中山大学信息光学习题课后答案--习题456作业

习 题 4

尺寸为a b ⨯的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射

光场的角谱。

采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径

轴上的强度分布：

(1) 00(,)t x y = (2) 001,(,)0,a t x y ⎧⎪≤=⎨⎪⎩其它 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：

00()cos(2/)t x a b x d π=+

式中，d 为光栅的周期，0a b >>。观察平面与光栅相距z 。当z 分别取下述值时，确定

单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。 (1) 2

2r d z z λ== (2) 22r z d z λ== (3) 2

42r z d z λ== 式中：r z 为泰伯距离。

参看下图，用向P 点会聚的单色球面波照明孔径∑。P 点位于孔径后面距离为z 的观察平面

上，坐标为(0,)b 。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。

方向余弦为cos ,cos αβ，振幅为A 的倾斜单色平面波照明一个半径为a 的圆孔。观察平面位

于夫琅禾费区，与孔径相距为z 。求衍射图样的强度分布。

环形孔径的外径为2a ，内径为2a ε(01)ε<<。其透射率可以表示为：

001,()0,a r a t r ε≤≤⎧=⎨⎩其他

用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为z 的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强

度分布。

下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为a ，中心距离为d ()d a >>。采用单

位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样

的强度分布并画出沿y 方向截面图。

参看下图，边长为2a 的正方形孔径内再放置一个边长为a 的正方形掩模，其中心落在(,)

x y ''点。采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为z 的观察平面上夫琅禾费射图样的光场分布。画出0x y ''==时，孔径频谱在x 方向上的截面图。

下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为a ，长度为b ，中心相距d 。采用单位

振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。假定4b a =及 1.5d a =，画出沿x 和y 方向上强度分布的截面图。

下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即：

00()step()t x x =

采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图

样的复振幅分布。画出沿x 方向的振幅分布曲线。

下图所示为宽度为a 的单狭缝，它的两半部分之间通过相位介质引入位相差π。采用单位振

幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。画出沿x 方向的截面图。

线光栅的缝宽为a ，光栅常数为d ，光栅整体孔径是边长L 的正方形。试对下述条件，分别

确定a 和d 之间的关系：

(1) 光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。

(2) 光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。

衍射屏由两个错开的网络构成，其透过率可以表示为：

000000(,)comb(/)comb(/)comb[(0.1)/)]comb(/)t x y x a y b x a a y b =+-

采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强

度分布。画出沿x 方向的截面图。

如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。其折射率为n ，齿宽为a ，齿形角为α，光栅的整体

孔径为边长为L 的正方形。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距光栅为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。若使用衍射图样中某个一级谱幅值最大，α角应如何选择？

衍射零是由m n ⨯个圆孔构成的方形列阵，它们的半径都为a ，其中心在0x 方向间距为x d ，

在0y 方向间距为y d ，采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z 的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。

在透明玻璃板上有大量(N )无规则分布的不透明小圆颗粒，它们的半径都是a 。采用单位振

幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。 习 题 5

下图所示楔形薄透镜，楔角为α，折射率n ，底边厚度为0∆。求其位相变换函数，并利用它

来确定平行光束小角度入射时产生的偏向角δ。

见下图，点光源S 与楔形薄透镜距离为0z ，它发出倾角为θ的傍轴球面波照棱镜，棱镜楔角

为α，折射率n 。求透射光波的特征和S 点虚像的位置。

采用如下光路对某一维物体作傅里叶分析。它所包含的最低空间频率为20/mm ，最高空间频

率为200/mm 。照明光的波长λ为0.6μm 。若希望谱面上最低频率成分与最高频率成分之间与最高频率之间间隔50/mm ，透镜的焦距应取多大？

对于下图所示的变换光路，为了消除在物体频谱上附加的位相弯曲，可在紧靠输出平面之前

放置一个透镜。问这个透镜的类型以及焦距如何选取？

参看下图，单色点光源S 通过一个会聚透镜在光轴上'S 位置。物体(透明片)位于透镜后方，

相距'S 的距离为d ，波完全相同。求证物体的频谱出现在点光源的像平面上。

如下图所示，透明片111(,)t x y 和222(,)t x y 分别紧贴在焦距为122,f a f a ==的两个透镜之前。

透镜12,L L 和观察屏三者间隔相等，都等于2a 。如果用单位振幅单色平面波垂直照明，求观察零上的复振幅分布。

一个被直径为d 的圆形孔径的物函数0U ，把它放在直径为D 的圆形会聚透镜的前焦面上，

测量透镜后焦面上的强度分布。假定D d >。

(1) 写出所测强度准确代表物体功率谱的最大空间频率的表达式，并计算6D =cm ，

2.5d =cm ，焦距50f =cm 以及0.6λμ=m 时，这个频率的数值(单位：/mm)

(2) 在多大的频率以上测得的频谱为零？尽管物体可以在更高的频率上有不为零的频率

分量。

一个衍射屏具有下述圆对称的复振幅透过率函数(见下图)：

2001(0)[1cos()]circ(/)2

t r ar r l =+ (1) 这个屏的作用类似于透镜，为什么？

(2) 给出此屏的焦距表达式？

(3) 这种屏作成像元件它会受到什么性质的限制(特别对于多色物体成像)？

下图所示为菲涅尔波带片的复振幅透过率

2001(0)[1sgn(cos )]circ(/)2

t r ar r l =+ 证明它的作用相当于一个有多重焦距的透镜。确定这些焦距的大小。

单位振幅的单色平面波垂直照射一个直径为5cm 、焦距为80cm 的透镜。在透镜后面20cm 的

地方，以光轴为中心放置一个余弦型振幅光栅，其复振幅透过率为：

0000001(,)(1cos 2)rect(/)rect(/)2

t x y f x x L y L π=+ 假定1L =cm ，0100f =/mm 。画出焦平面上沿f x 轴强度分布。标出各衍射分量之间距离和

各个分量(第一个零点之间)的宽度的数值。

习 题6