b）即t logc（a）=logc（b）故由a≠1，即logc（a）≠0即t=logc（b）/ logc（a） (2)由（1）与（2）知loga（b）=logc（b）/logc（a）。
如果ax =N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。
它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
扩展资料：在高等数学中有一种求导方法叫对数求导法，其原理就是指数函数的换底，把底为普通常数或变量的指数函数或幂指函数统统都变形为以e为底的复合函数形式。
这些都可以很容易地由对数换底公式及推论得到。
在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。
【在一个普通对数式里a<0，或=1 的时候是会有相应b的值。
但是，根据对数定义：log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）】通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm），并把log10N 记为lgN。
另外，在科学计数中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并且把logeN 记为In N。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。
换底公式的课后经典练习
.3一、选择题1．下列各式中不正确的是( )[答案] D[解析] 根据对数的运算性质可知：2．log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg6lg5×lg7lg6×lg8lg7＝lg8lg2＝3，故选C.3．设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b 1＋a B.a ＋2b 1＋a C.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a[答案] C[解析] log 512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a ＋b1－a ，故选C.4．已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg2用p 、q 表示为( ) A ．pq B.q p ＋q C.pp ＋qD.pq 1＋pq[答案] B[解析] 由已知得：log 72log 75＝p q ，∴log 52＝pq变形为：lg2lg5＝lg21－lg2＝p q ，∴lg2＝pp ＋q ，故选B.5．设x ＝ ，则x ∈( )A ．(－2，－1)B ．(1,2)C ．(－3，－2)D ．(2,3)[答案] D[解析] x ＝＝log 310∈(2,3)，故选D.6．设a 、b 、c ∈R ＋，且3a ＝4b ＝6c ，则以下四个式子中恒成立的是( ) A.1c ＝1a ＋1b B.2c ＝2a ＋1b C.1c ＝2a ＋2bD.2c ＝1a ＋2b[答案] B[解析] 设3a ＝4b ＝6c ＝m ， ∴a ＝log m 3，b ＝log m 4，c ＝log m 6， ∴1a ＝log m 3，1b ＝log m 4，1c ＝log m 6， 又∵log m 6＝log m 3＋log m 2，1c ＝1a ＋12b ，即2c ＝2a ＋1b，故选B. 7．设方程(lg x )2－lg x 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于( ) A ．1 B ．－2 C ．－103D ．－4[答案] C[解析] 由已知得：lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝－3 那么log a b ＋log b a ＝lg b lg a ＋lg a lg b ＝lg 2b ＋lg 2alg a lg b＝(lg a ＋lg b )2－2lg a lg b lg a lg b ＝4＋6－3＝－103，故选C.8．已知函数f (x )＝2x 2＋lg(x ＋x 2＋1)，且f (－1)≈1.62，则f (1)≈( )A ．2.62B ．2.38C ．1.62D ．0.38[答案] B[解析] f (－1)＝2＋lg(2－1)，f (1)＝2＋lg(2＋1) 因此f (－1)＋f (1)＝4＋lg[(2－1)(2＋1)]＝4， ∴f (1)＝4－f (－1)≈2.38，故选B. 二、填空题9．设log 89＝a ，log 35＝b ，则lg2＝________. [答案]22＋3ab[解析] 由log 89＝a 得log 23＝32a ，∴lg3lg2＝3a2，又∵log 35＝lg5lg3＝b ，∴lg3lg2×lg5lg3＝32ab ， ∴1－lg2lg2＝32ab ， ∴lg2＝22＋3ab.10．已知log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，那么式子log abc x ＝________. [答案] 1[解析] log x (abc )＝log x a ＋log x b ＋log x c ＝12＋13＋16＝1，∴log abc x ＝1.11．若log a c ＋log b c ＝0(c ≠1)，则ab ＋c －abc ＝______. [答案] 1[解析] 由log a c ＋log b c ＝0得：lg(ab )lg a lg b·lg c ＝0，∵c ≠1，∴lg c ≠0∴ab ＝1， ∴ab ＋c －abc ＝1＋c －c ＝1.12．光线每透过一块玻璃板，其强度要减弱110，要使光线减弱到原来的13以下，至少要这样的玻璃板______块(lg3＝0.4771)．[答案] 11[解析] 设光线原来的强度为1，透过第n 块玻璃板后的强度为(1－110)n .由题意(1－110)n <13，两边同时取对数得n lg(1－110)<lg 13，所以n >－lg32lg3－1＝0.47710.0458≈10.42故至少需要11块玻璃板． 三、解答题13．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 的值． [解析] log 416＝2，log 34·log 48·log 8m ＝log 3m ＝2， ∴m ＝9.14．计算(lg 12＋lg1＋lg2＋lg4＋lg8＋……＋lg1024)·log 210.[解析] (lg 12＋lg1＋lg2＋lg4＋…＋lg1024)·log 210＝(－1＋0＋1＋2＋…＋10)lg2·log 210＝－1＋102×12＝54. 15．若25a ＝53b ＝102c ，试求a 、b 、c 之间的关系． [解析] 设25a ＝53b ＝102c ＝k ， 则a ＝15log 2k ，b ＝13log 5k ，c ＝12lg k .∴log k 2＝15a ，log k 5＝13b ，log k 10＝12c ，又log k 2＋log k 5＝log k 10，∴15a ＋13b ＝12c. 16．设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2b ＝1，求m 的值．[解析] a ＝log 4m ，b ＝log 5m .∴1a ＋2b＝log m 4＋2log m 5＝log m 100＝1，∴m ＝100. 17．已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最大值是3，求a 的值． [解析] ∵f (x )的最大值等于3∴⎩⎪⎨⎪⎧lg a <016lg 2a －44lg a ＝3，∴(4lg a ＋1)(lg a －1)＝0∵lg a <0，∴lg a ＝－14，∴a ＝10－14.。
换底公式练习题
换底公式练习题换底公式练习题换底公式是数学中一个重要的概念，常用于解决对数运算中底数不同的情况。
通过换底公式，我们可以将一个对数的底数变换为另一个底数，从而简化计算。
在本文中，我们将通过一些实际的练习题来加深对换底公式的理解和应用。
练习题一：已知log2 3 ≈ 1.585和log2 5 ≈ 2.322，请计算log3 5。
解析：我们需要将底数为2的对数转换为底数为3的对数。
根据换底公式：loga b = logc b / logc a我们可以将log2 3转换为底数为3的对数：log3 3 = log2 3 / log2 3 ≈ 1.585 / 0.631 ≈ 2.511练习题二：已知log5 2 ≈ 0.431和log5 3 ≈ 0.682，请计算log2 3。
解析：我们需要将底数为5的对数转换为底数为2的对数。
根据换底公式：loga b = logc b / logc a我们可以将log5 3转换为底数为2的对数：log2 3 = log5 3 / log5 2 ≈ 0.682 / 0.431 ≈ 1.583练习题三：已知log10 2 ≈ 0.301和log10 3 ≈ 0.477，请计算log2 3。
解析：我们需要将底数为10的对数转换为底数为2的对数。
根据换底公式：loga b = logc b / logc a我们可以将log10 3转换为底数为2的对数：log2 3 = log10 3 / log10 2 ≈ 0.477 / 0.301 ≈ 1.584通过以上练习题，我们可以看到换底公式的应用。
它可以帮助我们在不同底数的对数运算中进行转换，从而简化计算过程。
换底公式的理解和掌握对于解决复杂的对数问题非常重要。
除了上述练习题，我们还可以通过实际生活中的例子来进一步理解换底公式的应用。
例如，假设我们需要计算某个物质的半衰期，而我们只知道以10为底的对数。
如果我们想要以2为底进行计算，就可以利用换底公式将底数为10的对数转换为底数为2的对数，从而得到准确的半衰期。
对数换底公式例题
对数换底公式例题《对数换底公式例题》对数换底公式是数学中的重要公式之一，用于计算不同底数的对数之间的关系。
它在解决一些复杂的对数问题时起到了关键的作用。
在本文中，我们将探讨一些关于对数换底公式的例题。
例题1：已知 log₅12 ≈ 1.929，求 log₆12 的值。
解析：根据对数换底公式，我们可以将 log₆12 转化为以底数为 5 的对数。
换底公式可以表示为：logₐb = logₙb / logₙa其中，a 和 n 是底数，b 是真数。
根据题目的要求，我们可以将 log₆12 转化为以底数为 5 的对数：log₆12 = log₅12 / log₅6代入已知的 log₅12 的值：log₆12 ≈ 1.929 / log₅6此时，我们需要计算 log₅6 的值。
通过换底公式，我们可以计算出：log₅6 = logₙ6 / logₙ5选择一个适当的底数 n（例如，n=10），我们可以计算出 log₅6 的值：log₅6 ≈ log₁₀6 / log₁₀5 ≈ 0.778将 log₅6 的值代入原式，可以得出：log₆12 ≈ 1.929 / 0.778 ≈ 2.480因此，log₆12 的值约等于 2.480。
例题2：已知 log₂3 ≈ 1.585，求 log₄3 的值。
解析：类似于例题1，我们可以使用对数换底公式来计算 log₄3。
换底公式可以表示为：logₐb = logₙb / logₙa根据题目要求，我们需要计算 log₄3 的值，将其转化为以底数为 2 的对数：log₄3 = log₂3 / log₂4我们已知 log₂3 的值为 1.585，将其代入原式：log₄3 = 1.585 / log₂4此时，我们需要计算 log₂4 的值。
通过换底公式，我们可以计算出：log₂4 = logₙ4 / logₙ2选择一个适当的底数 n（例如，n=10），我们可以计算出 log₂4 的值：log₂4 = log₁₀4 / log₁₀2 ≈ 2 / 0.301 ≈ 6.644将 log₂4 的值代入原式，可以得出：log₄3 = 1.585 / 6.644 ≈ 0.238因此，log₄3 的值约等于 0.238。
对数函数换底公式
2021-2022学年高一数学必修一第4章微专题4 换底公式换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．一、换底公式的正用例1 (1)log 29×log 34等于( )A.14B.12C ．2D ．4 考点 对数的运算题点 换底公式的应用答案 D解析 log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. (2)已知log 152＝a ，b ＝log 35，则log 12518＝________.答案 ab ＋a ＋23b解析 a ＝log 152＝log 32log 315＝log 32log 35＋1＝log 32b ＋1， 所以log 32＝a (b ＋1)＝ab ＋a ，log 12518＝log 318log 3125＝log 3(2×32)log 353＝log 32＋23log 35＝ab ＋a ＋23b. 二、换底公式的逆用例2 计算：log 52×log 727log 513×log 74＝________. 答案 －34解析 原式＝log 52log 513×log 727log 74＝13log log 427＝lg 2lg 13×lg 27lg 4 ＝12lg 2－lg 3×3lg 32lg 2＝－34. 三、换底公式的基本变形一：log a b ＝1log b a例3 已知2a ＝5b ＝10，求1a ＋1b的值． 解 ∵2a ＝10，∴a ＝log 210， ∴1a ＝1log 210＝lg 2， 5b ＝10，∴b ＝log 510，∴1b ＝1log 510＝lg 5. ∴1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝1. 四、换底公式的基本变形二：log n m a b ＝m nlog a b 例4 已知log 1627＝a ，则log 916＝________. 答案 32a解析 ∵log 1627＝a ，∴432log 3＝a ，∴34log 23＝a ，∴log 23＝43a ， ∴log 916＝243log 2＝42log 32＝2log 32＝2·1log 23＝2×34a ＝32a. 五、解对数方程例5 若log a b ·log b c ·log c 3＝2，则a 的值为________． 答案 3解析 ∵log a b ·log b c ·log c 3＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg 3lg c ＝lg 3lg a＝2. ∴lg 3＝2lg a ＝lg a 2， ∴a 2＝3，解得a ＝3，或a ＝－3(舍去)．六、证明对数恒等式例6 证明：(ab )lg a ＋lg b ＝a lg a ·b lg b ·a 2lg b .证明左边＝a lg a＋lg b·b lg a＋lg b ＝a lg a·a lg b·b lg a·b lg b，又()lg lg lg lg lg log lg lg lg lg .b ba ab b a a b b b b b b b a ⋅⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭ 所以左边＝a lg a ·b lg b ·b lg a ·a lg b ＝a lg a ·b lg b ·a lg b ·a lg b＝a lg a ·b lg b ·a 2lg b ＝右边． 即原等式成立．。
对数换底公式
小结
log a N 对数换底公式 logb N log b a, b 0, a, b 1, N 0. a
logb a loga b 1
常用结论
logb a logb c logc a 1
n loga m b loga b m
n
作业
1 1 lg 2 a 10 lg lg 5 2 1 lg 2 1 a lg 3 lg 3 lg 3 b
⑶log35=
2 lg 3 2 lg 2 2a 2b ⑷log1236= lg 3 2 lg 2 2a b
练习
2.已知 log3 4 log 4 8 log8 m log 4 2, 求 m的值.
问题：由上述计算你可得 出什么结论？
对数换底公式
log a N a, b 0, a, b 1, N 0. log b N log a b
证明: 设x=logbN,根据对数定义,有 N=bx. 两边取以a为底的对数,得 logaN=logabx. 而logabx=xlogab,所以 logaN=xlogab. log a N x . 由于b≠1,则logab≠0,解出x得
例2 用科学计算器计算下列对数(精确到0.001):
log248; log310; log8π; log550; log1.0822.
5.585 2.096 5.505
2.431
8.795
练习 1.已知lg2=a,lg3=b,请用a,b表示下列各式的 值. ⑴log36= ⑵log210=
lg 6 lg 2 lg 3 a b lg 3 lg 3 b
lg a lg b log b a log a b 1 lg b lg a
对数函数知识点及典型例题讲解
对数函数知识点1．对数：(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么称 为 ，记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数. ① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2) 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a =log ． (3) 运算性质：① log a (MN)＝___________________________； ② log a NM ＝____________________________；③ log a M n＝ (n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)⑤ log mna a nb b m = .2．对数函数：① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4) 函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴)；4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ③ 函数值的变化特征：例1 计算：（1）)32(log32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg 4932-34lg 8+lg 245.例2 比较下列各组数的大小.（1）log 332与log 556; （2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与 （1）证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上； （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.1解：（1）方法一 利用对数定义求值 设)32(log32-+=x, 则(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二 利用对数的运算性质求解)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.（2）原式=lg 2（2lg 2+lg5）+12lg 2)2(lg 2+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1| =lg 2+(1-lg 2)=1. （3）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245 =21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21 (2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5 =21lg(2×5)= 21lg10=21. 2解：（1）∵log 332＜log 31=0, 而log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2, ∴0＞2.1log 1.1log 7.00.7>, ∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.方法二 作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象. 如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log <<, ∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c .3解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3. 当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f （x ）=log a x 在［3，+∞）上为减函数，∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x ∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立， 只要-log a 3≥1成立即可， ∴log a 3≤-1=log a a1,即a 1≤3,∴31≤a ＜1. 综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［31，1）.例4（1）证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2, 由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2, OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =, OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上. （2）解： 由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31, 代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1, 又因x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83).训练1：化简求值. （1）log 2487+log 212-21log 242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是 （ ）A.log a bb bba1loglog 1<< B.bbb baa1log 1log log << C.b bb aba1log 1log log << D.b bb aablog 1log 1log <<训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞, 1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.训练4：已知函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x). （1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.1解：(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++2解： C3解：令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=（x-2a ）2-a-42a , 由以上知g(x ）的图象关于直线x=2a 对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1, 在区间（-∞,1-3］上是减函数， 所以g(x)=x 2-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ，即解得2-23≤a ＜2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.4解：（1）f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x x x 由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］ =log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2+p ］ (1＜x ＜p), ①当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时， 0＜-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p , ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2. ②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时， ∵0＜-(x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1). 综合①②可知： 当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］; 当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)). 1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类. 4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.。
对数换底公式例题
对数换底公式例题
摘要：
1.对数换底公式的定义与意义
2.例题分析
3.解题步骤与方法
4.公式的应用场景
正文：
【1.对数换底公式的定义与意义】
对数换底公式，是数学中一种重要的公式，主要用于将对数的底数进行转换。
其公式为：loga(N) = logc(N) / logc(a)。
在这个公式中，a 和c 是两个不同的底数，N 是一个正数。
对数换底公式的应用，可以简化对数的计算过程，使计算更加方便。
【2.例题分析】
例题：如果log2(8) = 3，那么log16(8) 等于多少？
在这个例题中，我们需要用到对数换底公式，将log2(8) 转换为
log16(8)。
首先，我们知道log2(8) = 3，那么我们可以将这个对数转换为以16 为底的对数，即log16(8) = log2(8) * log16(2)。
因为log16(2) = 1/4，所以log16(8) = 3 * 1/4 = 3/4。
所以，log16(8)等于3/4。
【3.解题步骤与方法】
(1) 确定题目中给出的对数，以及需要转换的底数。
(2) 使用对数换底公式，将对数转换为新的底数。
(3) 将转换后的对数进行计算，得出结果。
【4.公式的应用场景】
对数换底公式在实际应用中非常广泛，特别是在计算机科学和工程领域。
例如，在编程中，常常需要对大数据进行处理，对数换底公式可以帮助我们更快地计算出数据的对数，从而提高计算效率。
对数函数·换底公式·例题
指数函数和对数函数·换底公式·例题例1-6-38log34·log48·log8m=log416，则m 为 [ ]解 B 由已知有A．b＞a＞1 B．1＞a＞b＞0C．a＞b＞1 D．1＞b＞a＞0解 A 由已知不等式得故选A．[ ]故选A．[ ]A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2)2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，[ ]A．m＞p＞n＞q B．n＞p＞m＞qC．m＞n＞p＞q D．m＞q＞p＞n例1-6-43 (1)若log a c+log b c=0(c≠0)，则ab+c-abc=____；(2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．例1-6-45已知log1227=a，求log616的值．例1-6-46比较下列各组中两个式子的大小：例1-6-47已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足3log x a+log a x-log x y=3(1)若x=a t(t≠0)，试以a，t表示y；(2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．解 (1)由换底公式，得即 log a y=(log a x)2-3log a x+3当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以y=a r2-3t+3(2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3．值，所以当t=3时，u max=3．即a3=8，所以a=2，与0＜a＜1矛盾．此时满足条件的a值不存在．【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。
换底公式练习题
换底公式练习题换底公式练习题换底公式是数学中的一个重要概念，它在解决一些复杂的数学问题时起到了关键作用。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用换底公式。
题目一：计算log3(5)解析：我们知道换底公式可以将一个对数转化为以任意底数为底的对数。
因此，我们可以将题目中的对数转化为以底数为3的对数。
换底公式的表达式为：loga(b) = logc(b) / logc(a)。
根据这个公式，我们可以得到：log3(5) = log10(5) / log10(3)。
在计算器上进行相应的运算，我们可以得到结果为约1.4649。
题目二：计算log2(8)解析：同样地，我们可以利用换底公式将题目中的对数转化为以底数为2的对数。
根据换底公式，我们可以得到：log2(8) = log10(8) / log10(2)。
在计算器上进行相应的运算，我们可以得到结果为3。
题目三：计算log5(125)解析：这个题目中的对数底数是5，而我们常用的计算器上通常只提供以10为底的对数计算。
因此，我们需要利用换底公式将题目中的对数转化为以底数为10的对数。
根据换底公式，我们可以得到：log5(125) = log10(125) / log10(5)。
在计算器上进行相应的运算，我们可以得到结果为3。
通过以上的练习题，我们可以看到换底公式在计算对数时的重要性和实用性。
它帮助我们将对数转化为我们熟悉且易于计算的形式，使得复杂的计算问题变得简单和直观。
除了上述的练习题，还有一些其他常见的应用换底公式的例子。
例如，在解决指数方程时，我们常常需要利用换底公式将方程中的对数转化为以底数为10或底数为e的对数。
这样一来，我们就可以通过计算器或查表的方式求解方程，从而得到方程的解。
此外，换底公式还可以在解决复杂的数学问题时起到辅助的作用。
例如，在概率论和统计学中，我们经常需要计算对数似然函数或对数概率，而这些计算通常需要利用换底公式将对数转化为以底数为10或底数为e的对数。
对数的换底公式对数函数
对数的换底公式复习如果 a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0 有：log ()log log log log log log log ()a a a a a a n a a MN M NM M NNM n M n R =+=-=∈log log ()m n a a nM M n R m=∈ 新课试证明与理解： 1.对数换底公式：aNN m m a log log log =( a ＞0,a ≠1，m ＞0,m ≠ 1,N ＞0)2．两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b mnb a na m log log =（ a , b ＞0且均不为1） 例1、（1）27log 9，（2）81log 43，（3）625log 345，例2、已知2log 3 =a ， 3log 7 =b,用a ,b 表示42log 56例3、计算：①0.21log 35 ② 4219432log 2log 3log -⋅例4、设),0(,,+∞∈z y x 且zyx643==，求证 zy x 1211=+练习①已知18log 9=a ,b18=5,用a ,b 表示36log 45②若8log 3=p,3log 5 =q, 求lg5作业1. 计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++2．若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m3．求值：12log 221033)2(lg 20log 5lg -++⋅4．求值：2lg 2)32(3log10)347(log 22++-++对数函数的图像与性质(第一课时)[互动过程1]复习：1．对数函数2y log x =的图像与性质,以及与指数函数xy 2=的图像与性质之间的关系2．练习:画出下列函数的图像x x 121(1)y 2;(2)y log x;(3)y ();(4)y lg x 3====填表:对数函数a y log x(a 0,a 1)=>≠分别就其底数a 1>和0a 1<<这两种情况的图像和性质:例1．求下列函数的定义域:2a a (1)y log x ;(2)y log (4x)==-练习1:求下列函数的定义域1(1)y lg(x 5);(2)y ln3x=-=-例2．比较下列各题中两个数的大小:22(1)log 5.3,log 4.7; 0.20.2(2)log 7,log 93(3)log ,log 3;ππ a a (4)log 3.1,log 5.2(a 0,a 1)>≠练习2：比较下列各组数中两个值的大小：（1）4.32log _____5.82log （2）8.13.0log _____7.23.0log （3）1.5log a_____9.5log a （a ＞0，且a ≠1）课堂补充练习:1．求下列函数的定义域：（1）)1(log 3x y -= （2）x y 3log = （3）xy 311log 7-= （4）x y 2log 1=2．比较大小．4log 5log )3(01.0log 31log )2(log 3log )1(5321.05.05.0和和和π。
带答案对数与对数函数经典例题
经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1．将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2．求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即.类型四、换底公式的运用4．(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x∴，∴；方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)(2)；(3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5．求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三：【变式1】求值：解：另解：设=m (m>0).∴，∴，∴，∴lg2=lgm，∴2=m，即.【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)；(2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).解：(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为a x-k·2x>0，所以()x>k.[1]当k≤0时，定义域为R；[2]当k>0时，(i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；(ii)若0<a<2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；(iii)若a=2，则当0<k<1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4].类型七、函数图象问题7．作出下列函数的图象：(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)log a5.1，log a5.9(a>0且a≠1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4<log28.5；解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5；解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4<log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=log a x在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1<log a5.9 当0<a<1时，y=log a x在(0，+∞)上是减函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1>log a5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=log a5.1，则，令b2=log a5.9，则当a>1时，y=a x在R上是增函数，且5.1<5.9所以，b1<b2，即当0<a<1时，y=a x在R上是减函数，且5.1<5.9所以，b1>b2，即.举一反三：【变式1】（2011 天津理7）已知则（）A．B．C．D．解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得又∵为单调递增函数，∴故选C.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1<x2 则又∵y=log2x在上是增函数即f(x1)<f(x2)∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(log a x)=(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=log a x(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=log a x为增函数，若t1<t2，则0<x1<x2，∴f(t1)-f(t2)=，∵0<x1<x2，a>1，∴f(t1)<f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，当0<a<1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a>1或0<a<1，f(x)在R上总是增函数.10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0<t≤4，∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1<x<3.∴t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性. (1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型十、对数函数性质的综合应用12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是.解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；当a≠0时，有a>1.∴a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1，∴a的取值范围为0≤a≤1.13．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8)) (a>1)，如图.∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕∴S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+<，又函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，∴0<2log2(1+)<2log2，即0<S<2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1<a1<a2<+∞，则：(1+)-(1+)=16()=16·，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴a1+a2+8>0，+8a2>0，+8a1>0，a1-a2<0，∴1<1+<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)∴S=f(a)在(1，+∞)上是减函数.(4)由S>2，即得，解之可得：1<a<4-4.。
高中数学对数与对数函数知识点及经典例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N .②log a =log a M －log a N .NM ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =（a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.bN a a log log 2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质:①定义域：（0，+∞）.②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是?2.若f－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f－1（x ）的值域为___________________.3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log（3－x ）］的定21义域是__________.4.若log x =z ，则x 、y 、z 之间满足7y A.y 7=x z B.y =x 7z C.y =7x zD.y =z x5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.B.C. D.422241217.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 (x=-2非解)A.B.－C.2D.－221218.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是AB9.设f－1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f－1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为A.1B.2C.3D.log 2310.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.典型例题【例1】 已知函数f （x ）=则f （2+log 23）的值为⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,21(x x f x xA.B.C.D.3161121241【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.【例3】已知f （x ）=log ［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单31调区间.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.【例7】 在f 1（x ）=x ，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log x 四2121个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使［f （x 1）+f （x 2）］＜f （）成21221x x 立的函数是A.f 1（x ）=x(平方作差比较)B.f 2（x ）21=x 2C.f3（x）=2xD.f4（x）=log x12探究创新1.若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.（1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；（2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？2.已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y=f －1（x）图象上的点.（1）求实数k的值及函数f－1（x）的解析式；（2）将y= f－1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2f－1（x+－3）－g（x）≥1恒成立，试求m实数m的取值范围.。
对数与对数函数_及经典题
对数与对数函数二、知识要点梳理知识点一、对数及其运算我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.(一)对数概念:1. 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:log a N=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2. 对数恒等式：3. 对数具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即；(2)1的对数为0，即；(3)底的对数等于1，即.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e为底的对数叫做自然对数，.(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数已知(1)；推广：(2)；(3).(五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a＞0，a≠1，M＞0的前提下有:(1)令log a M=b，则有a b=M，(a b)n=M n，即，即，即:.(2) ，令log a M=b，则有a b=M，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.知识点二、对数函数1. 函数y=log a x(a＞0，a≠1)叫做对数函数.2. 在同一坐标系内，当a＞1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0＜a＜1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见图1)(1)对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R(2)对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像过点(1，0)(3)当a＞1时，三、规律方法指导容易产生的错误(1)对数式log a N=b中各字母的取值范围(a＞0 且a≠1，N＞0，b∈R)容易记错.(2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a(M±N)=log a M±log a N，log a(M·N)=log a M·log a N，loga.(3)解决对数函数y=log a x (a＞0且a≠1)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论.(4)关于对数式log a N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a，N同侧时，log a N＞0；当a，N异侧时，log a N＜0.经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1.将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2．求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3.已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a＞0，b＞0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a＞0，b＞0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即.类型四、换底公式的运用4.(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x∴，∴；方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)；(2)；(3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5.求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三：【变式1】求值：解：另解：设=m (m＞0).∴，∴，∴，∴lg2=lgm，∴2=m，即.【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)；(2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2＞0，4-x＞0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数；(2)因为4-x＞0，即x＜4，所以函数.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a＞0且a≠1，k∈R).解：(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为a x-k·2x＞0，所以()x＞k.[1]当k≤0时，定义域为R；[2]当k＞0时，(i)若a＞2，则函数定义域为(k，+∞)；(ii)若0＜a＜2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；(iii)若a=2，则当0＜k＜1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4].类型七、函数图象问题7．作出下列函数的图象：(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)log a5.1，log a5.9(a＞0且a≠1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4＜log28.5；解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5；解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4＜log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a＞1时，y=log a x在(0，+∞)上是增函数，且5.1＜5.9，所以，log a5.1＜log a5.9当0＜a＜1时，y=log a x在(0，+∞)上是减函数，且5.1＜5.9，所以，log a5.1＞log a5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=log a5.1，则，令b2=log a5.9，则当a＞1时，y=a x在R上是增函数，且5.1＜5.9所以，b1＜b2，即当0＜a＜1时，y=a x在R上是减函数，且5.1＜5.9所以，b1＞b2，即.举一反三：【变式1】若log m3.5＞log n3.5(m，n＞0，且m≠1，n≠1)，试比较m ，n的大小.解：(1)当m＞1，n＞1时，∵3.5＞1，由对数函数性质：当底数和真数都大于1时，对同一真数，底数大的对数值小，∴n＞m＞1.(2)当m＞1，0＜n＜1时，∵log m3.5＞0，log n3.5＜0，∴0＜n＜1＜m也是符合题意的解.(3)当0＜m＜1，0＜n＜1时，∵3.5＞1，由对数函数性质，此时底数大的对数值小，故0＜m＜n＜1.综上所述，m，n的大小关系有三种：1＜m＜n或0＜n＜1＜m或0＜m＜n＜1.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1＜x2则又∵y=log2x在上是增函数即f(x1)＜f(x2)∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(log a x)=(a＞0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=log a x(x∈R+，t∈R).当a＞1时，t=log a x为增函数，若t1＜t2，则0＜x1＜x2，∴f(t1)-f(t2)=，∵0＜x1＜x2，a＞1，∴f(t1)＜f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，当0＜a＜1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a＞1或0＜a＜1，f(x)在R上总是增函数.10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0＜t≤4，∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3＞0，即-1＜x＜3.∴t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性.(1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握. 类型十、对数函数性质的综合应用12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1＞0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u 能取遍一切正数的条件是.解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1＞0的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+1＞0，其解集不是R；当a≠0时，有a＞1.∴a的取值范围为a＞1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1，∴a的取值范围为0≤a≤1.11。
换底公式解方程练习题
换底公式解方程练习题在学习代数方程解法时，我们经常会遇到涉及对数函数的方程。
对数函数的换底公式是解决这类方程的重要工具之一。
本文将通过一些列练习题来帮助读者掌握换底公式在解方程中的应用。
练习题1:解方程log2x + log2(x-1) = 2的解。
解答：根据换底公式，我们可以将对数函数转换为以任意底为底的对数。
公式如下：logab = logcb / logca将方程log2x + log2(x-1) = 2转换为：log2x + log2(x-1) = log22利用对数的性质，我们可以将加法转换为乘法：log2(x(x-1)) = log22化简得：x(x-1) = 2展开方程，得到二次方程：x^2 - x - 2 = 0将方程进行因式分解，得到：(x-2)(x+1) = 0解得x的两个解为x = 2和x = -1。
但要注意，对数函数的定义域要求x > 0，所以舍去x = -1。
因此，方程log2x + log2(x-1) = 2的解为x = 2。
练习题2:解方程ln(x+2) - ln2(x-1) = 1的解。
解答：同样地，根据换底公式和对数性质，我们可以将方程转换为以相同底的对数方程。
公式如下：logab - logac = loga(b/c)将方程ln(x+2) - ln2(x-1) = 1转换为：ln(x+2) - ln2(x-1) = ln(e)利用对数性质，我们可以将减法转换为除法：ln((x+2)/(2(x-1))) = ln(e)因为ln(e) = 1，所以简化为：(x+2)/(2(x-1)) = e分子分母同时乘以2(x-1)，得到：x+2 = 2e(x-1)展开方程，得到：x + 2 = 2ex - 2e移项，整理得到：2 - 2e = (2e - 1)x将方程进行化简，得到：x = (2 - 2e) / (2e - 1)这样，我们得到了方程ln(x+2) - ln2(x-1) = 1的解。