第七章习题及答案
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119
第七章习题及解答
7-1 试求下列函数的z 变换
T t
a t e =)()1(
()()22
3e t t e t
=- 2
1)()
3(s
s s E +=
)
2)(1(3)()
4(+++=
s s s s s E
解 （1）∑
∞
=---=
-=
=0
1
11)(n n
n
a
z z az
z
a z E
（2）[]3
2
2)
1()1(-+=
z z z T t Z
由移位定理：
[]3
33323
333232
)
()
()
1()
1(T
T
T
T
T
T
t
e z e
z ze
T ze ze ze
T e
t Z -----+=
-+=
（3）2
2
111
)(s
s
s
s s E +=
+=
2
)
1(1
)(-+
-=
z Tz z z z E （4）21
)(2
10++
++
=
s c s c s
c s E
2
1)1(3lim
212)2(3lim
2
3)2)(1(3
lim
2
21
10
0=
++=-=-=++==+++=-→-→→s s s c s s s c s s s c s s s
2
2
11
223++
+-
=
s s s
)
(22)1(23)(2T
T e z z
e z z z z z E ---+---=
7-2 试分别用部分分式法、幂级数法和反演积分法求下列函数的z 反变换。
120
()
()()()
11012E z z z z =
-- 2
1
1
213)()
2(---+-+-=
z z
z z E 解 （1）)
2)(1(10)(--=z z z
z E
① 部分分式法
)
12(102
10110)()
2(10)
1(10)(2
101
10)2)(1(10
)(-=⨯+⨯-=-+
--=
-+
--=
---=
n
n
nT e z z
z z z E z z z z z
z E
② 幂级数法：用长除法可得
+-+-+-=+++=+-=--=---)3(70)2(30)(10)(7030102310)2)(1(10)(*
3
212T t T t T t t e z z z z z z z z z z E δδδ
③ 反演积分法
[][]
)
()12
(10)()
12(10210110)(2
101
10lim
)(Re 102
10lim
)(Re 0
*
2
2
1
1
1
1
nT t t e nT e z z
z
z E s z z z z E s n n
n
n
n
n
z z n n
z z n --=
-=⨯+⨯-=⨯=-=⋅-=-=⋅∑∞
=→→-→→-δ
（2） 2
2
2
1)
1()13(12)13(213)(-+-=
+-+-=
+-+-=
--z z z z z z z z
z z
z E
① 部分分式法
∑∑∞
=∞
=---=
-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--=⨯--=
--
--=
--
--=--=
0*
22
2
)
()32()(32)()
(132
)(1
3)1(2)(1
3)1(2)1(31)(n n nT t n nT t nT T
t e t t T
t e z z z z z E z z z z z
z E δδ
121
② 幂级数法：用长除法可得
--------=-----=+-+-=
---)3(9)2(7)(5)(3)(97531
23)(*
3
2
1
2
2
T t T t T t t t e z
z
z
z z z z z E δδδδ
③ 反演积分法
[][]1
2
1
11)3(lim
!
11)(Re )(-→→-⋅+-=⋅=n s z n z
z z
dz
d z z E s nT e
[]32)1(3lim 1
1--=++-=-→n nz
z n n n
s
∑∞
=---=
*
)()32()(n nT t n t e δ
7-3 试确定下列函数的终值
()()()
11112
E z Tz
z =--- )
208.0416.0)(1(792.0)()
2(2
2
+--=
z z z z
z E
解 （1）∞=--=---→2
1
11
1
)
1()
1(lim z
Tz z e z ss
（2）
1
208
.0416.01792.0208
.0416.0792.0lim
)
()1(lim 2
2
1
1
=+-=
+-=-=→→z z z
z E z e z z ss
7-4 已知差分方程为
c k c k c k ()()()-+++=4120
初始条件：c(0)=0,c(1)=1。试用迭代法求输出序列c(k),k=0，1，2，3，4。
解 依题有
56
4154)4(15144)3(4014)2(1
)1(,
0)0()2()1(4)2(=-⨯==-⨯==-⨯===+-+=+c c c c c k c k c k c
7-5 试用z 变换法求解下列差分方程：
)
0(0
)(,
)(1)()
()(8)1(6)2()1(≤===++-+k k c k k r k r k c k c k c