概率统计复习题(补充题)

概率统计复习题(补充题)

第一章

1、已知事件 A B C 、、 相互独立，证明：A B ? 与 C 相互独立.

2、设0()1P B <

<.若(|)(|)P A B P A B =，证明：A 与B 相互独立.

3、假设每个人在一周七天中每天等可能出生, 现对一个三人学习小组考虑生日问题: (1) 求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率； (2) 求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率； (3) 求三个人的生日不都在星期天的概率.

解:(1) 0525.0343

1837671711==???=p . (2) 9446.034332437676717676762==???+??=

p . (3)9971.0343

342

71717113==

??-=p . 4、设事件A 与B 相互独立，试证：

（1）A 和B 相互独立；（2）A 与B 相互独立。 5、设

,A B 是任意二事件，其中0()1P B <<，证明：(|)(|)P A B P A B =是A 与B 独立的充分必

要条件.

第二章

1、设随机变量X 的概率密度函数为

?

?

?<<+=其他，,0,

10,)1()(x x k x f k 已知对X 独立重复观测3次，

事件

}21{≤=X A 至少发生一次的概率为

64

37

,求常数k ； 解： 设对X 作三次独立观测，事件

A 发生了Y 次，则Y 服从),

3(p b ，其中

1

21

02

1

)1(}21{+=+=≤=?k k dx x k X P p

由题设64

37

)1(1}0{1}1{3=

--==-=≥p Y P Y P 由此解得4

1

=

p ，故有12141+=k ，即1=k .

2、设

2(,)X

N μσ，证明X Y μ

σ

-=服从标准正态分布(0,1)N .

3、设随机变量 X 服从标准正态分布 (0,1)N ，求 X Y

e = 的概率密度.

4、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，即其概率密度函数为：

??

?≤>=-00

03)(3x x e x f x

X ?

????≤>='=-0

0223)())(()(2

/3

y y e y y h y h f y f y X Y

试求 22X Y

= 的概率密度函数. 5、设随机变量

X

的概率密度为

2,01

()0,x x f x <

，

其他 令Y 表示对X 的3次独立重复观测中事件

1

{}2

X ≤发生的次数，求{}2=Y P 。

解：1/201

{}20.252

P X xdx ≤==?.Y

服从二项分布，参数为3,0.25n p ==

故，{}2239

2(0.25))(0.75)64

P

Y C ===

. 第三章

1.设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数

??

?<<<=他其,

01

0,6),(y x x y x f ， 求 （1）

,X Y 的边缘密度函数； （2）(1)P X Y +≤.

解：(1) 当01x <

<时，1

()66(1)X x f x xdy x x ==-?，故

6(1),

01()0,

X x x x f x -<

?其他

当01y <

<时，20

()63y Y f y xdx y ==?， 故

23,

01()0,Y y y f y ?<<=?

?其他

(2) 1/2

11/2

1(1)66(12)4

x

x

P X

Y xdx dy x x dx -+≤==-=

?

?

?

. 2.已知随机变量Y X ,的分布律为

且1)0(==XY

P . 求Y X ,的联合分布律.

解： 由 1)0(==XY

P 知， 0)1,1()1,1(=====-=Y X P Y X P 。

又1(1)(1,1)(0,1)(1,1),2

P Y

P X Y P X Y P X Y ===-=+==+===

所以1

(0,1).2

P X

Y ===

由1(1)(1,0)(1,1),4P X P X Y P X Y =-==-=+=-==得1

(0,1).4

P Y X ==-=

由1(1)(1,0)(1,1),2P X P X Y P X Y ====+===得1

(1,0)2

P X Y ===。

所以

Y X ,的联合分布律

3、设随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为

21

,01,02

(,)3

0,x xy x y f x y ?+≤≤≤≤?=???

，其他试求: (1)X 的边缘密度函数；(2))2(X Y P ≤.

解：(1)X 的边缘密度函数为：

2

22,01

().30,X x x x f x ?+≤≤?=???

其他

(2).3

2

38)31()2(10310

20

2==+=≤??

?

dx x dydx xy x X Y

P x

4、设

X 与Y 相互独立，其概率密度分别为

1,01

()0,X x f x ≤≤?=??，其他,0().0,y Y e y f y -?>=??其他

求（1）

Y X ,的联合概率密度；

（2）随机变量Z X Y =+的概率密度. 解：（1）由独立性知，联合概率密度为

??

?>≤≤==-.0

,

0,10,)()(),(其他y x e y f x f y x f y Y X

（2）利用卷积公式，Z

X Y =+的概率密度为：()()().Z X Y f z f x f z x dx +∞

-∞

=-?

当01z ≤<时，0

()()()()()z

Z X Y X Y f z f x f z x dx f x f z x dx +∞

-∞=-=-??

()0

1.z

z x z e dx e ---==-?

当1z

≥时，10

()()()()()Z X Y X Y f z f x f z x dx f x f z x dx +∞

-∞

=-=-?

?

1()

(1).z x z e

dx e e ---==-?

当0z

<时，()()()0.Z X Y f z f x f z x dx +∞

-∞

=-=?

从而Z X Y =+的概率密度为：

1,01()(1),1.0,z z Z e z f z e e z --?-≤

=-≥???

其他

5、设随机变量(,)X Y 的联合概率密度

?

?

?<<<<=其他 ,0x

y 1,0x 0 , 8),(xy y x f ，试求 ： （1）

X Y 和的边缘概率密度函数； （2）概率()2

X

P Y

>

的值。 解：（1）X 的边缘概率密度函数为

308 , 014 , 01

()(,)0 , 0 , x

X xydy x x x f x f x y dy +∞

-∞

??<<<

?????

其他其他

Y

的边缘概率密度函数为

128 , 014(1) , 0y 1

()(,)0 , 0 , y Y xydx y y y f y f x y dx +∞

-∞

?<

===???????

其他其他

（2）2

()(,)2

x y X

P Y f x y dxdy >>

=??10

/2

80.75x

x dx xydy ==??.

6、设随机变量X 与Y 相互独立，X 与Y 的概率密度分别为

,0,

0(),(),0,00,

x x X Y e x e y f x f y x y αβαβ--??>>==??

≤≤??其中0,0αβ>>且αβ

≠，试求

ma x {,}M X Y =的概率密度。

解 ,X Y 的分布函数分别为1,01,

0(),(),0,00,

x y X Y e x e y F x F y x y αα--??->->==??

≤≤??

所以M 的分布函数为(1)(1),0

()()()0,0m m M X Y e e m F m F m F m m αα--?-->==?≤?

，

从而M 的概率密度为

()(),0

()0,0m m m M e e m f m m αβαβαβαβ---+?+-+>=?

≤?

. 7、 设二维随机变量()Y X ,的概率密度为

??

???<<<<--=其它04

2,20),6(81

),(y x y x y x f ，

求}4{≤+Y X

P .

解：在

0),(≠y x f 的区域42,20:≤≤≤≤y x R 上作直线4=+y x ，并记

x y x G -≤≤≤≤42,20:，则

}4{≤+Y X P =}),{(G Y X P ∈=4

42

2

1

(,)(6)8

y

G

f x y dxdy dy x y dx -=--????

=

422

24411112[(6)][(4)(4)3]0282863

y y x x y y ---=----=?.

第四章

1、设 X 的概率密度

01,()0.x f x <<=??

，其它 求：(1) (0.25)P X

>；(2) )(X E ；(3) )(X D .

2、设随机变量

X 和Y 独立同分布，X

的概率密度为

?????<<=.,

0,20,83)(2

其他x x x f

（1）已知事件}{a X A >=和}{a Y B >=独立，且4

3

)(=

?B A P ，求常数a ; （2）求

2

1X 的数学期望。

解：(1) 由条件知 )()()();

()(B P A P AB P B P A P ==

4

3)]([)(2)()()()(2=-=-+=?A P A P AB P B P A P B A P

.21)(=

∴

A P 2

1)8(8183)(}{322=-==

=>??

+∞

a dx x dx x f a X P a a

，得3

4=a 。 (2)43183)(1)1(

2

2022

2

=?==??+∞∞-dx x x dx x f x X E . 3、设二维随机变量()Y X ,是区域D 内的均匀分布，1:22≤+y x D ．试写出联合概率密度函数，并确定

Y X ,是否独立？是否相关？

解：

()Y X ,的联合概率密度

???

??≤+=，其它

，0

1 1

),(22y x y x f π

，

()Y X ,关于X 的边缘概率密度为

()()11,12

1

,2112

2

≤≤--=

==?

?---∞

+∞-x x dy dy y x f x f x x X π

π

即

??

???≤≤-=，其它

，011- 12

)(2

x x x f X π

，同理

??

???≤≤-=，其它

，011- 12

)(2

y y y f Y π

，

因为

()()(),X Y f x f y f x y ≠， 所以,X Y 不独立．

又因为()0,1

1

112

2

===??

?

?

----∞

∞-∞

∞

-dy x

dx dxdy y x xf EX

x x π

，

同理 0=EY

，()0,)(1

1

112

2

===??

?

?

----∞

∞-∞

∞

-dy xy

dx dxdy y x xyf XY E x x π

，

所以，0))(()(),cov(=-=EY EX XY E Y X .

4、从学校乘汽车到火车站的途中有4个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是

2

5

，设X 为途中遇到红灯的次数，求(1)X 的分布律；(2) ()2

X E

。

5、已知随机变量

X 和Y 的方差为()1=X D

，()4=Y D ，()1,=Y X Cov ，记Y X U 2-=，

Y X V -=2，试求：（1）()

U D 、()V D

；（2）相关系数UV ρ。

解：（1）()()()()()13,442=-+=-=Y X Cov Y D X D Y X D U

D

()()()()()4,442=-+=-=Y X Cov Y D X D Y X D V D

()()()()()5

4215122,522,2,=?+?-?=+-=--=Y D Y X Cov X D Y X Y X Cov V U Cov （2） ()()()

13

25,=

=

V D U D V U Cov UV

ρ.

6、设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为

20112,

(,)0,

y x y f x y ≤≤≤?=?

?其他

,

求（1）(),(),()E X E Y E XY ；（2）(),()D X D Y ；（3）XY ρ相关系数.

解：（1）201

4()125y x E X x y dxdy ≤≤≤=

?=

??

,2

01

3()125y x E Y y y dxdy ≤≤≤=?=?? 201

1

()122

y x E XY xy y dxdy ≤≤≤=

?=

??

（2）2

2201

2()123y x E X

x y dxdy ≤≤≤=

?=

??

,22201

2()125y x E Y y y dxdy ≤≤≤=?=?? 222()

()[()]75D X E X E X =-=

,221()()[()]25

D Y

E Y E Y =-= （3）

4XY

ρ=

==. 7、设随机变量

1X ，2X 的概率密度分别为

10,

()0

0,

x x e f x x ->?=?

≤?，

4204,()0

0,

x x e f x x ->?=?

≤?,

（1）求2

12(2)E X X +；

（2）设1X ，2X 相互独立，求12()E X X . 8、已知随机变量

X

的概率密度为

?????<≥=-0

00

31)(31

x x e x f x X ，，， 随机变量Y

的概率密度

??

?<≥=-0

00

6)(6y y e x f y Y ，，，且Y X ,相互独立．试求 （1）

Y X ,的联合密度函数()y x f ,；（2）()Y X P ≤；

（３）数学期望Ｅ（X Y

）.

解：（1） 因为

Y X ,相互独立，故

()()()??

???≥≥==--其它,00

,0,2,631

y x e e y f x f y x f y x Y X

（2）()????∞

+-∞

+-∞

+--∞

+==≤x

u

x x y

x du e dx e

y

u dy

e

e

dx Y X P

60

3

163

1

6

1262 19

131310319

0631

==?=??∞+-∞+--dx e dx e e x x x ． （3）()(,)E XY xyf x y dxdy =

??1

63

11

218

362

x y x e

dx ye dy -+∞

+∞

-===?

?

9、甲乙两队比赛，若有一队先胜三场，则比赛结束．假定在每场比赛中甲队获胜的概率为0.6，乙队为0.4，求比赛场数的数学期望．

解：设X 表示比赛结束时的比赛场数，则X 的可能取值为3，4，5．

其分布律为

()()()33

30.60.40.28P X ==+=；

()()()2

2

223340.60.40.60.40.60.40.3744P X C C ==??+??=；

()()()()()2

2

2

2

2

24450.60.40.60.60.40.40.3456P X C C ==??+??=；

故，()30.2840.374450.3456 4.0656E

X =?+?+?=．

第五到七章

1.设总体X 的概率密度为

36(),0(),0,x

x x f x θθθ?-<

其他 12,,

,n X X X 是取自总体X

的简单随机样本；

(1)求θ的矩估计量?θ

； (2)求?θ的方差?()D θ. 解：（1）先求X 的数学期望2)(6)()

(0

3

2

θ

θθθ

=

-==?

?∞+∞

-dx x x dx x xf X E

记∑==n

i i

X n X 1

1，令

X =2

θ，得θ矩估计量为X

2?=θ

（2）因为

206)(6)()(2

3

3

2

2

θθθ

θ

=-==?

?∞

+∞-dx x x dx x f x X E

20)]([)()(2

2

2

θ=

-=X E X E X D

所以X

2?=θ

的方差为

n

X D n X D X D D 5)(4)(4)2()?(2

θθ

====

2、设

12,,

,n X X X 是来自参数为 λ 的泊松分布总体的一个样本, 试求 λ 的极大似然估计量和

矩估计量.

解：(1) 设

12,,,n x x x 是样本 12,,,n X X X 的一个样本观察值, 依题意可知, 总体

~()X P λ, 其分布律为 (),0,1,2,

.!

k

P X k e k k λλ-==

=

则似然函数为 1

1

1

()

,!

!

n

i

i

i x x

n

n n

i i i

i L e

e x x λ

λλλ

λ=--==∑==

∏

∏

对数似然函数为 1

1

ln ()ln ln ,n n

i

i

i i L x n x λλ

λ===--∑∑

似然方程为

1ln ()0,n

i i x

d L n d λλλ

==-=∑ 解得 1

1?n

i

i X X n λ===∑ 为 λ 的极大似然估计量.

(2)

因为总体

~()X P λ, 则 (),E X λ= 故 ?λ

=X 为 λ 的矩估计量.

3、设总体

X

的概率密度为

(1),01,

(;)0,x x f x θθθ?+<<=?

?

其他. 其中 1θ>－ 是未知参数, 12,,,n X X X 是来自总体 X

的一个容量为 n 的简单随机样本，求 (1) θ 的矩估计量

?θ；(2) θ 的极大似然估计量 ?θ.

解：(1) 1

12100

11

()

()(1)|.22

E X xf x dx x dx x θαθθθθθ+∞

++-∞

++==+=

=++?

? 令

1,2X θθ+=+ 则 θ 的矩估计量为 21?.1X X

θ

-=- (2) 设 12,

,

,n x x x 是样本 12,,

,n X X X 的一个样本观察值,

则样本 12(,,,)n X X X 的似然函数为

1

1

()(1)(1)().n

n

n

i i i i L x x θ

θθθθ===+=+∏∏

对数似然函数为 1

ln ()

(1)(ln ).n

i i L nLn x θθθ==++∑

求导得似然方程为：1

ln ()ln 0,1n

i i d L n

x d θθθ==+=+∑

解得 1?1,(ln )

n

i i n x θ

==--

∑ 故 θ

的最大似然估计量为 1?1.(ln )

n

i i n X θ

==--

∑

4、设总体

X

的概率密度为

?

?

?<≥=+-,20,2,2),()1(x x x x f θθθθ其中

θ

是未知参数，

1,θ>x

-∞<<∞

.n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，求(1)θ的矩估

计量?θ

；(2)θ的极大似然估计量?θ. 解：(1) ?

?

+∞+∞-+--=

==2

2

)

1(,1

22

2)

(θθ

θθθθ

θθdx x dx x

x X E 令,12X =-θθ则2

-=∧X X

θ为θ的矩估计量.

(2)似然函数为： )1(1

)

1(1

2

2)

(+-=+-=∏∏==θθ

θθ

θθθi

n

i n n i

n

i x

x

L ,

对数似然为：∑=+-+=n

i i x n n L 1

.ln )1(2ln ln )

(ln θθθθ

似然方程为：,0ln 2ln )(ln 1

=-+=∑=n

i i x n n

d L d θθθ

解得2

ln 1

n x

n

n

i i

-=

∑=∧

θ

为θ的极大似然估计.

5、设总体X 服从正态分布2

(,)N μσ，μ

和2

σ均未知参数， n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个

容量为n 的简单随机样本，试求μ和2

σ的极大似然估计量. 6、设总体X 的概率密度为

22

(),0(;),0,x x f x αα

αα?-<

其他

假设

n X X X ,,,21 是来自总体X

的一个容量为n 的简单随机样本，求α的矩估计量?α

. 解:2

2()().3

x

EX xf x dx x dx α

α

αα

+∞

-∞

==-=??

令

,3

X α

= 则α的矩估计量为?3.X α

= 7、12,X X 为来自总体X 的样本，证明当1a

b += 时， 12aX bX +为总体均值()E X 的无偏估计.

证明：设总体均值()E X = μ，由于12,X X 为来自总体X 的样本，

因此 ()()12E

X E X μ==.而1a b +=，故有

()()()()1212E aX bX aE X bE X a b μμ+=+=+=.

8、已知总体X 服从),1(p b (二点分布)，n X X X ,,,21 为总体X

的样本，试求未知参数

p 的最大

似然估计。

9、设总体X 服从正态分布),0(2

σN ，其中2σ是未知参数，12,,

,n X X X 是来自总体X

的一个简

单随机样本，12,,

,n x x x 是相应的一个样本值，试求2σ的极大似然估计量。

10、设总体

X

的概率密度为

(1),01(),

0,

x x f x θθ?+<<=??其它其中

1θ>-是未知参数，

12,,,n X X X 是来自总体X

的一个简单随机样本，求θ的极大似然估计量。

解 样本

12,,

,n X X X 的似然函数为1

1

()(1)(1)()n n

n

i i i i L x x θ

θθθθ===+=+∏∏

对数似然函数为：1

ln ()

ln(1)ln n

i i L n x θθθ==++∑

求导得似然方程为1

ln ()ln 01n

i i d L n

x d θθθ==+=+∑

解得1

?1ln n

i

i n

x

θ

==--

∑ ， 故θ的极大似然估计量为：1

?1ln n

i

i n

X

θ

==--

∑.

11、设12,,

,n X X X 是来自总体）

，（2σμN 的一个样本，且 ∑==n i i X n X 11,21

2

)(11∑=--=n i i X X n S ,试求）（X E 、）（X D 、）（2S E . 12、设总体X 的概率密度为

1,0

(),0,x x f x ββ-?>=??

其它其中0β>是未知参数，12,,

,n X X X 是来

自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，求β的极大似然估计量.

13、设总体 X 的概率密度为

?

?

?≤>=+-c x c

x x c x f X ，，0 )()1(θθθ，其中 0>c 为已知，1>θ，θ为未

知参数. X 1 , X 2 , … , X n 是来自总体 X 的样本，求θ的矩估计量.

解：1(1)

1

()()=11

c

c

c x c E X xf x dx x c x

dx c

x dx c θθθθθ

θ

θθ

μθθθθ-++∞

+∞

+∞

-+--∞

+∞=====

-+-?

?

?

由此得，c

-=

11μμθ. 在上式中以X 代替1μ，得到θ的矩估计量为：c

X X

-=

θ

?.