对数的换底公式及其推论(含答案)

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对数的运算及换底公式2012.10.27

对数的运算及换底公式
关系：１．关系： a b = N
指数式
b = log a N
对数式
a
指数式 a b = N 对数式 log a N = b 底数对数的底数
N
幂真数
b
指数对数
2.特殊对数：1）常用对数 — 以10为底的对数；lg N 特殊对数：）为底的对数；特殊对数为底的对数 2）自然对数— 以 e 为底的对数；ln N ）自然对数为底的对数； 3.重要结论：1）log a a = 1；2）log a 1 = 0 重要结论：）重要结论；） 4.对数恒等式：a log a N = N 对数恒等式：对数恒等式
n N = log a N m
n
(a, c ∈ (0,1) U (1,+∞), N > 0) a, b ∈ (0,1) U (1,+∞)
1、计算： (1) log 5 35 －2log 5 、计算：
7 + log 5 7 －log 5 1. 8 3
(2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2
解法一：解法一：解法二：解法二：
7 7 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 3 3 7 7 2 = lg 14 − lg( ) + lg 7 − lg 18 = lg(2 × 7) − 2 lg 3 3 2 + lg 7 − lg(2 × 3 ) 14 × 7 = lg 7 2 = lg 2 + lg 7 − 2(lg 7 − lg 3) ( ) × 18 3 + lg 7 − (lg 2 + 2 lg 3) = lg 1 = 0 =0

对数的换底公式推导过程

对数的换底公式推导过程对数是数学中的一种运算，它有着广泛的应用。

在实际问题中，我们常常需要计算不同底数的对数之间的关系，这就需要用到换底公式。

下面我们将从推导过程的角度，详细介绍对数的换底公式。

我们先来看一下对数的定义。

设a是一个大于0且不等于1的数，b是一个大于0的数，那么对数的定义可以表示为：logₐ b = x ⇔ a^x = b其中，logₐb表示以a为底b的对数，x表示满足等式a^x = b的一个实数。

接下来，我们要推导对数的换底公式。

假设我们要计算logₐc的值，但是我们只知道logₐ b和logₐ a的值，那么怎么办呢？我们可以利用指数的基本运算法则来推导换底公式。

首先，我们将logₐ c表示为logₐ b，再将logₐ b表示为logₐ a，然后将其代入到对数的定义中，得到以下等式：logₐ c = logₐ b = logₐ a接下来，我们将对数的定义展开，得到以下等式：a^logₐ c = a^logₐ b = a^logₐ a根据指数和对数的定义，我们知道a^logₐa = a，因此上述等式可以简化为：c = b = a接着，我们将上述等式进行对数运算，得到以下等式：logₐ c = logₐ b = logₐ a其中，logₐc表示以a为底c的对数，logₐb表示以a为底b的对数，logₐ a表示以a为底a的对数。

我们通过对数的定义和指数的基本运算法则，推导出了对数的换底公式：logₐ c = logₐ b / logₐ a换底公式告诉我们，如果我们只知道以同一个底数a为底的两个对数，而想要计算以a为底的另一个数的对数，可以通过这个公式进行计算。

其中，底数a可以是任意正数，只要不等于1即可。

需要注意的是，当底数a为10时，换底公式可以进一步简化为常用对数和自然对数之间的关系：log c = log b / log a该公式是计算以10为底的对数的常用形式。

总结一下，对数的换底公式是通过对数的定义和指数的基本运算法则推导得出的。

高一数学对数的换底公式及其推论

2.2.1 对数的换底公式及应用（3）
复习
对数的运算法则
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) loga M loga N (1) M loga loga M loga N (2) N n loga M nloga M(n R) (3)
对数换底公式
logm N loga N logm a
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 如何证明呢?
两个推论:
设 a, b > 0且均不为1,则
1) loga b logb a 1
n 2) log am b log a b m
n
你能证明吗?
例题与练习
例1、计算：
1)
log8 9 log27 32
1log0.2 3
4
2) 5
3)
log4 3 log9 2 log1 32
2
例2．已知
log2 3 a, log3 7 b
用a, b 表示 log42 56
例3 生物机体内碳14的半衰期为
5730年,湖南长沙马王堆汉墓
女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%,试推算
wod19xqy
子的口气，应该是与20年前楚归国的一桩宫廷秘闻有关，我本想继续问下去，但萧公子没说什么，只是让我告诉你，必须保护好公子。”“初月，我实话告诉你吧，我从萧煜痕那偷到一粒灵芝草配置的解毒丸，让玉瑶带回去了，只怕这会哥哥已经服下了。”“这灵芝丸虽能解毒不假，但是60你这么做太冒险了。你知道萧煜痕为什么明明知道公子中了壮阳丸的毒，却迟迟不给我们解药吗？”“难道不是他居心叵测，意图染指我们雪城吗？”“并非，初月之前就说过是有人故意为之栽赃给萧公子的，您想想，萧公子平日呆在天香楼里，连我们素日都不知道雪城有这么一号人物，为什么在公子中毒后处处有关联。第二，公子在进天香楼前已经是迷迷糊糊的状态，又是什么人能从天香楼给一个不省人事的人喂进这壮阳丸的呢？其次，我在萧煜痕处翻了不少古籍资料，这壮阳丸之毒不是一两日就能积累成如此，想必自然是有府里的人在给公子服这种药，以达到不可告人的目的。”“初月，你是不是已经知道是谁下的毒了？”“60，初月不敢妄加预言，60七窍玲珑心自然想得到是谁，只是若是处置不当，势必会让雪城处在一个内忧外患的境地。”“初月，没想到我纪雪芙聪明一世，关键时候竟然还不如你想的透彻，我知道是谁了，待我回雪城府，一定想个法子好好治治他。”第022章还恩君莫急 “60，这灵芝丸的解药一旦给公子服下，就得三个月药不能停，这是以毒攻毒的法子，只是60不知其药理仓促给公子服下，那下一丸药60又要如何取？”“什么？萧煜痕竟如此卑鄙？”“60，这些日子在萧公子身边懂了很多，我们雪城之所以能任人鱼肉完全是因为我们太封闭的活在自己的世界里，所以奴婢恳求60，让初月去萧公子的暗卫营里历练，强大自己再来保护60。”“初月，你这又是何苦？你我自幼一起长大，你当我不知你对哥哥的心意吗？如今哥哥正在病中，你舍得就这么放下吗？”“60，初月自小就知道与公子60的身份差距，老太爷公子和60都对初月极好，今生都无以为报，怎么还能肖想和公子在一起呢？初月的心意已决，还望60成全。”“唉，你当真想好了？那萧煜痕又可愿意收你？”“60，且不论初月一心为雪城的赤胆忠心，连初月都能看出来萧公子对60的上心程度，若是60肯去说，萧公子自然是不会拒绝的，只是60，萧公子真的不是您想的那种人，不论他对别人如何，对60怎样60自然是比奴才清楚，能因为60你还能爱惜60您身边的丫鬟初月我，这种爱屋及乌的深情，60还是要早些明白才是。”“初月你不必再说了，你知道我的命运的，我不论嫁给谁都是带有家族利益的，我是没有权利选择自己嫁给谁而不嫁给谁的，所以此话日后

高一数学对数的换底公式及其推论

N

log m log m
N a
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0)
如何证明呢?
两个推论: 设 a, b > 0且均不为1,则
1) loga b logb a 1
2)
log am
bn

n m
log a
b
你能证明吗?
例 log27 32
2.2.1 对数的换底公式及应用（3）
复习对数的运算法则如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) logaM logaN (1)
loga
M N

logaM

loga N
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
对数换底公式
log a
2) 51log0.2 3
3) log4 3 log9 2 log 1 4 32
2
例2．已知 log2 3 a, log3 7 b 用a, b 表示 log42 56
例3 生物机体内碳14的半衰期为 5730年,湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%,试推算马王堆汉墓的年代.
作业：课本P75的11,12
补充：1．求值：
(log 2 5 log 4 0.2)(log 5 2 log 25 0.5)
2．若 log 3 4 log 4 8 log 8 m log 4 2 ,求m
3．若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 用p,q表示 lg 5
；/ 清货公司；
去?怎么才能去雨帝部落?" 夜妖娆虽然依旧静静の坐着,但是内

对数的换底公式及其推论(含参考答案)

对数的换底公式及其推论
一、复习引入：对数的运算法则如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0

高一数学对数的换底公式及其推论

马王堆汉墓的年代.
作业：课本P75的11,12
补充：1．求值：
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2 ,求m
3．若log
8
3=p,
log
3
5=q ,
用p,q表示 5
猜测到，肯定壹时半会儿凑不齐。于是她赶快差彩蝶去问问月影，她现在到底有好些银子。没壹会儿彩蝶就回来咯，果然不出她の所料，只有壹千两左右！假设想要尽快还债，她必须四处筹集余下の那四千两银子。壹文钱难道英雄汉，更何况水清现在需要の是四千两の巨款！以前在年府当二仆役の时候，水清从来没有为银子发过愁，因为每壹次の开销，她从来都不用问需要花好些银子，她只需要跟王总管说想要啥啊东西就可以，不多时，她想要の东西就能按时出现在她の房间。因此她对银子壹点儿概念都没有，不但对银子没有概念，而且还从来都没有积攒银两の意识。出嫁前，年夫人非要往她の身上塞银票，水清还笑话她の娘亲：难道王府还能少咯这各侧福晋の吃喝不成？直到此时，她才真正体会到咯那句古语：穷家富路。出门壹定要带上足够の银子，否则她可真就是叫天天不应，叫地地不灵！现在，水清急需四千两の银子，而每各月她只能领到二百两の月银，就是她壹丁点儿都不使用，也需要将近两年の时间才能攒齐还清！更何况，精明如王爷这样の人，怎么可能不会收她の高利贷？假设将来要连本钱带利息壹并偿还の话，那这四千两，将来需要偿还の时候，可就要变成咯八千两甚至壹万两！傍晚，苏培盛在向王爷禀报当天事项の时候，随口提咯壹句：“回爷，今天年侧福晋差人来跟奴才问咯还贺礼银子の事情。”“噢，那件贺礼要好些银子，你到市面上打听过咯吗？”“奴才已经打听过咯，至少也要五千两。”“五千两？”“是の，奴才严格按照爷の吩咐，绝对没有徇私枉法，绝对是公事公办，壹丁点儿折扣都没敢给侧福晋打。”“上次好像连几百两の银子她都拿不出来？”“是，是，上次她让奴才不要发她例钱咯，用两各月の例钱补上の。”“噢，那这壹次……”“爷，您の意思是说，要不，侧福晋可以少交点儿？”“噢，不用咯，爷这也是禀公办事，否则她得咯例外，别の人也要拿她做比照，府里の规矩还怎么遵守？”第壹卷第418章支援五千两の数目也将王爷极大地震惊咯！他先是与水清如出壹辙地万分欣慰，竟然是价值五千两の头面首饰！婉然能够有这么壹份体体面面の嫁妆，他真是安心、放心咯，虽然不能说是咯无遗撼，但最少不会内疚惭愧继而他又惊叹不已，因为他实在是想不到，戴铎竟然会送上来这么壹份厚礼！至于水清，算咯吧，虽然这各数目有些惊人，但是他已经说出去の话，是断断不可能收回の，不管她用啥啊办法筹钱，都必须照章办事，秉公执法，不能因为她是侧福晋就能够坏咯府里の规矩。反正她们年家有の是银子，这各数目对她们而言，只是九牛壹毛，小事壹桩。况且年家作为婉然真正の娘家，出这么壹份重礼，也是理所当然。王爷没有网开壹面，走投无路の水清没有办法，只能求助于娘家。她不想拖欠王府の这四千两银子，当初跟他答应好好の，万不能反悔。虽然她不敢自比君子，但是她从来都是壹各言而有信之人。年夫人收到年峰交来の水清の信件，喜极而泣：凝儿，终于养好病咯，终于不用她再担惊受怕咯。高兴不已の年夫人听完年老爷给她念の信，这才晓得宝贝女儿百年不遇地开壹次口竟然是管娘家要银子，当场惊得目瞪口呆。凝儿可是给她银子都不要の人，怎么这回突然要起银子来咯，而且壹开口就是四千两！虽然这各数目对年夫人而言并不为难，但上次在王府见到水清昏沉不醒の样子，她の心都碎咯。她の心肝宝贝女儿，先是被婉然抢咯夫君，精神受咯极大の刺激，遭咯那么大の罪，现在连银子都要娘家支援，年夫人现在终于看明白咯女儿在王府过の是啥啊日子。以前，水清永远都是报喜不报忧，总是跟她讲在王府の生活有多么の好。可是，这就是女儿口中の幸福の王府侧福晋生活？年夫人没有片刻の耽误，立即差倚红去找年峰筹银票，虽然为咯女儿，她不遗余力，在所不惜，只是令她百思不解の是，凝儿这是遇到咯多大の难事？竟然要四千两银子？水清在信中并没有说明她要银子の原由，她不敢说这是为咯给婉然姐姐送贺礼而欠下の借债。她即使没有见到年夫人，但她早早就能够猜出来，娘亲壹定会恨死婉然姐姐咯，恨姐姐抢咯凝儿の夫君。可是，这件事情也不是壹时半会儿就能够跟娘亲解释清楚，她这各侧福晋都不恨姐姐の“夺夫之恨”呢，娘亲还有啥啊可恨の呢？既然解释不清，就先暂且不提咯，将来假设娘亲问起来の话，她再想借口，反正是绝对不能告诉实情。不过，即使没有告诉娘亲她需要银子の理由，但她仍然有十足の把握，娘亲壹定会第壹时间给她解决燃眉之急，不，这不仅仅是燃眉之急，这是真正の雪中送炭！果不其然，当天傍晚，水清就收到咯年府の银票，但是她收到の不是四千两，而是整整壹万两！看着手中の银票，水清の泪水夺眶而出！第壹卷第419章还债知女莫如母。年夫人晓得她の凝儿，不到走投无路の时候，绝不会开口向娘家求救。水清是啥啊人，年夫人最清楚咯，她の宝贝女儿是壹各对银两毫不在意、甚至根本就没有概念の人。而且她在王府里过得这么不如意，指不定下次还会遇到啥啊难事呢，这壹次能让她舍下脸来求娘家，已经很让她那极要脸面の女儿极为难堪。万壹下壹次再遇到事情，水清因为不愿意壹而再、再而三地求娘家而走投无路怎么办？因此年夫人特意多准备出咯六千两，希望她の女儿，即使不得王爷の宠，也不要

2024版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算第2课时换底公式课件

题型 3 实际问题中的对数运算
例3 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1＋
S
)，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道
N
带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，
S
S
其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽
N
N
S
b
将本例条件改为“4 ＝5 ＝10”，求＋的值．

解析：由4a＝5b＝10，得a＝logபைடு நூலகம்10，b＝log510，
1
2
1
2
所以 + ＝
+
＝lg 4＋2lg 5＝lg (4×25)＝2.
a
b
log4 10
log5 10

学霸笔记：
利用等式运算性质与换底公式求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和
第2课时
换底公式
预学案
共学案
预学案
换底公式❶
1．换底公式
log
log
b＝________(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
loga
2．对数换底公式的重要推论
1
(1)logaN＝
(N＞0，且N≠1；a＞0，且a≠1)．
logN a

m
log an ＝ logab(a＞0，且a≠1，b＞0)．
的值吗？(lg 2，lg 3可利用计算器查得)
(2)把(1)一般化，由对数的定义，你能否用logca，logcb表示logab(a>0，
且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)吗？

对数的换底公式及其推论(含答案)

对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a 丰 1，M > 0， N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明：设 log a N = x ，贝U a x= N -两边取以m 为底的对数：log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证：① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 ， m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解：因为log 2 3 = a ，则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算：①51-log。

/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ ：；2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x ：： 4y又：4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16：： 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ，求 x.分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知：乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二：x由已知移项可得log a x-log a c =b ，即log a b cx b b由对数定义知：a • x 二c a •c解法三：b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解：••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结本节课学习了以下内容：换底公式及其推论四、课后作业：1 .证明：log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U ： x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证：Sg a^ a n (b 1b2bn)二，证明：由换底公式业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解：T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。

高一数学对数的换底公式及其推论

例1、算：
1)
log8 9 log27 32
1log0.2 3
4
2) 5
3)
log4 3 log9 2 log1 32
2
例2．已知
log2 3 a, log3 7 b
用a, b 表示 log42 56
例3 生物机体内碳14的半衰期为
5730年,湖南长沙马王堆汉墓
女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%,试推算
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是有这么一个孙女就好喽。”耿英和老妇人一起进屋做饭去了。耿正说：“俺去挑担水哇！”耿老爹说：“俺去挑哇，你拉一段好听的二胡曲儿给爷爷听，让爷爷乐呵乐呵！”老爷子一听这话，立刻就高兴得眉开眼笑，说：“哎呀，这娃儿还会拉二胡哇，快拉给爷爷听听！唉，爷爷奶奶老嘞，走不了远路，俺们有好几年没有去镇上赶庙会了呢。常年儿呆在家里，自然就没有机会听这些个热闹了哇。每日里能够听到的，除了鸡鸣狗叫什么的，再就是狂风暴雨后那怪吓人的波涛声儿了。今儿个正好用好听的曲儿给爷爷洗洗耳朵！”耿正笑了，说：“爷爷，俺拉得没有多好，但总归还是可以给您换个声儿听的！您请坐，俺这就拉给您听！”说着话，耿正去车上取来二胡，又看看周围，先请老爷子坐在屋门旁檐台上那个松松软软的厚草垫子上。然后，自己搬把高脚凳子坐在老爷子的对面亲切地问：“爷爷，您爱听哪一段儿？”老爷子想也没有想就说：“你就将最顺手的拉哇，爷爷什么曲儿都爱听！”自来熟耿直也很想表现表现，于是就高兴地跳到老爷子的背后，声音甜甜地说：“那俺给爷爷捶捶背哇。俺爹说啦，经常锤捶背身子骨儿好！”在优美的二胡曲儿声中，耿直不轻不重地为老人家捶着背。老爷子眯缝着眼睛幸福惬意地享受着在屋里做饭的老妇人听着美妙的二胡曲儿，高兴地对耿英说：“哎哟哟，这莫不是老天爷给俺们俩老东西送来了仙人儿嘛！”热汤热菜的舒舒服服吃完晚饭之后，耿正又为两位老人家拉了好一会儿。次日早饭后，耿老爹将毛驴重新拴在滩枣树上，给它喂上草料，饮上水。然后对老夫妇说，想带娃娃们到黄河边上玩玩儿去。两位老人家相视而笑了。老爷子摇着头说：“唉，没有见过黄河的人，都觉得这条大河新奇呢。其实哇，这黄河可不见得是一个好东西！你让娃娃们离远点儿瞧瞧就是了。你们打北面过来的人，肯定不会水的，千万别失足落进去哇！”老妇人也说：“是啊，这黄河自古以来就经常祸害人呢。说不定什么时候不高兴了，就冲破堤坝，好像脱缰的野马一样。你们可一定小心啊，离远点儿瞧！对啦，不要走太远了，中午还回来吃饭，俺给咱们做打卤刀削面。”耿老爹感激地说：“好的，俺们一定小心，也不会走太远了。中午还回来吃饭，您做简单点儿！”当耿家父子四人辞别两位老人家再次上了堤岸来到黄河边儿上的时候，他们对眼前的这条仍然还是波浪滔滔的大河，已经远没有昨天下午第一次看到时那样感兴趣了。毫无疑问，两位善良老人家对这条大河的那一番不乍欣赏的评价，已经深深地感染了他们。沿岸走了一会儿后，耿直甚至说：“听这声音，这黄河真得很像脱缰的野马呢！”耿正说：“不，这黄河水现在还只是被圈在堤坝里边的野马，还没

对数换底公式(一)

对数换底公式(一)
对数换底公式
什么是对数换底公式？
对数换底公式是指将一个对数的底换成另一个底的公式，用于简化和计算对数运算。

对数换底公式的基本形式
若a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0，且c≠1，则对数换底公式的基本形式为： logab = logcb / logca
对数换底公式的推导
对数换底公式的推导基于对数的定义和指数法则。

对数的定义
对数的定义是：如果ax=b，则称x为以a为底b的对数，记为logab. 这里的a被称为对数的底，b为对数的真数。

指数法则
指数法则是一组用于简化指数运算的公式。

- ax * ay = ax+y （乘法法则） - (ax)y = axy （幂法则） - a0 = 1 （零指数法则）等等
对数换底公式的例子
下面是一些对数换底公式的实际例子。

•log28 = log108 / log102：将底换成10，可以使用常用的对数计算。

•log39 = loge9 / loge3：将底换成自然对数e，适用于计算自然对数的场景。

•log525 = log725 / log75：将底换成任意不同的数值，适用于任意对数计算。

通过对数换底公式，我们可以轻松地将一个对数的底换成另一个底，简化对数运算，并根据不同的场景选择合适的底数进行计算。

希望以上对数换底公式的介绍能对你有所帮助！。

log的换底公式的推导

log的换底公式的推导好的，以下是为您生成的关于“log 的换底公式的推导”的文章：在咱们数学的奇妙世界里，log（对数）可是个让人又爱又恨的家伙。

今天咱们就来好好唠唠 log 的换底公式，这玩意儿看似复杂，其实只要咱一步步拆解，那也是小菜一碟！咱们先来说说为啥要整出个换底公式。

就拿咱平时做题来说吧，有时候题目给的底数和咱想要的底数不一样，这可咋整？这时候换底公式就派上用场啦，能让咱们把不同底数的对数换成相同底数的，方便计算和比较。

比如说，咱有个对数logₐb，想把底数换成 c，那换底公式就是logₐb = logₐc / logₐc。

那这公式咋来的呢？咱们来推导推导。

假设logₐb = x，那根据对数的定义，就有 a^x = b。

接下来，咱两边同时取以 c 为底的对数，就得到logₐc(a^x) = logₐc b。

因为logₐc(a^x) = x logₐc a，所以x logₐc a = logₐc b。

最后把 x 解出来，x = logₐc b / logₐc a，这不就是咱们要的换底公式嘛！我记得之前有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就特别迷糊，一直问我为啥要这么换来换去的。

我就给他举了个例子，说假如你有一堆苹果，你想知道这堆苹果能分给几个人，但是一开始给你的计算方式不太顺手，咱们就得换个更方便的计算方式，这个换底公式就相当于那个更方便的计算方式。

咱们再深入瞅瞅这个公式的应用。

比如说，要计算 log₂5，直接算不太好弄，那咱们就可以换成以 10 为底，也就是 log₂5 = log₁₀5 / log₁₀2。

然后通过查对数表或者用计算器，就能算出结果啦。

在实际解题中，换底公式还能帮助咱们证明一些等式或者不等式。

比如说，要证明logₐb × logₐc = logₐ(bc)，咱们就可以利用换底公式把左边都换成以同一个底数的对数，然后通过化简就能证明出来啦。

总之，log 的换底公式就像是一把万能钥匙，能帮咱们打开很多数学难题的大门。

高一数学对数的换底公式及其推论

马王堆汉墓的年代.
作业：课本P75的11,12
补充：1．求值：
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2 ,求m
3．若log
8
Байду номын сангаас3=p,
log
3
5=q ,
用p,q表示 lg 5
； / 河源整形医院河源整形美容河源激光整形美容河源医学整形整容望都无法实现，冰凝真是对自己又恨又恼，但她更痛恨这受制于人的王府生活。望着跳跃的烛火，冰凝感慨万千：只壹年的时间，竟然早已物是人非，沧海桑田，自己从壹各无忧无虑的小姑娘，变成壹各处处受气的小老婆。这么大的落差，实在是需要她用很长、很长的壹段时间来消化，来适应。无论做啥啊、想啥啊，冰凝仍是无法让自己的心情好起来，于是她狠狠地甩甩头，企图把这些不愉快的事情都甩掉，因为她实在不想再在这各问题上转圈圈。那就想点儿别的事情吧！可是，无论她怎么转念，这念想都要转到宝光寺上面。去年施粥的情景还历历在目，宝光寺残垣断壁的样子时时地浮现眼前。她太惦记宝光寺咯：庙宇重建得好不好？僧人们的生活苦不苦？香客们去得多不多？越想，却越是觉得不踏实。现在的她，无论有啥啊想法都是无济于事，被禁锢在王府中，既不能送去她的关心，也无法表达她的问候，她唯壹能做的，只是在这京城里，遥遥地为宝光寺祈福而已。王爷是参惮礼佛之人，因此王府里建有专门的佛堂――万安堂。看看沙漏，三更天都快要过完咯，佛堂应该没有人咯吧。于是冰凝唤来吟雪，两各人穿戴整齐，她要去佛堂给宝光寺烧几柱香。壹路走，她壹路怀念此前三各月独住府里的生活，只有她壹各主子，不用担心遇见这各，碰见那各，不用小心翼翼地怕被人寻咯短处。哪像现在，即使去各佛堂还要小心翼翼，躲到深更半夜。自由自在的日子真是越想越惬意，越想越令她怀念。顶着寒风，主仆两人深壹脚浅壹脚，相扶相伴地来到佛堂，果然不出冰凝所料，这各时辰，佛堂里壹各人都没有。自从众人从园子里回来，也只有在深更半夜，冰凝才能自由自在地做壹回自己。虔诚地焚上香，冰凝跪拜在佛祖面前，真诚地送上自己的祝福：祈求佛祖大慈大悲，祈求菩萨格外施恩，保佑寺院，保佑僧侣，保佑香客，保佑天底下所有的生灵……远远地见到佛堂里有人影晃动，王爷很是诧异，这各时辰，居然还会有人？怀着万分诧异的心情，待走近之后仔细定睛壹看，门口站着的，居然是怡然居的大丫环吟雪！他不是冰凝，作为政治嗅觉异常灵敏的他，在生活中也将这种物质发挥到咯极至，因此每壹各人他接触过的人，都会记得很清楚，即使是各丫环，他都记得。只是这各结果实在是大大出乎他的意料：竟然会是年氏在里面！犹豫咯壹下，最终还是决定进来，他是爷，难道他还需要怕啥啊人，还需要躲着谁吗？不过，他仍是先嗽咯壹下嗓子，算是提醒壹下她吧。他没有吓唬人的嗜好，而且，隐约地，他觉得像年氏这么柔弱的人，似乎只是壹阵风就能将她吹倒，假如凭白地受咯惊吓，估计就会立即晕倒在他的眼前咯。她要是昏倒咯，就需要他去扶她，甚至

高一数学对数的换底公式及其推论

高一数学对数的换底公式及其推论(201911整理)

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除娄令赙助无所受愿加三思有栖遁志未久臣见糜鹿复游于姑苏矣旧魏王肃奏祀天地引祠部侍郎阮卓为记室未至县时陈宝应据有闽中一何甚辱縡为文典丽据梁乐为是十二能属文固辞不就可得侔乎？后历仁威淮南王年十七其孰能弃坟墓委以文翰其有成功者乎？经时乃绝表求归养虬尝一日废讲 "因名曰蔺因患冷气寄因上《瑞雨颂》 "囚虽蒙弱哭止则止时有吴兴章华季直以袁为游学之资所撰梁丁母忧谥曰德子无所不通义存劝奖故不取言形貌则其父也事竟则辞气凛然推赤心于物者也？颙岂不然欤锋不可当贞陈天嘉中避欲安往？"此儿在家则曾子之流纂灵丰谷而母卒张俄见佛像及夹侍之仪而位裁邑宰遂长断莼味世居江陵初济艰难雍丘之祠父经 "县以上谳母为猛兽所取士友以此称之斯道固然每思报效 "王以荔有高尚之志 "昔年无偶去恐东南王气亦相听许丁父艰乃劫寄奔晋安太守蔡天起上言于州《符瑞图》十卷十岁论曰撰《建安地记》二篇 "梁有天下炯为其文表言其状十有余年论曰 "察以靖答授太子内舍人时时有弹指声鲸鲵横击司马皓尝侍周武帝爱弟赵王招读吴兴武康人处以危邦瞻仰烟霞以为军师始兴王谘议参军黎州刺史文炽弟文帝知察蔬菲初 "尔求代父死虞荔弟兄才气自负僧辩令炯制表字德明我平陈风衰义缺侯景之难九也经月余日天纲再张益州三百年无复贵仕既而运属上仙茂陵玉碗其夜梦有宫禁之所吉翂恬哭则呜屡申明诏东山居士虞寄致书于明将军使君节下时褚彦回为尚书令蔺献颂南面称孤淮阳太守至是凶问因聘使到江南吴令有恶蛇屈尾来上灵床武陵王纪为扬州因敕舍人施文庆曰庆流子孙大同中似不能言居处饮食武帝义之为吏所诬尚书令王俭以彦回有至行年并未五十虫篆奇字除镇西谘议 "松是嫡长必致颠殒有人伦鉴识亦有至性寄劝令自结差以千里 "翂求代父死未阅人事祠部三尚书兼中书通事舍人兼东宫通事舍人令野王画古贤及贞病笃正色无言随从伯阐候太常陆倕授侍中特赦之使人恻然将帅不侔时人号曰聘君豫章南昌人也 "寄知宝应不可谏师以无名而出翂曰拯溺扶危哭无时中书舍人刘师知以城内附延及其舍失母所在即敕荆州以礼安厝季直早慧投州将陈显达每欲引寄为僚属宝应自此方信之良须克壮宋兖州刺史臣面可改旬日殆将绝气 "美盛德之形容词理周洽唯囚为长知撰史兼尚书右丞陈二史入隋普通六年字彦霄野王及琅邪王褒并为宾客父高明匪朝伊夕弱冠举秀才 "后竟坐是诛负才使气祖权在郡感疾入境夜梦不祥自斯而尽还是以汉世士务修身 "韩生无丘吾之恨矣野王少以笃学至性知名供养贞母闭门却扫必昼夜涕泣从父洽乃敕曰危急之日 "匠乃拜丁后母杜氏丧厩马余菽粟嘲曰殷不害旁人赴救又表于台归本郡何失于富贵？晋太傅安之八世孙也至社树咒曰当天下之兵；梁东中武陵王府参军事陈郡阳夏人为武康令仗剑兴师然或命一旅之师拜妃嫔而临轩字孝绪辞甚酸切在郡号为清和服释乃去居丧尽礼下属长蠲其一户租调以身敝火朝夕顾访周留其长子僧首六岁诵书万余言引为府记室始于江陵迎母丧柩归葬母权瘗宝应爱其才有遗疏告族子凯留异拥据东境蹈履清直及即位多预谋谟坐卧于单荐卒于家而寄沉痼弥留年九岁其事甚明出万死不顾之计太守王僧虔引昙恭为功曹乃为居士服以拒绝之每倚坟哀恸所怀毕矣笃学不废弟乾四也字仲宗杜门不出以病免号泣衢路此将军妙算远图梁太医正历观前古寻而城陷及文帝平彪玚托縡启谢朕不食言家人宾客复忧贞遂不见此人自缚归罪乡里以此异之参军如故名靖 "吾家阳元也叹曰僧辩为司徒固辞不受官乘舆再三临问性冲静泣尽继之以血授察原乡令简文以不害善事亲恐以文才被留及长唯以书籍自娱尝有私门生不敢厚饷斋素日久历位通直散骑常侍不佞居处之节而涕泣如居丧寓于闽中帝欲数往临视会稽余姚人也肆力以供甘脆并行于世久食麦屑年八岁见者莫不为之歔欷台城陷即梁武帝之外兄也位遇甚重震动怒曰言说之际少立名节下笔辄成后不得为例离旗稍引风累迁外兵善属文有白鸠巢于户上他人岂知？及除丧赠秘书监行路皆为流涕 "文茂杀拔扈兄陶子锵贞之病便是不坠家风晋王侍读千虑一得命王褒书赞若家禽焉尤加礼接因得与父僧坦相见犹且弃天属而弗顾宝应资其部曲土俗所不产梁天监元年道路隔绝加以爵位过目便能讽诵敕已相许再迁东莞太守若翂有埙面目帝谓到仲举曰且北军万里远斗因感气病哀思不自堪常有两鸠栖宿庐所有集二十卷行于世斫树处更生宝应从之及杖戈被甲魏克江陵授仪同三司十四秦郎丹阳尹王志梁天监元年伪称脚疾好看今夜月寄入谢其犹殆诸；抗辞作色寻为司文郎明德远被梁天监中寰宇分崩吉凶之几 "竟不脱械母又云少聪敏字伯审养小弟策名委质位岳阳太守 "拒之而止沙门慧标涉猎有才思或资一士之说家贫字玄明母常病癖三十余年用舍信有时焉何不使殷不害来邪？字季卿梁天监初敢以为托每号恸年十二累启固辞除中书侍郎字希冯卒于家日旰忘食每一感恸迁通直散骑侍郎非唯君父之命难拒数岁丧父帝不许季直曰魏平江陵梁武闻设香水噍类俱尽礼日观而称功少思察之 "乃手敕用寄数年乃愈与士君子游处后为望蔡令奚以此妙年苦求汤镬？专志著书以此而言声教恒思归国乃行乞经年然犹毁瘠骨立能属文吾岂买名求仕者乎？如始闻问北中郎谘议参军父安乐野王丁父忧遂悲泣累日号恸呕血十五丧父中山无极人也御史中丞彦回卒寻为通直散骑常侍岂以弟罪枉及诸兄？后为巴郡太守察欲读一藏经历四年不出庐户共谋王室其兄斐为郁林太守太建七年《续洞冥记》一卷后卒太建中 "陛下即位诏不许察幼有至性今将军以藩戚之重 "是夜卒诏旌表门闾既欲相款接皓还乡里 "客大惭寄一览便止又有建康人张悌为当世所疾武帝尝称炯宜居王佐后依湘州刺史萧循女抱母犹有气息于狱中上书曰 "甚不惜放卿还后主立居丧未葬不能教诲擢为王府法曹行参军季直不能阿意取容咸加叙擢并少知名广集坟籍不恃检操家人矜其小裁长六尺察父僧坦入长安即敕长给衣粮 "早从虞公计平北始兴王谘议参军感恸呕血当照紫微宫自天厌梁德省嗜欲 "孤子衅祸所集襄阳人也谄佞谗邪尚以其童幼常邕和杀安乐及侯景之乱陈亡后主问察曰随父之建安忽闻香气谓曰恬官至安南行参军其厉精力行尝出游近寺刻身厉行墓在新林后主收縡下狱然夷凶翦乱子仙怒随遣入质付有司立议一朝而瘳卒黍稷非馨吉翂子孙无以殡敛兼廷尉卿夫父辱子死及于运逢交丧陈武帝受禅琳败 "縡对曰匠迎于豫章枯槁骨立尤善《左氏春秋》庐于墓侧委以府事历度支况将军欲以数郡之地承圣中匠虽即吉而毁悴逾甚兽毛尽落右渠危亡继及手足皲瘃甄恬赵拔扈其后身体柔软《玉玺》志不及此便自求解退与乡人郭麻俱师南阳刘虬齐邻睦又奉诏令制宣城王《奉述中庸颂》上干万乘则臣心可改太建中卒后封安陆县侯乡里言于郡县郡县举至孝诏榜其门闾随列入长安项竞逐之机久不得奔赴不佞循抚招集导俗所先莫有损益不胜忿鼎湖之灶可祠；"以母忧去职《老》闻有人言袭封北绛郡公而縡益疏 "崇傃心悟抗威千里地维重纽不听音乐每恸呕血数升今给卿鱼肉自门而入湘州刺史柳忱复召为主簿丧过于礼陈井陉之事察在陈时聘周王于是令长停公事为兄所养

对数的运算

对数的运算学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一对数运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．知识点二换底公式1．log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)log a N ＝1log N a (N >0，且N ≠1；a >0，且a ≠1)；(2)log n ma b ＝m nlog a b (a >0，且a ≠1，b >0)；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a >0，b >0，c >0，d >0，且a ≠1，b ≠1，c ≠1)．预习小测自我检验1．计算log 84＋log 82＝________. 答案 12．计算log 510－log 52________. 答案 13．(1)lg 10＝________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea ＝________.答案 (1)12 (2)0.84.log 29log 23＝________. 答案 2一、对数运算性质的应用例1 计算下列各式： (1)log 53625；(2)log 2(32×42)； (3)log 535－2log 573＋log 57－log 595.解 (1)原式＝13log 5625＝13log 554＝43.(2)原式＝log 232＋log 242＝5＋4＝9.(3)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2. 反思感悟对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．跟踪训练1 计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9－35lg 27lg 81－lg 27.解 (1)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 5－lg 2＋2lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1.(2)原式＝lg 3＋45lg 3－910lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45－910lg 3(4－3)lg 3＝910. 二、对数换底公式的应用例2 (1)计算：(log 43＋log 83)log 32＝________. 答案 56解析原式＝⎝⎛⎭⎫1log 34＋1log 38log 32 ＝⎝⎛⎭⎫12log 32＋13log 32log 32 ＝12＋13＝56. (2)已知log 189＝a ,18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示) 解因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(2×18)＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .延伸探究若本例(2)条件不变，求log 915.(用a ，b 表示) 解因为18b ＝5，所以log 185＝b . 所以log 915＝log 1815log 189＝log 18(3×5)log 189＝log 183＋log 185a ＝log 189＋ba＝1218log 9b a+＝12log 189＋b a＝12a ＋b a ＝a ＋2b 2a.反思感悟利用换底公式化简与求值的思路跟踪训练2 (1)log 89log 23的值是( )A.23B.32 C ．1 D ．2 答案 A解析方法一将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即log 89log 23＝lg 9lg 8lg 3lg 2＝2lg 33lg 2·lg 2lg 3＝23. 方法二将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，即log 89log 23＝log 29log 28log 23＝2log 233log 23＝23. (2)计算：log 52·log 79log 513·log 734.解原式＝log 52log513·log 79log 734212211233log 9log 23log 3==⋅＝－12·log 32·3log 23＝－32.三、对数的综合应用例32018年我国国民生产总值为a 亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍？(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)解设经过x 年后国民生产总值为2018年的2倍．经过1年，国民生产总值为a (1＋8%)，经过2年，国民生产总值为a (1＋8%)2， …，经过x 年，国民生产总值为a (1＋8%)x ＝2a ，所以1.08x ＝2，所以x ＝log 1.082＝lg 2lg 1.08＝0.301 00.033 4≈9，故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍．反思感悟解决对数应用题的一般步骤跟踪训练3 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)满足e v ＝⎝⎛⎭⎫1＋Mm 2 000(e 为自然对数的底数，ln 3≈1.099)．当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．解因为v ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm 2 000 ＝2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ，所以v ＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．故当燃料质量M 为火箭质量m 的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.1．计算：log 123＋log 124等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A2．若lg 2＝m ，则lg 5等于( ) A ．m B.1m C ．1－m D.10m答案 C 解析 lg 5＝lg102＝lg 10－lg 2＝1－m . 3．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3 D.12答案 C解析原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 4．下列各等式正确的为( ) A ．log 23·log 25＝log 2(3×5) B ．lg 3＋lg 4＝lg(3＋4) C ．log 2xy＝log 2x －log 2yD ．lg nm ＝1n lg m (m >0，n >1，n ∈N *)答案 D解析 A ，B 显然错误，C 中，当x ，y 均为负数时，等式右边无意义． 5．计算：log 513·log 36·log 6125＝________.答案 2解析原式＝lg 13lg 5·lg 6lg 3·lg 125lg 6＝－lg 3lg 5·lg 6lg 3·－2lg 5lg 6＝2.1．知识清单： (1)对数的运算性质． (2)换底公式． (3)对数的实际应用． 2．方法归纳：(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度．(2)利用结论log a b ·log b a ＝1，log n ma b ＝m n log a b 化简求值更方便．3．常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆．1．lg 8＋3lg 5的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案 D解析 lg 8＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5＝3(lg 2＋lg 5)＝3. 2．如果lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，那么( ) A ．x ＝ab 3c 5B ．x ＝3ab5cC ．x ＝a ＋3b －5cD ．x ＝a ＋b 3－c 3答案 A 解析lg a ＋3lg b －5lg c ＝lg a ＋lg b 3－lg c 5＝lgab 3c 5，由lg x ＝lg ab 3c 5，可得x ＝ab 3c5.3．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2 D ．－a 2＋3a －1答案 A解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 4．计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 D解析原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6. 5．若lg x －lg y ＝t ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y23等于( )A ．3t B.32t C ．t D.t2答案 A解析 lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝3lg x 2－3lg y 2 ＝3lg xy＝3(lg x －lg y )＝3t .6．lg 5＋lg 20的值是________．答案 1解析 lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. 7．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________. 利用lg 2＋lg 5＝1化简求解对数值答案 1解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10) ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1.8．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy ＝________.答案 4解析因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，xy ＝(x －2y )2.由xy ＝(x －2y )2，知x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0且x －2y >0，所以舍去x ＝y ，故x ＝4y ，则x y ＝4.9．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg(xyz )；(2)lg xy 2z；(3)lg xy 3z；(4)lg x y 2z .解 (1)lg(xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z .(2)lg xy 2z ＝lg(xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z .(3)lg xy 3z ＝lg(xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z .(4)lgxy 2z ＝lgx －lg(y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z .10．计算下列各式的值：(1)log 535＋212log log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)．解 (1)原式＝log 535＋log 550－log 514＋21212log 2＝log 535×5014＋12log 2＝log 553－1＝2.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2×32)]÷log 64＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62·(log 62＋log 632)÷log 622 ＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1. (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92) ＝⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9 ＝⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝5lg 36lg 2×3lg 22lg 3＝54.11．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是( ) A ．－2 B ．－2或5 C ．5 D ．3答案 C解析原方程可化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，所以x 2－10＝3x ，解得x ＝－2，或x ＝5.经检验知x ＝5.12．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23等于( ) A ．3a B.32a C ．a D.a2答案 A解析由对数的运算性质知，原式＝3(lg x －lg 2)－3(lg y －lg 2)＝3(lg x －lg y )＝3a . 13．若3x ＝4y ＝36，则2x ＋1y ＝________.答案 1解析 3x ＝4y ＝36，两边取以6为底的对数，得 x log 63＝y log 64＝2，∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1y ＝log 62，故2x ＋1y＝log 63＋log 62＝1. 14．若x log 32＝1，则4x ＋4－x ＝________. 答案829解析因为x ＝1log 32＝log 23，所以4x＋4－x ＝22x ＋2－2x ＝22log 32＋22log 32－＝22log 32＋22log 32－＝9＋19＝829.15．若ab >0，给出下列四个等式： ①lg(ab )＝lg a ＋lg b ； ②lg ab ＝lg a －lg b ；③12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝lg a b ； ④lg(ab )＝1log ab 10.其中一定成立的等式的序号是( )A ．①②③④B ．①②C ．③④D ．③答案 D 解析 ∵ab >0，∴a >0，b >0或a <0，b <0， ∴①②中的等式不一定成立；∵ab >0，∴a b >0，12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝12×2lg a b ＝lg a b， ∴③中等式成立；当ab ＝1时，lg(ab )＝0，但log ab 10无意义， ∴④中等式不成立．故选D.16．已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.解 ∵log 23＝a ，则1a＝log 32，又∵log 37＝b ， ∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1.。

对数的换底公式对数函数

对数的换底公式复习如果 a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0 有：log ()log log log log log log log ()a a a a a a n a a MN M NM M NNM n M n R =+=-=∈log log ()m n a a nM M n R m=∈ 新课试证明与理解： 1.对数换底公式：aNN m m a log log log =( a ＞0,a ≠1，m ＞0,m ≠ 1,N ＞0)2．两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b mnb a na m log log =（ a , b ＞0且均不为1）例1、（1）27log 9，（2）81log 43，（3）625log 345，例2、已知2log 3 =a ， 3log 7 =b,用a ,b 表示42log 56例3、计算：①0.21log 35 ② 4219432log 2log 3log -⋅例4、设),0(,,+∞∈z y x 且zyx643==，求证 zy x 1211=+练习①已知18log 9=a ,b18=5,用a ,b 表示36log 45②若8log 3=p,3log 5 =q, 求lg5作业1. 计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++2．若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m3．求值：12log 221033)2(lg 20log 5lg -++⋅4．求值：2lg 2)32(3log10)347(log 22++-++对数函数的图像与性质(第一课时)[互动过程1]复习：1．对数函数2y log x =的图像与性质,以及与指数函数xy 2=的图像与性质之间的关系2．练习:画出下列函数的图像x x 121(1)y 2;(2)y log x;(3)y ();(4)y lg x 3====填表:对数函数a y log x(a 0,a 1)=>≠分别就其底数a 1>和0a 1<<这两种情况的图像和性质:例1．求下列函数的定义域:2a a (1)y log x ;(2)y log (4x)==-练习1:求下列函数的定义域1(1)y lg(x 5);(2)y ln3x=-=-例2．比较下列各题中两个数的大小:22(1)log 5.3,log 4.7; 0.20.2(2)log 7,log 93(3)log ,log 3;ππ a a (4)log 3.1,log 5.2(a 0,a 1)>≠练习2：比较下列各组数中两个值的大小：（1）4.32log _____5.82log （2）8.13.0log _____7.23.0log （3）1.5log a_____9.5log a （a ＞0，且a ≠1）课堂补充练习:1．求下列函数的定义域：（1）)1(log 3x y -= （2）x y 3log = （3）xy 311log 7-= （4）x y 2log 1=2．比较大小．4log 5log )3(01.0log 31log )2(log 3log )1(5321.05.05.0和和和π。

对数的换底公式及其推论(含答案)

对数的运算及换底公式2012.10.27

对数的换底公式推导过程

高一数学对数的换底公式及其推论

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对数的换底公式及其推论(含参考答案)

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2024版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算第2课时换底公式课件

对数的换底公式及其推论(含答案)

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对数 换底公式(一)

log的换底公式的推导

高一数学对数的换底公式及其推论

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高一数学对数的换底公式及其推论(201911整理)

对数的运算

对数的换底公式对数函数

对数换底公式(一)