对数换底公式
log 换底公式
log 换底公式
log 换底公式是指：若 a > 0 且 a ≠ 1，则对于任意的正实数 b 和 c，有以下等式成立：
log a b = log c b / log c a
其中，a 被称为“底数”，b 被称为“真数”，log a b 被称为“以 a 为底 b 的对数”。
使用 log 换底公式可以简化计算，特别是在计算复杂对数时非常有用。
例如，要计算以 2 为底 5 的对数，可以使用 log 换底公式将其转化为以任意底数 c 为底的对数：
log 2 5 = log c 5 / log c 2
选择 c = 10 时，可以得到：
log 2 5 ≈ 2.3219
因此，以 2 为底 5 的对数约为 2.3219。
除了以 10 为底的常用对数和以自然数 e 为底的自然对数外，log 换底公式还可以用于计算其他底数的对数。
换底公式
换底公式的形式：
换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。
log（a）（b）表示以a为底的b的对数。
所谓的换底公式就是log（a）（b）=log(n)(b)/log(n)（a）
换底公式的推导过程：
若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)
则 log（a）（b）=log（n^x）(n^y)
根据对数的基本公式log(a）(M^n)=nloga(M) 和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M
易得 log(n^x)(n^y)=y/x
由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)
例子：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1
换底公式的应用：
1.在数学对数运算中，通常是不同底的对数运算，这时就需要换底.
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底（即In）的自然对数或者是转换为以10为底（即lg）的常用对数，方便于我们运算；有时
也通过用换底公式来证明或求解相关问题；
2.在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式，例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数；只有以常用对数10为底的对数或自然对数e为底的对数（即Ig、In）,此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数来表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而来处理某些实际问题。
对数的换底公式推导
对数的换底公式推导假设有两个对数 a 和 b，以及它们的对应底数 c 和 d，即 log_c a 和 log_d b。
我们需要找到一个公式，将 log_c a 转换为 log_d a。
首先，我们可以利用对数的定义，将 log_c a 表示为等价的指数形式：c^(log_c a) = a。
然后，我们将底数c表示为底数d的幂，即c=d^k，其中k是一个实数。
将 c^(log_c a) 中的底数 c 替换为 d^k，得到：(d^k)^(log_c a) = a。
根据指数运算法则，$(d^k)^(log_c a) = d^(k * log_c a)$，进一步简化得到：d^(k * log_c a) = a。
现在，我们需要找到 k 的值，使得 k * log_c a等于一个特定的数值。
为了找到 k 的值，我们使用换底公式，将 c 的对数转换为 d 的对数。
换底公式表达式为 log_c a = log_d a / log_d c。
将该公式代入上面的等式中，得到：d^(k * (log_d a / log_d c)) = a。
利用指数运算的指数法则，k * (log_d a / log_d c)等于 k *log_c a，所以上式变为：d^(k * log_c a) = a。
现在，我们可以看到，当 k * log_c a等于 log_d a 时，原等式成立。
所以，我们得到了换底公式的表达式：log_c a = log_d a / log_d c。
这就是对数的换底公式的推导过程。
通过这个公式，我们可以将一个对数的底换成另一个对数的底。
这对于解决问题中涉及到不同底的对数运算非常有用。
log函数换底公式
log函数换底公式log函数换底公式是数学中常见的一种换底公式，用于改变对数函数的底数。
log函数换底公式可以将以任意底数的对数转化为以另一种底数的对数表示。
在数学中，对数函数是指数函数的逆运算。
对于任意正数a、b和正实数x，我们可以用以下公式表示对数函数的定义：logₐ(b) = x ⟺ aˣ = b这个公式中，a表示对数的底数，b表示实数x对应的幂，x则表示以a为底b对数的结果。
在实际应用中，常用的对数底数有自然对数底e和常用对数底10。
然而，在某些情况下，我们需要将以一个底数的对数转化为以另一个底数的对数。
这时，log函数换底公式就派上用场了。
对于常见的对数底数10和自然对数底e，log函数换底公式可以分别表示为：① logₐ(b) = log(b) / log(a)② logₐ(b) = ln(b) / ln(a)这两个公式中的log表示10为底的对数函数，ln表示以e为底的对数函数。
可以看出，公式①是将log(a)作为底数，log(b)作为指数；公式②是将ln(a)作为底数，ln(b)作为指数。
使用log函数换底公式，我们可以将以任意底数的对数转化为以常用的底数或自然对数为底的对数。
这在数学计算和问题求解中非常有用。
举个例子来说明log函数换底公式的应用。
假设我们要计算log₂(16)，这个对数以2为底，我们可以通过log函数换底公式将其转化为以常用对数底10为底的对数表示。
根据公式①，我们可以进行如下计算：log₂(16) = log(16) / log(2)其中，log(16)表示以10为底的对数，log(2)表示以10为底的对数。
通过计算可得，log(16) ≈ 1.204，log(2) ≈ 0.301。
将这两个结果代入公式，我们可以得到：log₂(16) ≈ 1.204 / 0.301 ≈ 4因此，log₂(16) ≈ 4，这个结果表示以2为底的对数16的结果为4。
如此，我们通过log函数换底公式将以一个底数的对数转化为以常用对数底10的对数表示，实现了对对数函数的换底操作。
对数换底公式推导
对数换底公式推导对数换底公式，也称作变底公式，是数学中比较常用的一种公式。
它可以用来换算一个底数的对数。
简而言之，对数换底公式就是一种便捷的计算方法，实现对数从一个底数转换到另一个底数的操作。
对数换底公式是一个有用的数学工具，它可以用来解决现实中的各种问题。
比如，它可以用来求解数字的增加或减少的百分比，以及数字的乘法或除法问题。
借助这个公式，用户还可以轻松的计算出不同的数字的对数之差。
二、对数换底公式的推导对数换底公式的推导可以简单地总结为：公式：loga b = rlog c b其中，a，b，c分别表示底数、被求对数数值和新底数。
现在我们来推导这个公式。
我们要从一个简单的例子入手。
假设有一个数值n，其对数以2为底。
这个数值的对数可以表示为：log2 n，其中n表示被求对数数值，2表示底数。
现在我们要求n以4为底的对数，可以在等式右边替换底数，即：log4 n = ?此时我们可以把等式右边的部分变形：log4 n = log2 n 2于是，等式可以变形为：loga b = rlog c b其中a、b、c表示底数，r表示log2 n的值。
我们可以继续用范例来说明这个公式的推导过程。
假设有一个数值n，其对数以4为底。
这个数值的对数可以表示为：log4 n，既然要求n以2为底的对数，则可以使用上述公式推导：log2 n = log4 n即：log2 n = (1/2)log4 n以上就是对数换底公式的推导过程，简而言之，它的形式就是：loga b = rlog c b三、数换底公式的应用对数换底公式是一个非常有用的数学工具，它可以用来解决现实中的各种问题。
比如，它可以用来求解数字的增加或减少的百分比，以及数字的乘法或除法问题。
借助这个公式，用户还可以轻松的计算出不同的数字的对数之差。
另外，对数换底公式在推导几何级数和统计学方面也有广泛的应用。
例如，在推导几何级数中，对数换底公式可以帮助计算复杂的公式，从而求出结果。
对数换底公式例题
对数换底公式例题
摘要：
1.对数换底公式的定义与意义
2.例题分析
3.解题步骤与方法
4.公式的应用场景
正文：
【1.对数换底公式的定义与意义】
对数换底公式，是数学中一种重要的公式，主要用于将对数的底数进行转换。
其公式为：loga(N) = logc(N) / logc(a)。
在这个公式中，a 和c 是两个不同的底数，N 是一个正数。
对数换底公式的应用，可以简化对数的计算过程，使计算更加方便。
【2.例题分析】
例题：如果log2(8) = 3，那么log16(8) 等于多少？
在这个例题中，我们需要用到对数换底公式，将log2(8) 转换为
log16(8)。
首先，我们知道log2(8) = 3，那么我们可以将这个对数转换为以16 为底的对数，即log16(8) = log2(8) * log16(2)。
因为log16(2) = 1/4，所以log16(8) = 3 * 1/4 = 3/4。
所以，log16(8)等于3/4。
【3.解题步骤与方法】
(1) 确定题目中给出的对数，以及需要转换的底数。
(2) 使用对数换底公式，将对数转换为新的底数。
(3) 将转换后的对数进行计算，得出结果。
【4.公式的应用场景】
对数换底公式在实际应用中非常广泛，特别是在计算机科学和工程领域。
例如，在编程中，常常需要对大数据进行处理，对数换底公式可以帮助我们更快地计算出数据的对数，从而提高计算效率。
高一的log换底公式
高一的log换底公式
log以a为底b的对数——loga(b）=logc(b)/logc(a)也可以写lg(b)]/lg(a)也就是log以10为底b的对数。
换底公式是高中数学常用对数运算公式，可将多异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。
计算中经常会削减计算的难度，更快速的解决高中范围的对数运算。
对数
在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。
这意味着一个数字的对数是必需产生另一个固定数字（基数）的指数。
在简洁的状况下，乘数中的对数计数因子。
更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。
假如a的x 次方等于N（a0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN。
其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。
对数符号
以a为底N的对数记作logan。
对数符号log出自拉丁文logarithm，最早由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri）所使用。
20世纪初，形成了对数的现代表示。
为了使用便利，人们渐渐把以10为底的常用对数及以无理数e为底的自然对数分别记作lgN和lnN。
1。
对数公式大全
对数公式大全对数公式大全：1、一般对数公式：loga(x)=y，其中a>0，a≠1，x>0，表示以a为底x的对数等于y。
2、对数运算律：loga(xy)=loga(x)+loga(y)，loga(x/y)=loga(x)-loga(y)。
3、指数公式：a^y=x，其中a>0，a≠1，x>0，表示以a为底x的幂等于y。
4、指数运算律：a^(x+y)=a^x*a^y，a^(x-y)=a^x/a^ y。
5、对数换底公式：logb(x)=loga(x)/loga(b)，其中a>0，a≠1，b>0，b≠1，x>0，表示以b为底x的对数等于以a为底x的对数除以以a为底b的对数。
6、特殊对数公式：log2x=lnx/ln2，表示以2为底x的对数等于以e为底x的自然对数除以以e为底2的自然对数。
7、二次函数对数公式：log(ax^2+bx+c)=2logax+logab+logac，其中a>0，a≠1，b、c为任意实数，表示对于二次函数ax^2+bx+c，以a为底的对数等于a的2倍对数加上a的对数乘以b再加上a的对数乘以c。
8、立方函数对数公式：log(ax^3+bx^2+cx+d)=3logax+2logab+logac+logad，其中a>0，a≠1，b、c、d为任意实数，表示对于立方函数ax^3+bx^2+cx+d，以a为底的对数等于a的3倍对数加上a的2倍对数乘以b再加上a的对数乘以c再加上a的对数乘以d。
9、对数函数求导公式：(dy/dx)logax=a^x/x，其中a>0，a≠1，x>0，表示函数y=logax的导函数等于以a为底x的指数除以x。
应用对数换底公式解题举例
应用对数换底公式解题举例
数学中有许多和指数、对数有关的概念，其中最重要的之一就是对数换底公式。
对数是用
来表示指数的概念，它用来描述数学问题和函数图像之间的关系，也可以用来解决复杂的
等式和不等式。
对数换底公式允许我们将一个对数从一个基数转换为另一个基数的另一个对数，这里的“基数”是所使用的基底，也就是常用数学中的“底数”。
对数换底公式的标准形式为：
LogA _B = C
这里A是基数，B是底数，C是在B的基数下的对数。
其中的结果C就是将底数从A换
到B的结果。
来看一个例子：
若求 log7 _49，用对数换底公式求解，即Log7 _49 = X
根据公式，可将X换至公式右侧：
7X = 49
X = 49/7
X =7
由此，log7 _49 = 7
以上是一个简单的例子，能够清楚地说明对数换底公式的基本用法。
通过计算，可以看出，对数换底公式可以帮助我们解决复杂的等式和不等式问题。
它有助于我们计算对数，不仅方便了数学学习，而且方便了人们的日常生活。
对数的换底公式及其推论
对数的换底公式及其推论1．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠)证明：设log a N x =，则x a N =，两边取以m 为底的对数得：log log x m m a N =，∴log log m m x a N =， 从而得：a N x m m log log =， ∴ aNN m m a log log log =．说明：两个较为常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； （2）log log m na a nb b m=（a 、0b >且均不为1）． 证明：（1） 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅baa b a b b a ； （2） lg lg log log lg lg m n na ma b n b nb b a m a m===． 2．例题分析：例1．计算：（1） 0.21log 35-； （2）492log 3log 2log ⋅+解：（1）原式 =0.251log 3log 555151553===； （2） 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅．例2．已知18log 9a =，185b=，求36log 45（用 a , b 表示）．解：∵18log 9a =， ∴a =-=2log 1218log 1818， ∴18log 21a =-， 又∵185b=， ∴18log 5b =，∴aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836．例3．设1643>===t zy x ，求证：yx z 2111=-．证明：∵1643>===t zy x ，∴ 6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，，， ∴ yt t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-．例4．若8log 3p =，3log 5q =，求lg 5． 解：∵8log 3p =，∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==⇒=p p p ，又∵ q ==3lg 5lg 5log 3， ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q ，∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pqpq3135lg +=．例5．（备用）计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++．解：原式23254312223(log 3log 3)(log 2log 2)log 2=++-45)2log 212)(log 3log 313log 21(3322+++=254545452log 233log 6532=+=+⋅=．例6．（备用）若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m ．解：由题意可得：218lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =⋅⋅m ， ∴3lg 21lg =m ，∴3=m ．3．巩固练习：1．求下列各式的值：（1） 65353log 9--+； （2；（3）)5.0log 2)(log 2.0log 5(log 25542++；（4）)243log 81log 27log 9log 3(log 32log 321684269++++． 2．已知 )23lg(lg )23lg(2++=-x x x ， 求 222log x的值。
对数的换底公式
证明： 证明：设 log a N = p
log c N ⇒ p= log c a
log c N 即证得 log a N = log c a
且 推广 (a,b,c>0,且a,b,c≠1)
log b a • log a b = ? 1
lg a lg b log b a • log a b = • =1 lg b lg a
【总一总★成竹在胸】 总一总★成竹在胸】 1. 对数的运算法则； 对数的运算法则； 2.公式的逆向使用 公式的逆向使用. 公式的逆向使用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
log c N log a N = log c a
(a, c ? (0,1) U (1, ? ), N
如何证明呢? 如何证明呢
0)
通过换底公式， 通过换底公式，人们 由对数的定义可以得： = a p 由对数的定义可以得：N 可以把其他底的对数 转换为以10或 为底 转换为以 或e为底 p ⇒ log c N = log c a 的对数， 的对数，经过查表就 能求出任意不为1的 能求出任意不为 的 ⇒ log c N = p log c a 正数为底的对数。 正数为底的对数。
n
loga (M1M2 LMn ) = loga M1 +loga M2 +L+loga Mn 1 n log a a = n(n ∈ R ) log a = − log a M M P P n p n log a M = log a M = log a M n
一、对数的换底公式: 对数的换底公式
积、商、幂的对数运算法则： 幂的对数运算法则： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有： 如果 ＞ ， ， ＞ ， ＞ 有
log a ( MN ) = log a M + log a N M log a = log a M − log a N N
数学中的log相关公式
数学中的log相关公式
在数学中，对数（logarithm）是指某个数（被称为“底数”）
的幂等于另一个数时所使用的指数。
对数的常见公式包括：
1. 对数的定义：
如果a的x次方等于b，那么就可以写作logₐ b = x。
其中，a是底数，b是真数，x是指数。
2. 对数的换底公式：
logₐ b = logᵦb / logᵦa。
这个公式可以用来将对数转换为
其他底数的对数。
3. 对数的乘法公式：
logₐ b + logₐ c = logₐ(bc)。
这个公式可以用来将对数
中的加法转换为乘法。
4. 对数的除法公式：
logₐ b logₐ c = logₐ(b/c)。
这个公式可以用来将对数中的减法转换为除法。
5. 对数的幂公式：
logₐb^c = c logₐb。
这个公式可以用来将对数中的指数提取出来。
这些是对数的一些常见公式，它们在数学中的应用非常广泛，可以用来简化计算、解决方程和推导数学关系。
希望这些信息能够帮助到你。
对数换底公式推导
对数换底公式推导对数换底公式是一种有用的数学公式，可以快速从一种底数（如2）更改为另一种底数，以便解决复杂的数学问题。
对数换底公式可以起到辅助解决这些问题的作用，也可以用于各种复杂的数学演算。
本文将结合实例来加深对换底公式的理解，并讨论推导过程。
对数换底公式的推导首先，给出对数换底公式的通式：logaX = logbX/logbA其中，“logaX”表示以a为底的X的对数，“logbX”表示以b为底的X的对数，“logbA”表示以b为底的A的对数。
这个公式可以用来换算出任意一种底数下的任意一个数的对数。
要推导出这个公式，需要考虑两个步骤：第一步：以a为底，将X的对数表示为幂函数，即：X = A^(logaX)第二步：以b为底，将X的对数表示为幂函数，即：X = B^(logbX)结合上面两个步骤，得到：A^(logaX) = B^(logbX)将A和B都取以b为底的对数，得到：logbA^(logaX) = logbB^(logbX)化简得到：logbA * logaX = logbB * logbX从而得到：logaX = logbX/logbA实例验证下面利用实例来加深对换底公式的理解。
假设现在有个数为1024，以2为底的对数是10，问它以8为底的对数（log81024）是多少？解：根据换底公式，log81024=log210/log28=10/3=3.33得出结论：log81024=3.33结论本文介绍了对数换底公式的推导过程，并利用实例加深了读者对该公式的理解。
由于换底公式可以方便地从一种底数（如2）更改为另一种底数（如8），因此在解决各种复杂的数学问题时，可以起到辅助解决这些问题的作用。
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n logam a m
n
logam bn n log a b
m
loga b logb a 1
五、知识应用
题型 利用换底公式化简求值 例 1 计算： （1） log9 27 ； （2） log8 9 log27 32
3 3 解法三: (1) log 9 27 log 32 3 log 3 3 2 2
两个推论
logb a loga b 1
n log a m b log a b m
n
思考：(1)对数换底公式的作用是什么？ (2)在什么情况下选用对数换底公式？
(3)在进行对数的化简与计算时，如何选用底数？
九、课外作业
必做题: 教材 P88 习题 B 组 T4 2、 已知 log7 3 a,log7 4 b , 试用 a , b 表示 log48 49 .
3
五、知识应用
题型 利用换底公式化简求值 例 1 计算： （1） log9 27 ； （2） log8 9 log27 32
log3 27 log3 33 3 解法二: (1) log9 27 2 log3 9 log3 3 2
log3 32 log3 25 (2) log8 9 log27 32 3 log3 2 log3 33 2 log3 3 5 log3 2 10 3 log3 2 3 log3 3 9
的对数转换公式：
换底公式
loga N logb N (其中a，b 0，a，b 1，N 0) loga b
说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面 对log 2 15 的求值过程实际上就是一种证明方法，可类 似证明对数换底公式，
对数换底公式
loga N a, b 0, a, b 1, N 0. logb N loga b
解：设最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y ，则
经过 x 年，剩留量是 y 0.84 ；
x
方法一 根据函数关系式列表如下
x
y 0.84x
0 1
1 0.84
2 0.71
3 0.59
4 0.50
5 0.42
… …
观察表中数据， y 0.5 时对应有 x 4 ，
即约经过 4 年， 该物质的剩留量是原来的一半。
说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10；
第2题中是两个自然对数，它们的底数都是e.利用科学
计算器可以直接计算常用对数和自然对数.
三、问题探究
问题：可否利用计算器的“lg”或“ln”键求 的值呢？
log 2 15
从而有 我们可设 log 2 15 x，
x
2 x 15
对上式两边同取以10为底的对数可得
经过 x 年，剩留量是 y 0.84 ；
x
经过 2 年，剩留量是 y 0.84 ； ……………………
2
知识应用
题型 对数运算在实际问题中的应用
例 3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一 年剩留的质量约为原来的 84%，估计约经过多少年，该物 质的剩留量是原来的一半（结果保留 1 个有效数字）
较2
100
与 3 的大小吗?
65
(3)指数换底公式的意义是什么?有什么作用?
思考：对数换底公式的作用是什么？ 答：利用对数换底公式可以将不同底数的对数化为同 底的对数；或将一般地对数化为自然对数或常用对数， 这样便于查表和计算. 思考：在什么情况下选用对数换底公式？ 答：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表 获得对数值时，可化为10为底的常用对数进行运算.
如何证明
n 推论2 log am b m log a b
n n
log a b n log a b n log am b log a b m log a a m m
直接利用换底公式
七、跟踪练习
1 1 1 计算： ) log 9 8 log 32 27; (1 (2) log 2 log 3 log 5 . 125 32 3 13 13 1 lg 8 lg1 lglg 2 lg 32 lg 3 27 125 lg 3 1 27 1 解：) 2) log 2 log32log 3 log 5 (1( 解：log9 8 2 5 lg 3 lg 3 lg 32 lg 2 lg 2 lg 5 125 32 9 lg3 3 lg 2 3 lg 3 9 3 5 1 lg 5 2 lg 3 lg 15 2 lg 5 lg 2 10 3 lg 2 lg 3 lg 5
1 1 log 23 log 33 1 法二： 928 loglog 3 log 5 log 法二： log 32 27 32 25 125 32 3 3 3 3 1 5 log2 5loglog3log 23 5 3 3 2 2 log 2 2 (3) (5) (1) log2 5 log3 2 log5 3 15
log10 2 log10 15，即
lg 2 lg15 x lg 2 lg15 lg15 lg15 x ， 即 log 2 15 lg 2 lg 2
x
lg15 3.91. x log 2 15 lg 2
四、获取新知
lg15 由 log 2 15 抽象推广到一般情况可得重要 lg 2
知识应用
题型 对数运算在实际问题中的应用
例 3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一 年剩留的质量约为原来的 84%，估计约经过多少年，该物 质的剩留量是原来的一半（结果保留 1 个有效数字）
解：设最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y ，则
经过 x 年，剩留量是 y 0.84 ；
. log N a loga b 因为x=logbN,所以 logb N .
loga b
所以logb N
五、知识应用
题型 利用换底公式化简求值 例 1 计算： （1） log9 27 ； （2） log8 9 log27 32
lg 27 lg 3 3 解: (1) log9 27 2 lg 9 lg 3 2 2 5 lg 3 lg 2 (2) log8 9 log27 32 3 lg 2 lg 33 2 lg 3 5 lg 2 10 3 lg 2 3 lg 3 9
变脸的数学 --对数换底公式
一、复习与回顾 1、对数的定义 a N b loga N
b
2、对数的运算性质
如果a 0, a 1, M 0, N 0, 则
1loga MN loga M loga N ; n 2loga M n loga M n R ;
x
x 方法二 依题意得 0.84 0.5 ， ln 0.5 x log0.84 0.5 ln 0.84 3.98
即约经过 4 年， 该物质的剩留量是原来的一半。
八、课时小结
你从这节课上学到了什么？
loga N a, b 0, a, b 1, N 0. 对数换底公式 logb N loga b
知识应用
例2 用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）
log2 48 ； logБайду номын сангаас 10 ; log8 ; log5 50 ; log1.082 2 lg 48 解： 2 48 log 5.585 lg 2 ln 10 log 3 10 2.096 ln 3 log5 50 2.431 log8 0.550
M 3loga loga M loga N . N
二、动手实践
1、利用计算器计算 15和lg 2. lg （精确到 .001 0 ）
2、利用计算器计算ln15和ln 2. （精确到0.001 ）
结果：1、lg15 1.176 2、ln 15 2.708
lg 2 0.301 ln 2 0.693
(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用 运算法则时，可统一化成同一个底数为底的对数，再根 据运算法则进行化简或求值. 思考：在进行对数的化简与计算时，如何选用底数？
答：一般进行数值计算的可选用以10为底的常用对数， 便于查表和计算；若进行化简和证明，可选用被处理 的式子中用的比较多的底数作为底数.
log1.082 2 8.795
知识应用
题型 对数运算在实际问题中的应用
例 3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一 年剩留的质量约为原来的 84%，估计约经过多少年，该物 质的剩留量是原来的一半（结果保留 1 个有效数字）
解：设最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y ，则 经过 1 年，剩留量是 y 0.84 ；
3
(2) log8 9 log 27 32 log 23 3 log 32 2
2
5
2 5 10 log 2 3 log3 2 3 3 9
六、公式推论
1 推论1 logb a log a b
如何证明
令N
log a N a ， logb N log b 由 a
n
即可得到
如何证明
证:设 log 2 15 x ，
证明: 设x=logbloga N N,根据对数定义,有 根据对数的定义, 证明二：设. x, 写成指数式，得 x N=b log b 换底公式好神奇 a 2 x 15 两边取以a为底的对数,得 换成新底可任意 两边取常用对数,得 x lg 2 lg15 logN x loga b loga b x原底加底变分母 则loga aN=logabx. lg15 而logabx=xlogab,所以 所以 x . 真数加底变分子 lg 2 x log N=xloga x 所以N a b b. logb N log N a . 由于b≠1,则logab≠0,解出x得 x loga b loga N