2011年数值计算方法复习提纲
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－2－
15:00
－3－
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15:00
－5－
15:00
❖ 列主元Gauss消元法（★）
1) 选主元的必要性
2) 算法的改进
❖ Gauss-Jordan 消元法
1) 思想、方法
2) Gauss-Jordan消元法的应用：求矩阵的逆矩阵
❖ 三角分解法
1) Doolittle分解（★）
2) f[x 0 , ,x n ] i n 0 (x i x 0 ) (x i x i f 1 ( )x ix ) i( x i 1 ) (x i x n )
f[x0,,xn]
f
(n)()
(n)!
❖ Ne推 wton插值论 f 公(x 式)的 构： P n 造(x （)★f,若 [ ）x 0, ,x k] a 0 n ,,k k n n
第6章 数值积分
基本概念：
❖ 数值积分（机械求积公式）的一般形式 ❖ 求积公式的代数精度（计算、证明）
Akba
插值型求积公式：
❖ 插值求积公式的构造方法（★） 1) n+1积分结点的插值型求积公式至少具有n次代数精度 2) n+1个积分结点构造n阶Newton-Cotes积分公式，若n为偶数则具有 n+1次代数精度
CTC
i0 n
xi2
i0
....
n
xim
n
xi
i0 n
xi2
i0
n
xi3
i0
....
n
xm1 i
.... ....
.... .... ....
n
n xim
i0
n
xm1 i
i0
n
,
xm2 i
i0
....
n
xi2m
i0
yi
n
a
a0 a1 a2
... am
1) 步骤
2) 估算某点的近似值：
❖ Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,…,xn] (x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
－11－
15:00
Hermit插值
❖ 基本思想 ❖ 插值多项式的构造方法
1) Lagrange型构造法（基函数构造法） 2) Newton型构造法（重节点的差商）
,CT
y
i0
xi
n
i0
xi2
.....
n
yi yi
ximyi
(3)
i0
i0
i0
i0
2) 解之即得(1）的最小二乘解
－13－
15:00
❖ 一般曲线拟合
利用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解（会 计算） （★）
❖ Ax=b的最小二乘解为：ATAx=ATb
－14－
15:00
15:00
谢 谢！
d) 方程组Ax=b的系数矩阵A（非迭代矩阵）：对称正定
e) 若方程组的Jacobi迭代收敛并且||J||<q1，则该方程组 的Gauss-Seidel迭代也收敛
3) 能写出其迭代矩阵（★）
－9－
15:00
第4章 插值法
插值的基本概念：
❖ 插值条件、插值点
❖ 插值多项式
插值多项式的存在、唯一性：
3) 会手工计算（★）
－8－
15:00
❖ Guass-Seidel迭代法：Ax=b
1) 迭代公式：x=Gx+f ,其中 G=(D-L)-1U，f= =(D-L)-1 b
2) 收敛性判断： （★）
a) 充要条件： ( G ) <1
b) 充分条件：||G||<1
c) 方程组Ax=b的系数矩阵A（非迭代矩阵）：严格对角 占优
－16－
15:00
重点例题、习题
第一章：
❖ 例：1-1、1-2、1-14、 ❖ 习题：2、8、17
第二章：
❖ 例：2-3、2-5、2-15、
Βιβλιοθήκη Baidu
第三章：
❖ 例：3-29
❖ 习题：1，分别用高斯顺序消元法、列选主元高斯消元 法、杜利特尔分解法、克劳特分解法、雅可比迭代法、 高斯-塞德尔迭代法求解
－17－
❖ Newton-cotes公式的构造 ❖ 重点掌握：
1) 梯形公式 2) Simpson公式
－15－
15:00
复化积分
❖ 原理 ❖ 复化梯形积分、复化Simpson积分（计算）
Romberg积分公式
❖ 是外推公式，由复化梯形积分3次外推得到（★）
Gauss积分：
❖ n个积分结点的Gauss求积公式可达 2n-1次代数精度（★）
2) Crout分解（★）
❖ 追赶法
1) 适用于：三对角方程组
2) 实质：作Crout分解
❖ 改进平方根法
1) 适用条件：对称正定矩阵
2) 计算量减半
－6－
15:00
迭代法：
❖ 向量与矩阵的范数： （★）
1) 向量范数：1-范数、2-范数、∞-范数
2) 矩阵范数（算子范数）：1-范数、2-范数、∞-范数
❖ 故Ln(x)与Nn(x)等价
Lagrang插值多项式（★）
❖ 构造
n
f(x) lk(x)yk
k0
n
(
k0
n i0
((xxkxxii))yk
ik
❖ 余项
n
lk( x)1
k0
❖ 线性插值、抛物插值公式及其截断误差
－10－
15:00
Newton插值
❖ 差商及其性质： （★）
1) 对称性 f[x 0 , ,x k]f[x i0, ,x ik]
3) 矩阵的谱半径： (A)m 1ina|x i |
a) ρ( A) ≤||A||
b) 若矩阵 A 对某个算子范数满足 ||A|| < 1，则 必有: I±A可逆、 I A 1 1
1|| A||
4) 矩阵的条件数： cond(A)=||A||||A-1||
－7－
15:00
❖ 迭代法原理及收敛条件：求解 Ax=b （★）
1) 充分条件： x=Bx+f， ||B||<1
2) 充要条件： x=Bx+f，B的谱半径 ( B ) <1
❖ Jacobi迭代：
1) 公式：x=Jx+f（其中： J=I-D-1A，f=D-1b）
2) 收敛的条件： （★）
a) 充要条件： ( J ) <1
b) 充分条件：||J||<1
c) Ax=b的系数矩阵A （非迭代矩阵 J ） ：严格对角占 优
了解高次插值会产生Runge现象，解决办法：分段 低次插值（★）
了解三次样条插值的基本原理
－12－
15:00
第5章 最小二乘法与曲线拟合
最小二乘原理及正规方程组的构造（计算） （★）
❖ 多项式拟合： y=a0+a1x+…+amxm （1）
1) 对应的正规方程组：CTCa=CTy
n
n
xi
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❖ 列主元Gauss消元法（★）
1) 选主元的必要性
2) 算法的改进
❖ Gauss-Jordan 消元法
1) 思想、方法
2) Gauss-Jordan消元法的应用：求矩阵的逆矩阵
❖ 三角分解法
1) Doolittle分解（★）
2) f[x 0 , ,x n ] i n 0 (x i x 0 ) (x i x i f 1 ( )x ix ) i( x i 1 ) (x i x n )
f[x0,,xn]
f
(n)()
(n)!
❖ Ne推 wton插值论 f 公(x 式)的 构： P n 造(x （)★f,若 [ ）x 0, ,x k] a 0 n ,,k k n n
第6章 数值积分
基本概念：
❖ 数值积分（机械求积公式）的一般形式 ❖ 求积公式的代数精度（计算、证明）
Akba
插值型求积公式：
❖ 插值求积公式的构造方法（★） 1) n+1积分结点的插值型求积公式至少具有n次代数精度 2) n+1个积分结点构造n阶Newton-Cotes积分公式，若n为偶数则具有 n+1次代数精度
CTC
i0 n
xi2
i0
....
n
xim
n
xi
i0 n
xi2
i0
n
xi3
i0
....
n
xm1 i
.... ....
.... .... ....
n
n xim
i0
n
xm1 i
i0
n
,
xm2 i
i0
....
n
xi2m
i0
yi
n
a
a0 a1 a2
... am
1) 步骤
2) 估算某点的近似值：
❖ Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,…,xn] (x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
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Hermit插值
❖ 基本思想 ❖ 插值多项式的构造方法
1) Lagrange型构造法（基函数构造法） 2) Newton型构造法（重节点的差商）
,CT
y
i0
xi
n
i0
xi2
.....
n
yi yi
ximyi
(3)
i0
i0
i0
i0
2) 解之即得(1）的最小二乘解
－13－
15:00
❖ 一般曲线拟合
利用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解（会 计算） （★）
❖ Ax=b的最小二乘解为：ATAx=ATb
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15:00
谢 谢！
d) 方程组Ax=b的系数矩阵A（非迭代矩阵）：对称正定
e) 若方程组的Jacobi迭代收敛并且||J||<q1，则该方程组 的Gauss-Seidel迭代也收敛
3) 能写出其迭代矩阵（★）
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第4章 插值法
插值的基本概念：
❖ 插值条件、插值点
❖ 插值多项式
插值多项式的存在、唯一性：
3) 会手工计算（★）
－8－
15:00
❖ Guass-Seidel迭代法：Ax=b
1) 迭代公式：x=Gx+f ,其中 G=(D-L)-1U，f= =(D-L)-1 b
2) 收敛性判断： （★）
a) 充要条件： ( G ) <1
b) 充分条件：||G||<1
c) 方程组Ax=b的系数矩阵A（非迭代矩阵）：严格对角 占优
－16－
15:00
重点例题、习题
第一章：
❖ 例：1-1、1-2、1-14、 ❖ 习题：2、8、17
第二章：
❖ 例：2-3、2-5、2-15、
Βιβλιοθήκη Baidu
第三章：
❖ 例：3-29
❖ 习题：1，分别用高斯顺序消元法、列选主元高斯消元 法、杜利特尔分解法、克劳特分解法、雅可比迭代法、 高斯-塞德尔迭代法求解
－17－
❖ Newton-cotes公式的构造 ❖ 重点掌握：
1) 梯形公式 2) Simpson公式
－15－
15:00
复化积分
❖ 原理 ❖ 复化梯形积分、复化Simpson积分（计算）
Romberg积分公式
❖ 是外推公式，由复化梯形积分3次外推得到（★）
Gauss积分：
❖ n个积分结点的Gauss求积公式可达 2n-1次代数精度（★）
2) Crout分解（★）
❖ 追赶法
1) 适用于：三对角方程组
2) 实质：作Crout分解
❖ 改进平方根法
1) 适用条件：对称正定矩阵
2) 计算量减半
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15:00
迭代法：
❖ 向量与矩阵的范数： （★）
1) 向量范数：1-范数、2-范数、∞-范数
2) 矩阵范数（算子范数）：1-范数、2-范数、∞-范数
❖ 故Ln(x)与Nn(x)等价
Lagrang插值多项式（★）
❖ 构造
n
f(x) lk(x)yk
k0
n
(
k0
n i0
((xxkxxii))yk
ik
❖ 余项
n
lk( x)1
k0
❖ 线性插值、抛物插值公式及其截断误差
－10－
15:00
Newton插值
❖ 差商及其性质： （★）
1) 对称性 f[x 0 , ,x k]f[x i0, ,x ik]
3) 矩阵的谱半径： (A)m 1ina|x i |
a) ρ( A) ≤||A||
b) 若矩阵 A 对某个算子范数满足 ||A|| < 1，则 必有: I±A可逆、 I A 1 1
1|| A||
4) 矩阵的条件数： cond(A)=||A||||A-1||
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❖ 迭代法原理及收敛条件：求解 Ax=b （★）
1) 充分条件： x=Bx+f， ||B||<1
2) 充要条件： x=Bx+f，B的谱半径 ( B ) <1
❖ Jacobi迭代：
1) 公式：x=Jx+f（其中： J=I-D-1A，f=D-1b）
2) 收敛的条件： （★）
a) 充要条件： ( J ) <1
b) 充分条件：||J||<1
c) Ax=b的系数矩阵A （非迭代矩阵 J ） ：严格对角占 优
了解高次插值会产生Runge现象，解决办法：分段 低次插值（★）
了解三次样条插值的基本原理
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第5章 最小二乘法与曲线拟合
最小二乘原理及正规方程组的构造（计算） （★）
❖ 多项式拟合： y=a0+a1x+…+amxm （1）
1) 对应的正规方程组：CTCa=CTy
n
n
xi