对数的运算性质及换底公式

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对数公式的运算范文

对数公式的运算范文对数公式是数学中的一种重要的公式，常用于求解指数方程、比较两个数的大小以及化简复杂的数学问题等。

本文将详细介绍对数公式的运算和应用。

一、对数的定义和性质对数表示求解幂指数方程的运算，其中幂次指数为对数。

对数的定义如下：对于任意实数a（a>0且a≠1）、正数b若a的x次方等于b（ax=b），则称x为以a为底b的对数，记作logₐb。

对数的基本性质如下：1. logₐ1 = 0，a的0次方等于1；2. logₐa = 1，a的1次方等于a；3. logₐaˣ = x，a的x次方等于a；4. logₐa = 1/logₐa，对数的倒数等于对数的倒数；5. logₐ(ab) = logₐa + logₐb，对数的乘积等于对数的和；6. logₐ(a/b) = logₐa - logₐb，对数的商等于对数的差；7. logₐaᵇ = b*logₐa，对数的指数等于指数乘以对数。

二、常用对数和自然对数除了以10为底的对数（常用对数）之外，还有以自然常数e为底的对数（自然对数）。

1. 常用对数：以10为底的对数，常用符号为log。

log₁₀1 = 0，log₁₀10 = 1，log₁₀100 = 2，以此类推。

2. 自然对数：以自然常数e为底的对数，常用符号为ln。

ln1 = 0，lne = 1，ln(e²) = 2，以此类推。

三、对数公式的运算1.对数的相加和相减：logₐx + logₐy = logₐ(xy)，logₐx - logₐy = logₐ(x/y)。

例如：log₃2 + log₃4 = log₃(2*4) = log₃82.对数的乘法和除法：logₐx^m = mlogₐx，logₐx/m = logₐ√(x^m) = 1/m*logₐx。

例如：log₃2² = 2log₃2，log₃2/2 = log₃√(2²) = log₃23.对数的幂运算：(logₐx)^m = logₐx^m。

对数的运算及换底公式2012.10.27

对数的运算及换底公式
关系：１．关系： a b = N
指数式
b = log a N
对数式
a
指数式 a b = N 对数式 log a N = b 底数对数的底数
N
幂真数
b
指数对数
2.特殊对数：1）常用对数 — 以10为底的对数；lg N 特殊对数：）为底的对数；特殊对数为底的对数 2）自然对数— 以 e 为底的对数；ln N ）自然对数为底的对数； 3.重要结论：1）log a a = 1；2）log a 1 = 0 重要结论：）重要结论；） 4.对数恒等式：a log a N = N 对数恒等式：对数恒等式
n N = log a N m
n
(a, c ∈ (0,1) U (1,+∞), N > 0) a, b ∈ (0,1) U (1,+∞)
1、计算： (1) log 5 35 －2log 5 、计算：
7 + log 5 7 －log 5 1. 8 3
(2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2
解法一：解法一：解法二：解法二：
7 7 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 3 3 7 7 2 = lg 14 − lg( ) + lg 7 − lg 18 = lg(2 × 7) − 2 lg 3 3 2 + lg 7 − lg(2 × 3 ) 14 × 7 = lg 7 2 = lg 2 + lg 7 − 2(lg 7 − lg 3) ( ) × 18 3 + lg 7 − (lg 2 + 2 lg 3) = lg 1 = 0 =0

对数函数运算公式大全

对数函数运算公式大全对数函数是指以常数为底的对数函数。

对数函数运算公式如下：1. 对数函数定义：对数函数的定义为 y = logₐ(x)，其中 a 为底数，x 为实数。

2.换底公式：- logₐ(x) = logₑ(x) / logₑ(a)，其中 logₑ表示以自然对数为底的对数。

- logₐ(x) = 1 / logₐ⁡(a)。

- logₐ(b) = logₐ(c) / logₐ(b)，其中 b、c 为任意正数。

3.对数函数的性质：- logₐ(1) = 0，对于任意正数 a。

- logₐ(a) = 1，对于任意正数 a。

- logₐ(a^m) = m，对于任意正数 a 和整数 m。

- logₐ(m * n) = logₐ⁡(m) + logₐ⁡(n)，对于任意正数 a、m 和 n。

- logₐ(m / n) = logₐ⁡(m) - logₐ⁡(n)，对于任意正数 a、m 和 n。

- logₐ(m^n) = n * logₐ⁡(m)，对于任意正数 a、m，并且 n 为任意实数。

- a^logₐ⁡(x) = x，对于任意正数 a 和实数 x。

4.常用对数函数：- 以底数 10 的对数函数称为常用对数函数，记为 log(x) 或 lg(x)。

- log(x) 的运算规则与对数函数相同。

5.自然对数函数：- 以底数 e(自然常数) 的对数函数称为自然对数函数，记为 ln(x)。

- ln(x) 的运算规则与对数函数相同。

6.对数函数的图像及性质：-对数函数的图像是一个以点(1,0)为对称轴的增函数，即随着x的增大，y也增大。

- 当 x > 1 时，logₐ⁡(x) > 0；当 0 < x < 1 时，logₐ⁡(x) < 0；当 x = 1 时，logₐ⁡(x) = 0。

-当a>1时，对数函数呈现上凸形状；当0<a<1时，对数函数呈现下凸形状。

以上是对数函数运算公式的大致内容，其中包含了对数函数的定义、换底公式、性质以及常用对数函数和自然对数函数的特点。

对数函数运算公式大全

对数函数运算公式大全对数函数是数学中的一种重要函数。

它主要由幂函数的逆运算演变而来，可以描述幂函数的指数部分。

对数函数的定义如下：对于任意的正实数 a 和正实数 x，我们将 b 称为以 a 为底 x 的对数，记作 logₐ(x) = b，如果且仅如果 a^b = x。

在实际问题中，对数函数常被用于解决各种指数增长和指数衰减的问题。

我们先来看一下对数函数的基本特性。

1.对数函数的定义域是正实数集，即x∈(0,+∞)。

2.对数函数的值域是全部实数集，即y∈(-∞,+∞)。

3. 对数函数的图像是由直线 y = x 和平行于 x 轴的直线 y =logₐx 组成。

当a>1时，对数函数是增函数；当0<a<1时，对数函数是减函数。

4.对数函数的性质：(a) logₐ(xy) = logₐx + logₐy(b) logₐ(x/y) = logₐx - logₐy(c) logₐ(x^n) = nlogₐx(d) logₐ(1/x) = -logₐx(e) logₐ1 = 0(f) logₐa = 1(g) log₁₀x = loga(x)/loga(10)下面我们来看一些常见的对数函数运算公式。

1. 换底公式：logₐb = logc(b) / logc(a)，其中 c 是任意的正实数。

2. 对数的乘法运算公式：logₐ(xy) = logₐx + logₐy3. 对数的除法运算公式：logₐ(x/y) = logₐx - logₐy4. 对数的幂运算公式：logₐ(x^n) = nlogₐx5. 对数的倒数运算公式：logₐ(1/x) = -logₐx6. 底数为 10 的对数与底数为 a 的对数的转换关系：log₁₀x = loga(x) / loga(10)7. 自然对数和常用对数的转换关系：logₑx = ln(x) / ln(ₑ10)8. 对数函数与指数函数的逆运算关系：a^logₐx = x有了以上的对数函数运算公式，在解决实际问题中，我们可以更方便地进行计算和分析。

对数与对数函数

2.已知 1<a<b<a2, 比较 logab, logba, loga a , logb a , 1 的大小. b b 2 a a 2 解: 由 1<a<b<a 可知: loga b <0, logb b <0, logab>1. ∴0<logba<1. ∵ 0>log a a>log a b, ∴logaa <logb a . b b b b 2> 1 log b= 1 , 又 logba= 1 log a 2 b 2 2 b 1 a ∴ logab>logba> 2 >logb b >loga a . b 3.已知 logm4>logn4, 比较 m, n 的大小. 解: 由已知 logm4>logn4, 可分情况讨论如下: ①当 m>1, 0<n<1 时, logm4>0, logn4<0, 原不等式成立. ∴m>1>n>0; ②当 m>1, n>1 时, 由 logm4>logn4>0 得: log4m<log4n. ∴n>m>1; ③当 0<m<1, 0<n<1 时, 由 0>logm4>logn4 得: log4m<log4n. ∴0<m<n<1. 综上所述: m, n 的大小是 m>1>n>0 或 n>m>1 或 0<m<n<1.
对数与对数函数
一、对数
如果 a(a>0, a1)的 b 次幂等于 N, 即 ab=N, 那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 logaN=b, 其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数, 式子 logaN 叫做对数式. 常用对数: (lgN), 自然对数: (lnN).

对数的概念及运算法则

对数的概念及运算法则对数是数学中的一个概念，它表示一个数相对于一些给定的底数的幂。

在日常生活中，对数经常被用来解释指数增长或减少的情况。

首先，对数的定义是：对于给定的正数a（a ≠ 1），将正数x表达为底数a的幂的等式，即x = a^m (m为任意实数)，称m为x的以a为底的对数，记作m =log[底数a](x)，即m = loga(x)。

对数有以下几个重要特点：1.底数必须是一个正数，并且不能等于12.对数函数中x的取值范围为正实数，因为负数和0的对数不存在。

3.对数的结果m可以是任意实数，包括正数、负数和零。

对数具有一些重要的性质和运算法则，下面介绍其中的一些：1.换底公式：对于任意给定的x和任意的正数a、b（a、b≠1），有以下等式成立：loga(x) = logb(x) / logb(a)换底公式可以将一个对数用另一个底数的对数表示，这样在计算和比较对数时更加方便。

2.加减法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x、y，有以下等式成立：loga(x * y) = loga(x) + loga(y)loga(x / y) = loga(x) - loga(y)加减法法则可以将对数的乘法和除法分解为对数的加法和减法，简化对数运算。

3.乘方法则：对于任意给定的正数a和任意的正数x和正整数n，有以下等式成立：loga(x^n) = n * loga(x)乘方法则可以将对数中的指数化简为对数本身的乘法。

4.对数的乘法和除法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：loga(x^b) = b * loga(x)loga(b^x) = x * loga(b)乘法和除法法则可以将指数中的对数化简为对数本身的乘法或除法。

5.对数的幂次法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：a^(loga(x)) = x如果a ≠ 1，则loga(a^x) = x幂次法则可以将对数中的幂次化简为原指数。

对数的运算换底公式

回归分析
在统计学中，对数经常用于回归分析，特别是逻辑回归和泊松回归。通过使用对数函数，我们可以将非线性关系转换为线性关系，从而更容易地进行分析。
在计算机科学中的应用
数据压缩
在计算机科学中，对数被广泛用于数据压缩技术。例如，音频和视频信号经常被转换为对数形式，以节省存储空间并减少数据传输的带宽需求。
04
对数的换底公式证明
利用对数的定义证明换底公式
总结词
利用对数的定义，我们可以证明换底公式。
详细描述
根据对数的定义，我们知道，对于任意两个正数a和b，当且仅当a=1时， log_a(b)=0。因此，我们可以根据对数的定义推导出换底公式。
利用对数的性质证明换底公式
总结词
利用对数的性质，我们可以证明换底公式。
对数的换底公式的应用
简化不同底的对数运算
使用换底公式可以将不同底的对数转换为同底的对数，从而简化计算。
解决实际问题
例如在计算机科学、物理学、经济学等领域中，经常需要使用对数来解决实际问题。使用换底公式可以方便地计算对数，从而提高解决问题的效率。
03
对数的运算
对数的加法运算
总结词
对数的加法运算规则是将两个对数相加，底数不变，指数相加。
总结词
对数的减法运算规则是将两个对数相减，底数不变，指数相减。
详细描述
对数的减法运算可以通过简单的代数运算来实现，假设有两个对数log(base A)B和log(base A)C，那么它们的差为log(base A)(B-C)。例如，log(base 2)3log(base 2)4=log(base 2)(3-4)=log(base 2)-1。
什么是对数单位
对数单位是一种用于表示对数值的单位，通常用“log”表示。例如，对于一个正数a，其常用对数的值为log10(a)，其自然对数的值为loge(a)。

对数函数及其性质,对数的公式互化,详尽的讲解

§2.2对数函数2．2.1对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝a x的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x＝N⇔x＝log a N，从而得对数恒等式：a log a N＝N.(2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(3)根据对数的定义，对数log a N(a>0，且a≠1)具有下列性质：①零和负数没有对数，即N>0；②1的对数为零，即log a1＝0；③底的对数等于1，即log a a＝1.2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式①log a(MN)＝log a M＋log a N (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．②log a MN＝log a M－log a N(a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．③log a M n＝n·log a M (a>0，a≠1，M>0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M>0，N>0，例如log a[(－3)×(－4)]是存在的，但是log a(－3)与log a(－4)均不存在，故不能写成log a[(－3)×(－4)]＝log a(－3)＋log a(－4)．②防止出现以下错误：log a(M±N)＝log a M±log a N，log a(M·N)＝log a M·log a N，log a M N＝log a Mlog a N，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c Nlog c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．证明设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以c 为底的对数，得x log c b ＝log c N .所以x ＝log c N log c b ，即log b N ＝log c Nlog c b.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N ＝1log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)；(2)log bn N m ＝mnlog b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R ).题型一正确理解对数运算性质对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①与③B ．②与④C ．②D ．①、②、③、④解析在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立．在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立．在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立．所以，只有②成立．答案 C点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)log 52·log 79log 513·log 734.分析利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．解 (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg 102·lg(2×10)＋(lg2)2＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.(3)∵log 52·log 79log 513·log 734＝12log 52·2log 73－log 53·13log 74＝－lg2lg5·lg3lg7lg3lg5·13·lg4lg7＝－32.点评对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．题型三对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．分析由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值．解方法一原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.方法二原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5 ＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13.点评方法一是先将括号换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，数x 的值．错解由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3. 解得x ＝1或x ＝－3.错因分析对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．正解由对数的性质知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＝x ＋3，x 2＋3x >0，x ＋3>0且x ＋3≠1.解得x ＝1，故实数x 的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________．解析 ∵9x －6·3x －7＝0，即32x －6·3x －7＝0 ∴(3x －7)(3x ＋1)＝0 ∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去) ∴x ＝log 37. 答案 log 372．(高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝____. 解析 g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12<0，g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12， ∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 答案 121．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值围是( )A ．(－∞，7)B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7)D ．(3，＋∞) 答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3>0，a －3≠1，7－a >0，解得3<a <7且a ≠4.2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1 答案 A解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )A ．1B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg2答案 C解析原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝1lg5.4．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，＋∞) 答案 C解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2a >1，∵a >0，a ≠1，log a (a 2＋1)<log a 2a ，∴0<a <1.∴12<a <1.5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.13答案 D6．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )A ．lg7·lg5B ．lg35C ．35 D.135答案 D解析 ∵lg α＋lg β＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg 135∴α·β＝135.7．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 答案 2解析令log 2x ＝12，则212＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝212＝ 2.8．log (2－1)(2＋1)＝________. 答案－1解析 log 2－1(2＋1)＝log 2－1(2＋1)(2－1)2－1＝log (2－1)12－1＝－1.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________. 答案 0.06解析 ∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lg x ＝－2＋lg2＋lg3，即lg x ＝lg10－2＋lg6.∴lg x ＝lg(6×10－2)，即x ＝6×10－2＝0.06.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2xy的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365. 解 (1)lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ，又∵⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，∴x >2y >0，∴x ＝y ，应舍去，取x ＝4y .则log 2x y ＝log 24y y ＝log 24＝lg4lg 2＝4.(2)∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ， ∴log 365＝log 185lg 1836＝blog 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b2－a. 11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，求abc 的值．解令a x ＝b y ＝c z ＝t (t >0且t ≠1)，则有1x ＝log t a ，1y ＝log t b ，1z ＝log t c ，又1x ＋1y ＋1z＝0，∴log t abc ＝0，∴abc ＝1. 12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．解 ∵关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根， ∴Δ＝0，即4－4[lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1]＝0.即lg(c2－b2)－2lg a＝0，故c2－b2＝a2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．2．2.1对数与对数运算(一)学习目标1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．2．了解常用对数与自然对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．自学导引1．如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.分析由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x 的不等式(组)，解之即可．解 (1)由题意有x －10>0，∴x >10，即为所求．(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2. (3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.点评在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5 D ．3<a <4 答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0a －2>0a －2≠1，∴2<a <5且a ≠3.二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3. 分析利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化．解 (1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵log 128＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8. (3)∵⎝⎛⎭⎫14－2＝16，∴log 1416＝－2. (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000.点评指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2.(4)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－2，∴x ＝－23.(5)由x ＝log 1216，得⎝⎛⎭⎫12x ＝16，即2－x ＝24， ∴x ＝－4.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)；(2)412(log 29－log 25)．解 (1)原式＝(a log a b )log b c ·log c N ＝b log b c ·log c N ＝(b log b c )log c N＝c log c N ＝N .(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95.点评对数恒等式a log a N ＝N 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.解原式＝5＋312log 315＝5＋(3log 315)12＝5＋15＝655.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝5 答案 C2．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( )A ．log 6a ＝aB ．log 6b ＝aC ．log a b ＝6D ．log b a ＝6 答案 D3．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2 B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 5 答案 B4．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310 答案 B解析方法一令10x ＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg3.方法二令10x ＝3，则x ＝lg3，∴f (3)＝lg3.5．21＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52答案 B解析 21＋12log 25＝2×212log 25＝2×2log 2512＝2×512＝2 5.二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________．答案 100解析 ∵5lg x ＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________．答案 12解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 答案 600解析 102.778 2≈102×10lg6＝600. 三、解答题9．求下列各式中x 的值(1)若log 3⎝⎛⎭⎫1－2x 9＝1，则求x 值；(2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值．解 (1)∵log 3⎝⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3 ∴1－2x ＝27，即x ＝－13 (2)∵log 2 003(x 2－1)＝0 ∴x 2－1＝1，即x 2＝2 ∴x ＝±210．求x 的值：(1)x ＝log224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75； (4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.解 (1)由已知得：⎝⎛⎭⎫22x ＝4，∴2－12x ＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得：9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝75.(4)由已知得：x －3＝8，即⎝⎛⎭⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12. (5)由已知得：x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116.2.2.1 对数与对数运算(二)学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A解析对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x答案 A二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50. 分析利用对数运算性质计算．解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.(3)原式＝32lg3＋3lg2－32lg3＋2lg2－1＝3lg3＋6lg2－32(lg3＋2lg2－1)＝32.(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.点评要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用．变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64. 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7)＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝[log 262＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622 ＝log 62(log 62＋log 63＋1)÷(2log 62)＝1.三、换底公式的应用例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解 (1)由已知分别求出x 和y . ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.(2)∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a .点评指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值．解 (1)利用换底公式，得lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝2，∴lg m ＝2lg3，于是m ＝9.(2)由log 1227＝a ，得3lg32lg2＋lg3＝a ，∴lg3＝2a lg23－a ，∴lg3lg2＝2a3－a .∴log 616＝4lg2lg3＋lg2＝42a 3－a ＋1＝4(3－a )3＋a.1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 D解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3. 2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b 答案 B解析 log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋bb.3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg ab 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg ab 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.4．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 答案 C解析因为f (x )＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005)＝8，所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 005＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005| ＝2log a |x 1x 2…x 2 005|＝2f (x 1x 2…x 2 005)＝2×8＝16. 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________.答案 a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg1.8＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg2＋lg9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____．答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2解析由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解 (1)方法一原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12. 方法二原式＝lg 427－lg4＋lg7 5＝lg42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)方法一原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10·lg 52＋lg4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg10＝1. 方法二原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg 22 ＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1.10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3c .证明设26a ＝33b ＝62c ＝k (k >0)，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝6log 2k＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k3，1c ＝2log 6k ＝2log k6.∴1a ＋2b＝6·log k 2＋2×3log k 3 ＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c，即1a ＋2b ＝3c. 2．2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数叫做对数函数．对于对数函数定义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)；(2)对数函数的解析式y＝log a x中，log a x前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a 必须满足a>0，且a≠1；(3)以10为底的对数函数为y＝lg x，以e为底的对数函数为y＝ln x.实际上，观察对数函数的图象不难发现，对数函数中的值y ＝log m n 有以下规律：(1)当(m －1)(n －1)>0，即m 、n 围相同(相对于“1”而言)，则log m n >0；(2)当(m －1)(n －1)<0，即m 、n 围相反(相对于“1”而言)，则log m n <0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log 213<0，log 52>0等，一眼就看出来了！题型一求函数定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝log 3x －12x ＋3x －1；(2)y ＝11－log a (x ＋a ) (a >0，a ≠1)．分析定义域即使函数解析式有意义的x 的围．解 (1)要使函数有意义，必须{2x ＋3>0，x －1>0，3x －1>0，3x －1≠1同时成立，解得⎩⎨⎧x >－32，x >1，x >13，x ≠23. ∴x >1. ∴定义域为(1，＋∞)．(2)要使原函数有意义，需1－log a (x ＋a )>0，即log a (x ＋a )<1＝log a a .当a >1时，0<x ＋a <a ，∴－a <x <0. 当0<a <1时，x ＋a >a ，∴x >0.∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a <x <0}；当0<a <1时，原函数定义域为{x |x >0}．点评求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．题型二对数单调性的应用(1)log 43，log 34，log 4334的大小顺序为( )A ．log 34<log 43<log 4334B ．log 34>log 43>log 4334C ．log 34>log 4334>log 43D ．log 4334>log 34>log 43(2)若a 2>b >a >1，试比较log a a b ，log b ba ，logb a ，log a b 的大小．(1)解析 ∵log 34>1,0<log 43<1，log 4334＝log 43⎝⎛⎭⎫43－1＝－1， ∴log 34>log 43>log 4334.答案 B(2)解 ∵b >a >1，∴0<ab<1.∴log a a b <0，log b ba ∈(0,1)，logb a ∈(0,1)．又a >b a >1，且b >1，∴log b ba<log b a ，故有log a a b <log b ba<log b a <log a b .点评比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a >1为增；0<a <1为减)比较． ②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较．③如果两对数的底数不同而真数相同，如y ＝log a 1x 与y ＝log a 2x 的比较(a 1>0，a 1≠1，a 2>0，a 2≠1)．当a 1>a 2>1时，曲线y 1比y 2的图象(在第一象限)上升得慢．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2.而在第一象限，图象越靠近x 轴对数函数的底数越大．当0<a 2<a 1<1时，曲线y 1比y 2的图象(在第四象限)下降得快．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2即在第四象限，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小．已知log a 12<1，那么a 的取值围是________．分析利用函数单调性或利用数形结合求解．解析由log a 12<1＝log a a ，得当a >1时，显然符合上述不等式，∴a >1；当0<a <1时，a <12，∴0<a <12. 故a >1或0<a <12.答案 a >1或0<a <12点评解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：(1)当a >1时，log a x >0⇔x >1，log a x <0⇔0<x <1；(2)当0<a <1时，log a x >0⇔0<x <1，log a x <0⇔x >1.题型三函数图象的应用若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，数a 的取值围．解要使不等式2x<logax 在x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时恒成立，即函数y=logax 的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0恒在函数y=2x 图象的上方，而y=2x 图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.由图可知，loga 21>2，显然这里0<a<1，∴函数y=logax 递减．又loga21>2=log 2a a ，∴a2>21，即a>2221⎪⎭⎫ ⎝⎛.∴所求的a 的取值围为2221⎪⎭⎫⎝⎛<a<1.点评原问题等价于当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时，y1=2x 的图象在y2=logax 的图象的下方，由于a 的大小不确定，当a>1时，显然y2<y1，因此a 必为小于1的正数，当y2的图象通过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21时，y2满足条件，此时a 0=2221⎪⎭⎫⎝⎛.那么a 是大于a 0还是小于a 0才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．设函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，若f(x)的值域是R，数a的取值围．错解∵f(x)的值域是R，∴ax2＋2x＋1>0对x∈R恒成立，即{a>0Δ<0⇔{a>04－4a<0⇔a>1.错因分析出错的原因是分不清定义域为R与值域为R的区别．正解函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的值域是R⇔真数t＝ax2＋2x＋1能取到所有的正数．当a＝0时，只要x>－12，即可使真数t取到所有的正数，符合要求；当a≠0时，必须有{a>0Δ≥0⇔{a>04－4a≥0⇔0<a≤1.∴f(x)的值域为R时，实数a的取值围为[0,1]．本节容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．1．(高考)已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于()A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析由题意知M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}．故M ∩N ＝{x |－1<x <1}．答案 C2．(高考)下列不等式成立的是( ) A ．log 32<log 23<log 25 B ．log 32<log 25<log 23 C ．log 23<log 32<log 25 D ．log 23<log 25<log 32解析 ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 25>log 23>log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，∴log 32<log 33＝1.∴log 32<log 23<log 25. 答案 A3．(全国高考)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t >0.∴a >b . c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a . ∴c >a >b . 答案 C1．已知函数f (x )＝1＋2x 的定义域为集合M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为集合N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <1 D ．∅答案 C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝12，则f (－a )等于( )A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2 答案 B解析 f (－a )＝lg 1＋a1－a ＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1－a －1＝－lg 1－a 1＋a＝－f (a )＝－12.3．已知a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 42，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 答案 A解析因为a ＝log 23>1，b ＝log 3 2<1，所以a >b ；又因为2>3，则log 32>log 33＝12，而log 42＝log 22＝12，所以b >12，c ＝12，即b >c .从而a >b >c .4．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D ．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数答案 D解析已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数．又当x >0时，|x |＝x ，即函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上是增函数．又f (x )为偶函数，所以f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上是减函数．5．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( )答案 A解析方法一若0<a <1，则曲线y ＝a x 下降且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 上升且过(1,0)；若a >1，则曲线y ＝a x 上升且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 下降且过(1,0)．只有选项A 满足条件．方法二注意到y ＝－log a x 的图象关于x 轴对称的图象的表达式为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接选定选项A.6．设函数f (x )＝log 2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值围为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D 解析已知－1<x <0，则0<x ＋1<1，又当－1<x <0时，都有f (x )>0，即0<x ＋1<1时都有f (x )>0，所以0<2a <1，即0<a <12.7．若指数函数f (x )＝a x (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式log a (x －1)<0答案 {x |1<x <2}解析由题可知a ＝1.2，∴log 1.2(x －1)<0， ∴log 1.2(x －1)<log 1.21，解得x <2，又∵x －1>0，即x >1，∴1<x <2. 故原不等式的解集为{x |1<x <2}．8．函数y ＝log a x (1≤x ≤2)的值域为[－1,0]，那么a 的值为________．答案 12解析若a >1，则函数y ＝log a x 在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]；故0<a <1，此时当x ＝2时，y 取最小值－1，即log a 2＝－1，得a －1＝2，所以a ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1log a x ，x ≥1是实数集R 上的减函数，那么实数a 的取值围为__________．答案 ⎣⎡⎭⎫17，13解析函数f (x )为实数集R 上的减函数，一方面，0<a <1且3a －1<0，所以0<a <13，另一方面，由于f (x )在R 上为减函数，因此应有(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即a ≥17.因此满足题意的实数a 的取值围为17≤a <13.10．已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，求函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值和最小值．解 ∵f (x )的定义域为[1,4]， ∴g (x )的定义域为[1,2]．∵g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 2x )2＋(1＋log 2x 2) ＝(log 2x ＋2)2－2，又1≤x ≤2，∴0≤log 2x ≤1. ∴当x ＝1时，g (x )min ＝2；当x ＝2时，g (x )max =7.学习目标1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．自学导引1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数y ＝a x _(a >0且a ≠1)互为反函数．一、对数函数的图象例1 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A.101,53,34,3B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34 D ．53,101,3,34 答案 A解析方法一因为对数的底数越大，函数的图象越远离y 轴的正方向，所以C1，C2，C3，C4的a 值依次由大到小，即C1，C2，C3，C4的a 值依次为101,53,34,3. 方法二过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的横坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小．点评函数y=logax (a>0，且a ≠1)的底数a 的变化对图象位置的影响如下：①上下比较：在直线x=1的右侧，底数大于1时，底数越大，图象越靠近x 轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图象越靠近x 轴．②左右比较：(比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．变式迁移1 借助图象比较m ，n 的大小关系：(1)若logm5>logn5，则m n ；(2)若logm0.5>logn0.5，则m n.答案 (1)< (2)>二、求函数的定义域例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 0.5(4x －3)；(3)y ＝log (x ＋1)(2－x )．分析定义域即使函数解析式有意义的x 的围．解 (1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可， ∴定义域是{x |x >0}．(2)要使函数y ＝log 0.5(4x －3)有意义，必须log 0.5(4x －3)≥0＝log 0.51，∴0<4x －3≤1.解得34<x ≤1. ∴定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34<x ≤1. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x ＋1≠12－x >0，得⎩⎨⎧ x >－1x ≠0，x <2即0<x <2或－1<x <0，所求定义域为(－1,0)∪(0,2)．点评求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．变式迁移2 求y ＝log a (4x －3)(a >0，a ≠1)的定义域．解 log a (4x －3)≥0.(*)当a >1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1，∴4x －3≥1，x ≥1.当0<a <1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1，∴0<4x －3≤1，34<x ≤1. 综上所述，当a >1时，函数定义域为[1，＋∞)，当0<a <1时，函数定义域为⎝⎛⎦⎤34，1.三、对数函数单调性的应用例3 比较大小：(1)log 0.81.5与log 0.82；(2)log 35与log 64.分析从比较底数、真数是否相同入手．解 (1)考查对数函数y ＝log 0.8x 在(0，＋∞)是减函数，∵1.5<2，∴log 0.81.5>log 0.82.(2)log 35和log 64的底数和真数都不相同，找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性，即可求解．∵log 35>log 33＝1＝log 66>log 64，∴log 35>log 64.点评比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；②底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．变式迁移3 比较下列各组中两个值的大小：(1)log 0.52.7，log 0.52.8； (2)log 34，log 65；(3)log a π，log a e (a >0且a ≠1)．解 (1)∵0<0.5<1，∴对数函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数．又∵2.7<2.8，∴log 0.52.7>log 0.52.8.(2)∵y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 34>log 33＝1.∵y ＝log 6x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 65<log 66＝1.∴log 34>log 65.(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数．∵π>e ，∴log a π>log a e.当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数．∵π>e ，∴log a π<log a e.综上可知，当a >1时，log a π>log a e ；当0<a <1时，log a π<log a e.例4 若－1<log a 34<1，求a 的取值围．分析此不等式为对数不等式且底数为参数．解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式求解，同时应注意分类讨论．解－1<log a 34<1⇔log a 1a <log a 34<log a a . 当a >1时，1a <34<a ，∴a >43. 当0<a <1时，1a >34>a ，∴0<a <34. ∴a 的取值围是⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 点评 (1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解，其依据是对数函数的单调性．(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．(3)若含有字母，应考虑分类讨论．变式迁移4 已知log a (2a ＋1)<log a 3a <0，求a 的取值围．解 log a (2a ＋1)<log a 3a <0(*)当a >1时，(*)可化为⎩⎨⎧ 0<2a ＋1<10<3a <12a ＋1<3a，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －12<a <00<a <13a >1，∴此时a 无解．当0<a <1时，(*)可化为⎩⎨⎧ 2a ＋1>13a >12a ＋1>3a ，解得⎩⎨⎧ a >0a >13a <1，∴13<a <1. 综上所述，a 的取值围为⎝⎛⎭⎫13，1.1．求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量，此时底数大于0且不等于1.2．应用对数函数的图象和性质时要注意a >1还是0<a <1。

对数运算及对数函数

例 1、求 log 4 9 log 81 16 的值
练习：练习： 1） log 64 32 2） log 2 9 log 3 2 3） ( log 4 3) ( log 9 25 ) ( log 5 8 )
证明：例 2、证明： log x y log y z log z x = 1 例 3、已知 lg 2 = 0.3010 ， lg 7 = 0.8451 ，求 lg 35
例 5、已知 log 0.7 ( 2m ) < log 0.7 ( m − 1) ，求 m 的取值范围
例 6、解不等式 lg x − 3 x − 4 > lg ( 2 x + 10 )
2
(
)
例 7、求函数 y = log 1 3 + 2 x − x
2
(
2
)
的单调区间和值域
n 推论：推论：1） log am b = log a b m
n
1 2） 2） log a b = log b a
补充：自然对数：补充：自然对数：无理数 e = 2.7182818459045...... 为底的对数，为底的对数，以 e 为底的对数叫做自然对数 log e N 通常记为：通常记为： ln N
y = log2 x ， y = log0.5 x
对数函数图象性质：对数函数图象性质：
a >1
图象 1）定义域：定义域： 2）值域：值域：性质 3）图象过定点 4）单调性：在 ( 0, +∞ ) 上是单调性： 5）非奇非偶函数
0 < a <1
在 ( 0, +∞ ) 上是
求下列函数的定义域：例 2、求下列函数的定义域： 1） y = log a (1 + x) ； 2） y = log a ( x − 1) ；

对数与对数函数知识点及例题讲解

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象x y> Oxy<a <y = l o g x a 111()) x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y y OA BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4），可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是xyxyx yxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0；（2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】（2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。

对数与对数函数

A. ①③
4.若 0<a<1, 则函数 y=loga(x+5)的图象不经过( A ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如果 loga3>logb3>0, 则( B ) A. 0<a<b<1 B. 1<a<b C. 0<b<a<1 D. 1<b<a
6.函数 f(x)=ax+loga(x+1) 在[0, 1]上的最大值与最小值之和为 a, 则 a 的值为( B ) 1 A. 1 B. C. 2 D. 4 2 4
1.化简下列各式: (1) (lg5)2+lg2· lg50; (2) 2(lg 2 )2+lg 2 · lg5+ (lg 2 )2-lg2+1 ; (3) lg5(lg8+lg1000)+(lg2 3 )2+lg 1 +lg0.06. 6 解: (1)原式=(lg5)2+lg2(lg2+2lg5) =(lg5)2+(lg2)2+2lg2lg5 =(lg5+lg2)2 =1. (2)原式=lg 2 (2lg 2 +lg5)+ (lg 2 -1)2 =lg 2 (lg2+lg5)+(1-lg 2 ) =lg 2 +1-lg 2 =1. (3)原式=lg5(3lg2+3)+3lg22-lg6+lg6-2 =3lg5lg2+3lg5+3lg22-2 =3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2 =3(lg2+lg5)-2 =1.
三、对数恒等式
alogaN=N(a>0 且 a1, N>0).

对数的运算性质和换底公式

对数的运算性质和换底公式
引入课题
在前面，我们已经知道对数式logaN＝x是由指数式ax＝N变化得来的，二者的关系如图：指数幂对数真数底数
底数
引入课题
另一方面，我们又学习过指数运算有如下的运算性质：
那么对数运算又有哪些运算性质呢？这就是本节课的学习内容.
探究点1
问题1:
对数的运算性质
换底公式用途和本质: (1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对
数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．
(2)换底公式的本质是化为同底，这是解决对数问题的基本方法．
典例精讲：题型一：对数的运算性质
[解析]
题后反思方法总结：对数运算时公式记忆要准确，特别是要注意： loga(MN)≠logaM· logaN， loga(M±N)≠logaM±logaN.
课堂练习
[解析] (2) log345－log35
课堂练习
2．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为( A．a－2 C．3a－(1＋a)2 答案： A B．5a－2 D．3a－a2－1 )
归纳小结
1.对数的运算法则及换底公式：
(c>0,且c≠1; b>0)
典例精讲：题型二：运用对数的运算性质求值
【例2】计算：
典例精讲：题型二：运用对数的运算性质求值
【例2】计算：
典例精讲：题型二：运用对数的运算性质求值
【例2】计算：
题后反思
方法总结：1.在对数运算中常有以下技巧：
①lg2+lg5=1；
⑤logab·logba
⑥logab·logbc·logca=1
证明： ∵，
由对数定义得到：logaM=m，logaN=n，loga(M· N)=m+n.

3.4.2对数的运算性质及换底公式

3．结合教材P81－82，例4和例5，你认为应怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？提示第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．第二步：利用对数的性质化简、求值．
课前预习
课堂互动Байду номын сангаас
课堂反馈
题型一利用对数的运算性质化简、求值
【例 1】计算下列各式的值． (1)12lg3429－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
知识点二换底公式 logbN＝llooggaaNb (a，b>0，a，b≠1，N>0)．
【预习评价】 1．换底公式中底数a是特定数还是任意数？
提示是大于0，且不等于1的任意数． 2．换底公式有哪些作用？
提示利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于应用对数的运算性质进行化简、求值．
a
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】 1．计算 log2781＝( )
A．43 C．23
B．34 D．32
解析 log2781＝log3334＝llgg 3343＝43．
答案 A
课前预习
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2．计算log42＋log48＝________．解析 log42＋log48＝log416＝2．答案 2
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解 (1)法一原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10 ＝12．

对数的运算与换底公式

跟踪训练 1 用 logax，logay，logaz 表示下列各式： xy x2 y (1)loga z ；(2)loga . 3 z xy 解 (1)loga z ＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz；
x2 y 3 2 (2)loga ＝loga(x y)－loga z 3 z ＝logax ＋loga y－loga
解 (1)由 loga2＝m，得 am＝2，由 loga3＝n，得 an＝3，
所以 am＋n＝am· an＝2× 3＝6.
(2)由 logaM＝m，得 am＝M，由 logaN＝n，得 an＝N.
所以 am· an＝am＋n＝M× N，把指数式化为对数式得：loga(M· N)＝m＋n.
探要点、究所然
∴Mn＝(ap)n＝anp，
∴logaMn＝np，将 logaM＝p 代入，
即证得 logaMn＝nlogaM.
当 n＝0 时，显然成立．∴logaMn＝nlogaM.
小结
上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的
运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式．对数运算性质可以用简易语言表达：“积的对数＝对数的和”，“商的对数＝对数的差”，“正数的 n 次方的对数＝正数的对数的 n 倍”．有时逆用运算性质，如 lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
思考 2
答
怎样用常用对数表示 log35?
设 t＝log35，则 3t＝5.两边取常用对数，得 lg 3t＝lg 5，即 t lg 3＝lg 5， lg 5 lg 5 所以 t＝lg 3，故 log35＝lg 3.
探要点、究所然
探究点二：换底公式
小结
logcN 一般地，logaN＝，其中 a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1.这个公称为对数 logca

对数的运算

对数的运算学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一对数运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．知识点二换底公式1．log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)log a N ＝1log N a (N >0，且N ≠1；a >0，且a ≠1)；(2)log n ma b ＝m nlog a b (a >0，且a ≠1，b >0)；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a >0，b >0，c >0，d >0，且a ≠1，b ≠1，c ≠1)．预习小测自我检验1．计算log 84＋log 82＝________. 答案 12．计算log 510－log 52________. 答案 13．(1)lg 10＝________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea ＝________.答案 (1)12 (2)0.84.log 29log 23＝________. 答案 2一、对数运算性质的应用例1 计算下列各式： (1)log 53625；(2)log 2(32×42)； (3)log 535－2log 573＋log 57－log 595.解 (1)原式＝13log 5625＝13log 554＝43.(2)原式＝log 232＋log 242＝5＋4＝9.(3)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2. 反思感悟对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．跟踪训练1 计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9－35lg 27lg 81－lg 27.解 (1)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 5－lg 2＋2lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1.(2)原式＝lg 3＋45lg 3－910lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45－910lg 3(4－3)lg 3＝910. 二、对数换底公式的应用例2 (1)计算：(log 43＋log 83)log 32＝________. 答案 56解析原式＝⎝⎛⎭⎫1log 34＋1log 38log 32 ＝⎝⎛⎭⎫12log 32＋13log 32log 32 ＝12＋13＝56. (2)已知log 189＝a ,18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示) 解因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(2×18)＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .延伸探究若本例(2)条件不变，求log 915.(用a ，b 表示) 解因为18b ＝5，所以log 185＝b . 所以log 915＝log 1815log 189＝log 18(3×5)log 189＝log 183＋log 185a ＝log 189＋ba＝1218log 9b a+＝12log 189＋b a＝12a ＋b a ＝a ＋2b 2a.反思感悟利用换底公式化简与求值的思路跟踪训练2 (1)log 89log 23的值是( )A.23B.32 C ．1 D ．2 答案 A解析方法一将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即log 89log 23＝lg 9lg 8lg 3lg 2＝2lg 33lg 2·lg 2lg 3＝23. 方法二将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，即log 89log 23＝log 29log 28log 23＝2log 233log 23＝23. (2)计算：log 52·log 79log 513·log 734.解原式＝log 52log513·log 79log 734212211233log 9log 23log 3==⋅＝－12·log 32·3log 23＝－32.三、对数的综合应用例32018年我国国民生产总值为a 亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍？(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)解设经过x 年后国民生产总值为2018年的2倍．经过1年，国民生产总值为a (1＋8%)，经过2年，国民生产总值为a (1＋8%)2， …，经过x 年，国民生产总值为a (1＋8%)x ＝2a ，所以1.08x ＝2，所以x ＝log 1.082＝lg 2lg 1.08＝0.301 00.033 4≈9，故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍．反思感悟解决对数应用题的一般步骤跟踪训练3 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)满足e v ＝⎝⎛⎭⎫1＋Mm 2 000(e 为自然对数的底数，ln 3≈1.099)．当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．解因为v ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm 2 000 ＝2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ，所以v ＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．故当燃料质量M 为火箭质量m 的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.1．计算：log 123＋log 124等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A2．若lg 2＝m ，则lg 5等于( ) A ．m B.1m C ．1－m D.10m答案 C 解析 lg 5＝lg102＝lg 10－lg 2＝1－m . 3．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3 D.12答案 C解析原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 4．下列各等式正确的为( ) A ．log 23·log 25＝log 2(3×5) B ．lg 3＋lg 4＝lg(3＋4) C ．log 2xy＝log 2x －log 2yD ．lg nm ＝1n lg m (m >0，n >1，n ∈N *)答案 D解析 A ，B 显然错误，C 中，当x ，y 均为负数时，等式右边无意义． 5．计算：log 513·log 36·log 6125＝________.答案 2解析原式＝lg 13lg 5·lg 6lg 3·lg 125lg 6＝－lg 3lg 5·lg 6lg 3·－2lg 5lg 6＝2.1．知识清单： (1)对数的运算性质． (2)换底公式． (3)对数的实际应用． 2．方法归纳：(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度．(2)利用结论log a b ·log b a ＝1，log n ma b ＝m n log a b 化简求值更方便．3．常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆．1．lg 8＋3lg 5的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案 D解析 lg 8＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5＝3(lg 2＋lg 5)＝3. 2．如果lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，那么( ) A ．x ＝ab 3c 5B ．x ＝3ab5cC ．x ＝a ＋3b －5cD ．x ＝a ＋b 3－c 3答案 A 解析lg a ＋3lg b －5lg c ＝lg a ＋lg b 3－lg c 5＝lgab 3c 5，由lg x ＝lg ab 3c 5，可得x ＝ab 3c5.3．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2 D ．－a 2＋3a －1答案 A解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 4．计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 D解析原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6. 5．若lg x －lg y ＝t ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y23等于( )A ．3t B.32t C ．t D.t2答案 A解析 lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝3lg x 2－3lg y 2 ＝3lg xy＝3(lg x －lg y )＝3t .6．lg 5＋lg 20的值是________．答案 1解析 lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. 7．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________. 利用lg 2＋lg 5＝1化简求解对数值答案 1解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10) ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1.8．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy ＝________.答案 4解析因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，xy ＝(x －2y )2.由xy ＝(x －2y )2，知x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0且x －2y >0，所以舍去x ＝y ，故x ＝4y ，则x y ＝4.9．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg(xyz )；(2)lg xy 2z；(3)lg xy 3z；(4)lg x y 2z .解 (1)lg(xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z .(2)lg xy 2z ＝lg(xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z .(3)lg xy 3z ＝lg(xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z .(4)lgxy 2z ＝lgx －lg(y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z .10．计算下列各式的值：(1)log 535＋212log log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)．解 (1)原式＝log 535＋log 550－log 514＋21212log 2＝log 535×5014＋12log 2＝log 553－1＝2.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2×32)]÷log 64＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62·(log 62＋log 632)÷log 622 ＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1. (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92) ＝⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9 ＝⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝5lg 36lg 2×3lg 22lg 3＝54.11．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是( ) A ．－2 B ．－2或5 C ．5 D ．3答案 C解析原方程可化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，所以x 2－10＝3x ，解得x ＝－2，或x ＝5.经检验知x ＝5.12．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23等于( ) A ．3a B.32a C ．a D.a2答案 A解析由对数的运算性质知，原式＝3(lg x －lg 2)－3(lg y －lg 2)＝3(lg x －lg y )＝3a . 13．若3x ＝4y ＝36，则2x ＋1y ＝________.答案 1解析 3x ＝4y ＝36，两边取以6为底的对数，得 x log 63＝y log 64＝2，∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1y ＝log 62，故2x ＋1y＝log 63＋log 62＝1. 14．若x log 32＝1，则4x ＋4－x ＝________. 答案829解析因为x ＝1log 32＝log 23，所以4x＋4－x ＝22x ＋2－2x ＝22log 32＋22log 32－＝22log 32＋22log 32－＝9＋19＝829.15．若ab >0，给出下列四个等式： ①lg(ab )＝lg a ＋lg b ； ②lg ab ＝lg a －lg b ；③12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝lg a b ； ④lg(ab )＝1log ab 10.其中一定成立的等式的序号是( )A ．①②③④B ．①②C ．③④D ．③答案 D 解析 ∵ab >0，∴a >0，b >0或a <0，b <0， ∴①②中的等式不一定成立；∵ab >0，∴a b >0，12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝12×2lg a b ＝lg a b， ∴③中等式成立；当ab ＝1时，lg(ab )＝0，但log ab 10无意义， ∴④中等式不成立．故选D.16．已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.解 ∵log 23＝a ，则1a＝log 32，又∵log 37＝b ， ∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1.。