第五章 数值微积分

第五章 数值微积分
一、内容分析与教学建议
本章内容是数值微积分。

数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson 外推法求数值微分。

数值积分包括：常见的Newton-Cotes 求积公式，如：梯形公式、Simpson 公式和Cotes 公式；复化求积公式；Romberg 求积公式和Gauss 型求积公式等内容。

（一） 数值微分
1、利用Taylor 展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor 公式的余项估计误差；由于当步长h 很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。

2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。

借助第二章的Lagrange 插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。

常用的有三点公式和五点公式。

3、阐明用三次样条函数()s x 求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数()s x 的性质知：只要()f x 的4阶导数连续，则当步长0h →时，()s x 收敛到()f x ，()s x '收敛到()f x '，
()s x ''收敛到()f x ''. 因此，用三次样条函数()s x 求数值微分，效果是很好的。

指出其缺点
是：需要解方程组，当h 很小时，计算量较大。

4、讲解用Richardson 外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。

（二） 数值积分的一般概念
1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。

2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。

3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。

（三）等距节点的求积公式
1、简单介绍一般的等距节点的插值型求积公式——Newton-Cotes公式以及Cotes系数。

2、重点介绍几种常用的Newton-Cotes公式：梯形公式、Simpson公式和Cotes公式。

要求学生掌握上述三种求积公式的表达式，并了解三种求积公式各自的余项。

3、以Simpson公式为例，求出它的代数精度是3；并要求学生课后自己求出梯形公式和Cotes公式的代数精度。

（四）复化求积公式
1、结合分段插值的思想阐明复化求积公式的思想。

2、重点介绍复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式以及它们各自的余项，并举一、两个例子加以说明。

3、简介事后估计和自适应Simpson方法。

（五）Romberg求积法
1、Romberg求积法是一种逐步分半加速法，它是以复化梯形公式为基础构造高精度求积公式的方法，是一种快速、有效的求积法。

2、阐明Romberg公式的建立过程：利用事后估计的思想，从复化梯形公式建立一整套递推算法，进而得到Romberg公式，整个过程实际上是一个加速的过程。

3、可通过例子验证Romberg求积法的加速效果。

（六）Gauss型求积公式
1、Gauss型求积公式也是一种高精度的插值型求积公式，但它的节点不是等距的，因而Gauss型求积公式不属于Newton-Cotes公式的范畴。

2、阐明Gauss型求积公式的代数精度是插值型求积公式的最大值，介绍Gauss点的概念，并说明Gauss点实际上是某个正交多项式的零点。

3、讲清楚Gauss型求积公式的求积系数的特殊构造，并由此证明Gauss型求积公式是稳定的，以及Gauss型求积公式的收敛性。

4、介绍几种Gauss型求积公式：古典Gauss公式、Gauss-Tchebyshev公式、Gauss-Laguerre 公式和Gauss-Hermite公式。

让学生了解上述四中Gauss型求积公式的表达式、表达式中的权函数、定积分的上、下限以及求积系数，并通过2—3个例子具体阐述上述Gauss型求积
公式是如何求数值积分的，并和以前的方法比较它们的精度。

本章结束时，建议安排一次上机实习，让学生自己动手，根据书中的算法，编程计算各种数值积分的例子，加深和巩固学生对本章内容和方法的了解和掌握。

二、补充例题
例1 用三点公式求2
1()(1)
f x x =+在 1.0, 1.1, 1.2x =处的导数值，并估计误差，()
f x 的函数值由下表给出：
1.0 1.1 1.2()
0.250000
0.226757
0.206612
i i x f x .
解 三点求导公式为
2
001202
10212
201221()[3()4()()](),
23
1()[()()](),
26
1()[()4()3()]();
23
h
f x f x f x f x f h h
f x f x f x f h h
f x f x f x f x f h
ξξξ⎧''''=-+-+⎪⎪⎪'''=-+-
⎨⎪⎪''''=
-++
⎪⎩
取上表中0121.0, 1.1, 1.2x x x ===，再分别将有关数值代入上式，即可得导数的近似值。

因为5
5
1.0 1.2
1.0 1.2
4!4!()m ax ()m ax 0.75(1)
2
i x x f f x x ξ≤≤≤≤''''''≤=-
=
=+，所以可得误差估计及导数值如下
表：
() 1.0 1.1 1.20.247920.216940.18596()0.250000.215960.187830.002500.001250.002500.00208
0.00098
0.00187
f x x
f x '---'---用三点公式求出的的近似值准确值理论误差限实际误差限
例2 从地面发射一枚火箭，在最初80秒内，记录其加速度如下表。

试求火箭在第80秒时的速度。

2
()01020304050607080(/)
30.00
31.63
33.44
35.47
37.75
40.33
43.29
46.69
50.67
t a 秒米秒
分析：速度对时间t 的导数等于加速度，因此已知加速度求速度，只需把速度看作是加速度的原函数即可。

若设速度为()v t ，则0
()(0)()t
vt v at d
t =+⎰，于是800
(80)(0)()v v a t dt =+
⎰
.
这样就把问题转化为求积分的问题。

解 应用复化Simpson 求积公式计算。

此题中积分区间的长度是80，有9个节点，故
4,80420n h ===.由于火箭从地面向上发射，因此(0)0v =. 于是火箭在第80秒时的速
度为 80800
(80)(0)()()v v a t dt a t dt =+
=
⎰
⎰
120[30.004(31.6335.4740.3346.69)2(33.4437.7543.29)50.67]
6
3087.03333(/).
≈⨯⨯+⨯++++⨯+++=米秒
例3 计算椭圆
2
2
14
x
y +=的周长，使结果具有5位有效数字。

分析：这是一个求周长的问题，因此要用到线积分中的弧长公式。

在估计误差时，由于弧长公式中含有根式，其高阶导数较复杂，故可用事后误差估计的方法来做；另外还必须把误差与有效数字结合起来使用。

解 由于在直角坐标系下求弧长表达式较复杂，因此采用极坐标来求解。

令2cos ,sin x y θθ==，则椭圆弧长为
444l d d d θθθ=⨯=⨯
=⨯，
因为
22
2
I d π
π
θπ<=
<⨯
=⎰
，所以I 有一位整数。

故若要求结果有5位有效
数字，则必须使截断误差4
110
-≤
⨯. 列表计算如下：
故可取8 2.4221I T ≈=可使I 有5位有效数字，从而49.6884l I =⨯≈.
例4 用反证法证明：不存在,(0,1,2,,)k k A x k n = ，使得求积公式
()()()n
b k k a
k x f x dx A f x ρ=≈
∑
⎰
的代数精度超过21n +次。

分析：只要能找到一个22n +次的多项式，使求积公式两边不相等即可。

而具有21n +次代数精度的求积公式的节点是[,]a b 上带权()x ρ的正交多项式的零点(0,1,2,,)k x k n = ,
可考察22n +次的多项式2
210
()()n
n i i x x x ω+==-∏.
解 构造多项式2
2
10
()()()n
n i
i K x x x x ω+===-∏，并令
()()f x K x =，代入上述求积公式，
则左端有()()()()0b
b a a
x f x dx x K x dx ρρ=
>⎰⎰
；右端有0
()()0n n
k k k k k k A f x A K x ====∑∑
； 即左端
≠右端。

这说明：不存在具有22n +次代数精度的求积公式。

故Gauss 型求积公式是具有最
高次代数精度的求积公式。

例5 设5000()[2,2],0,,(),0,1,2k k k f x C x h x h h x x kh f f x k ∈-+>=+==±±，求证：(1) 4
021121()(88)()12f x f f f f O h h --'=
-+-+；
(2) 2
01012
1()(2)()f x f f f O h h
-''=
-++.
证 本题用Taylor 公式来证。

(1) 因为 2
3
0000011(2)()2()(2)()(2)()2!
3!
f x h f x h f x h f x h f x ''''''±=±⨯+⨯⨯±
⨯⨯
4
(4)
5
01(2)()()4!
h f
x O h +
⨯⨯+，
2
3
0000011()()()()()2!
3!
f x h f x h f x h f x h f x ''''''±=±⨯+
⨯⨯±
⨯⨯
4
(4)
5
01()()4!h f
x O h +⨯⨯+，
所以500000(2)()8()(2)12()()f x h f x h f x h f x h h f x O h '---++-+=⨯+， 即 4
021121()(88)()12f x f f f f O h h
--'=
-+-+.
(2) 利用(1)中0()f x h ±的展开式，得
2
01012
1()(2)()f x f f f O h h
-''=
-++.
例6 确定常数,,,A B C D （均用分数精确表示），使求积公式()()I f I f ≈ ，其中
23
()()()d ,
()[()()][()()]b
a I f x a f x x I f h Af a Bf
b h Cf a Df b ''=
-=+++⎰ 具有尽可能高的代
数精确度，并指出代数精确度是多少？其中h b a =-.
解 设该求积公式对23()1,,(),()f x x a x a x a =---精确成立，得
223
1()[11][00]2b a x a h A B h C D -=⨯+⨯+⨯+⨯， 3
2
3
1()[0][11]3b a x a h A B h h C D -=⨯+⨯+⨯+⨯， 4
2
2
3
1()[0][02]4b a x a h A B h h C D h -=⨯+⨯+⨯+⨯， 5
2
3
3
2
1()
[0][03]5b a
x a h A B h h C D h -=⨯+⨯+⨯+⨯，
化简得
1,21,
312,413,
5A B B C D B D B D ⎧+=
⎪⎪⎪++=⎪⎨⎪+=⎪⎪⎪+=
⎩
解得3711,,,.20
20
30
20
A B C D =
=
=
=-
例7
寻找合适的数值求积公式，计算出积分3
1x ⎰的准确值。

解
因为3
1
1
2
1-1
2
1(2)2
x t x
t t t =++=
+⎰⎰⎰令
2
2
1
1
1
21
111(2)()d 22
2
t t t f t t ⎡⎤=++
==
⎢⎥⎣
⎦⎰⎰⎰，
其中2()(2)f t t t =+
，权函数()x ρ=
，所以可取Gauss-Tchebyshev 求积公式
1
1
()d ()n
k k k f t t A f x =≈
∑
⎰，其中,1,2,,k A k n n
π
=
= . ()*
又因为2()(2)f t t t =+是3次多项式，且()*具有21n -次代数精度，所以取2n =，可计算
出积分3
1
11()d 2
x f t t =
⎰⎰的准确值。

此时
121213,,cos
cos
2
2
4
2
4
2
A A x x π
π
ππ=
=
==
==-
，
2
2
1112
2
2224()(2)2,2244
()(2)2,224f x x x f x x x ⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎫=+=-
-+=⎪ ⎪⎝⎭
3
1
11221
11()d [()()]2
2
x f t t A f x A f x =
=
+⎰⎰
1224248ππ⎛=
⨯⨯= ⎝⎭
.。