算法分析与设计报告

中国地质大学研究生课程论文封面

课程名称算法分析与设计

教师姓名

研究生姓名

研究生学号

研究生专业计算机技术

所在院系计算机学院

类别: B.硕士

日期: 2014 年 1 月8 日

评语

注：1、无评阅人签名成绩无效；

2、必须用钢笔或圆珠笔批阅，用铅笔阅卷无效；

3、如有平时成绩，必须在上面评分表中标出，并计算入总成绩。

第一章算法导引

1.1算法

算法：用计算机求解问题的步骤、规则

内存空间——>初始状态—————>终止状态

有限状态机

算法的五个特性：

输出：一个算法产生一个或多个输出

从内存——>认识状态

输入：一个算法有0个输入或多个输入

input a，b

无二义性：算法的每一种运算必须要有确切的定义，即每一种运算应该执行何种动作必须是相当清楚的、无二义性的（人和计算机、智能、确定的、机器；人机象棋：搜索）。

能行性：

（1）人能做，机器没法做：能够形式化，没有办法写出算法

（2）股票预测、彩票：模型

有限性：可计算问题、有限的、可忍耐

算法设计：自动化、自动程序设计、公式发现、公式挖掘、知识发现

算法验证：设计—表示（语言）—确认—分析—测试程序

1.2算法分析

数学模型：

1.串行算法，冯诺依曼机

2.均匀存贮，存贮空间足够大

3.基本运算时间确定

基本概念：

1.问题规模：与参数有关

2.频率计数

不分析算法具体执行时间，分析问题复杂性：问题规模增大时的规律

根据复杂性，将算法分为两类：

1.多项式时间算法P：C，㏒n，n，n㏒n，n2（理论上可行，实际上也可行）

2.指数时间算法NP：2n，n！，n n（理论上可行，实际上不可行）

O(l)

O(2n)< O(n!)< O(n n)

解决方法：降低算法设计复杂度

分析算法时间与问题规模：

确定f(n)=O(g(n))上界和f(n)=Ω(g(n))下界

1.3小结

老师首先带领我们回顾了本科阶段的算法基础相关知识，对于没有系统学习过算法知识的我来说，更是一种知识入门，使我对这门课程有一些初步的了解。然后在对算法进行分析时，不分析算法具体的执行时间，而是分析问题的复杂性（问题规模增大时的规律）。根据算法的特点可以将要求解的问题分为两类：离散型和连续型。离散型问题需要讨论问题的规

模，如果是多项式时间复杂度则称为P 问题；如果是指数时间复杂度则称为NP 问题。对于连续型问题，需要讨论算法的收敛性。

第二章 分治法

2.1一般方法

在求解问题时，为了将问题简化，将实际问题转变为数学问题，将数学问题转变为代数问题，将代数问题转变为解方程问题，将解方程问题转变为解线性方程组问题。

求解问题的技术：

1.化难为易的校正技术：例如求f(x)=a-x 2=0；

2.化粗为精的松弛技术：直接法，间接法，例如求圆的面积（割圆法）

3.化大为小的缩减技术：f(n)=n*f(n-1)，f(1)=1问题性质不变

分治法的思想：将整个问题分为若干个小问题分而治之，问题的性质不变。它的求解可用一个递归过程来表示。 2.2二分检索

已知一个按非降次序排列的元素表a 1,a 2,…,a n ，要求判定某给定元素x 是否在该表中出现。问题规模O(㏒n) 2.3归并分类（排序）

Procedure mergesort(low,high) if low

then mid |(low+high)/2」 call mergesort(low,mid) call mergesort(mid+1,high) call mergesort(low,mid,high) end if

问题规模O(n ㏒n) 2.4快速分类

反复对产生的文件进行划分 2.5斯特拉森矩阵乘法

***m l l n m n A B C 问题规模O(n 3)

2.6小结

分治法是一种用空间换时间的技术，通过将大规模的问题划分为小规模问题进行求解来降低求解难度，采用分治技术，问题首先必须能够分解，而且分解后，问题的性质并没有发生变化。采用分治技术的目的只是并行算法设计，降低算法时间复杂度。在本章老师主要讲解了分治法的基本递归求解，二分检索、归并分类、快速分类、斯特拉森矩阵乘法以及它们的时间复杂度的求解。

第三章 贪心法

3.1一般方法

概念：有n 个输入，问题的解是这n 个输入的一个子集，子集满足一组条件（约束条件），子集可能有很多，满足条件的子集叫做可行解，根据问题，人们设计一个函数，通过函数极值的计算，找到一个最优的可行解，叫做最优解。

离散优化问题

连续函数优化问题的分类：

1.函数优化问题：f(x)：高维、非线性、不连续、没有明确的解析式；这类问题的求解方法有：解方程法、迭代法（最速下降法、共轭方向法、牛顿迭代法等）、随机优化（演化计算）等。

2.模型参数优化：此类问题的求解方法一般是：根据所给问题或者曲线，然后预测方程，对预测方程中的参数进行优化求解。

3.模型发现问题：自动程序设计，一般是输入散点，要求给出拟合曲线。解决方法有基因表达式程序设计等。

优化问题分类：

1.有约束优化与无约束优化

2.线性优化与非线性优化

3.静态优化与动态优化（实时性）

4.确定性优化与随机优化

5.单目标优化与多目标优化（矛盾或不协调的）

贪心算法是一种分级处理方法，它根据问题性质找到一种度量标准 3.2背包问题

部分背包问题的数学模型为：假设背包容量为m ，有n 件物品，每种物品i 的重量为w i ，其效益值为p i ，问如何装包，在背包的容量范围内装出的值最多。

1

max n

i i i x p =∑

1

n

i i

i x w M =≤∑

x i ∈{0,1} 0/1背包问题 x i ∈[0,1] 部分背包问题 老师以书上的题目为例，根据按效益值由大到小的装、按质量由小到大的装和按单位质量效益值由大到小的装（p i /w i ）三种方法来寻找最优解。经过计算可知按单位质量效益值由大到小的装包获得的结果最好。 3.3最小生成树问题

设G=(V,E)是一个无向连通图，如果G 的生成子图T=(V,E ’)是一棵树，则称T 是G 的一棵生成树。根据边成本由小到大排序，找到最优的生成树。 3.4小结

贪心算法适用于求解从给定的n 个输入中找到一个满足约束条件的子集的问题。满足约束条件的子集称为可行解，满足目标函数的可行解称为最优解。用贪心算法求解问题的关键在于找出求解问题的量度标准。本章老师主要讲了贪心算法的适用领域，详细讲解了背包问题及最小生成树的算法及其时间复杂度的求解。为了便于学生理解，老师联系自己曾经做过的毕业设计的凸多边形问题，讲述了是如何对问题进行分析和寻找解决方案的，而且讲解了为何贪心算法无法用于求解凸多边形问题，使同学们更好的领悟和体会贪心法的应用范围。

第四章 动态规划