对数的换底公式

课 题：2.1 对数的换底公式及其推论

教学目的：

1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题

2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力； 教学重点：换底公式及推论

教学难点：换底公式的证明和灵活应用.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：对数的运算法则

如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：

)

()()

(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 二、新授内容：

1.对数换底公式：

a

N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 x

a = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log = ∴ a

N m a log log = 2.两个常用的推论:

①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a

② b m

n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1）证：①lg lg lg lg log log =⋅=⋅b

a a

b a b b a ②m n a m b n a b b a m n n

a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例：

例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56

解：因为2log 3 = a ，则

2log 13=a , 又∵3log 7 = b, ∴1312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==

b ab ab 例2计算：①3log 12.05- ②

21

94log 2log 3log -⋅ 解：①原式 = 3

15555531log 3log 52.0===

②原式 = 245412log 452log 213log 21232=+=+⋅ 例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643==

1︒ 求证 z

y x 1211=+ ； 2︒ 比较z y x 6,4,3的大小 证明1︒：设k z y x ===643 ∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k

取对数得：3lg lg k x = ， 4lg lg k y =， 6

lg lg k z = ∴z

k k k k k y x 1lg 6lg lg 22lg 23lg 2lg 24lg 3lg 2lg 24lg lg 3lg 211==+=+=+=+ 2︒ k y x lg )4

lg 43lg 3(43-=-04lg 3lg 8164

lg lg lg 4lg 3lg 81lg 64lg <=-=k k ∴y x 43<

又：k z y lg )6lg 64lg 4(64-=-06lg 2lg 169

lg

lg lg 6lg 2lg 64lg 36lg <⋅=-=k k ∴z y 64<

∴z y x 643<<

例4已知a log x=a log c+b ，求x 分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形

式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将a log c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式 解法一：

由对数定义可知：b c a a x

+=log b c a a a ⋅=log a c ⋅= 解法二：

由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c x a

=log 由对数定义知：

b a c

x = a c x ⋅=∴ 解法三：

b a a b log = b a a a a

c x l o g l o g l o g +=∴b a a c ⋅=l o g b a c x ⋅=∴ 四、课堂练习：

①已知 18log 9 = a , b 18 = 5 , 用 a, b 表示36log 45 解：∵ 18log 9 = a ∴a =-=2log 1218log 1818

∴18log 2 = 1-a ∵ b 18 = 5 ∴ 18log 5 = b

∴ a b a -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 ②若8log 3 = p , 3log 5 = q , 求 lg 5

解：∵ 8log 3 = p ∴3log 32 ＝p ⇒p 33log 2=⇒p 312log 3= 又∵q =5log 3 ∴ 5

log 2log 5log 10log 5log 5lg 33333+== pq pq 313+= 三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论

四、课后作业：

1．证明：b x

x a ab a log 1log log += 证法1： 设 p x a =log ，q x ab =log ，r b a =log

则：p a x = q q q b a ab x ==)( r a b =

∴)1()(r q q p a

ab a +== 从而 )1(r q p += ∵ 0≠q ∴r q p +=1 即：b x

x a ab a log 1log log +=（获证）