数学建模——组合优化问题及算法.

min f ( x ) s.t. g ( x ) 0 xD
其中D表示有限个点组成的集合。
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一些例子
1. 0-1背包问题 设有一个容积为b的背包，n个体积分别为
ai(i=1,2,…,n), 价值分别为ci (i=1,2,…,n) 的物品，如 何以最大的价值装包？
max c i x i
i 1 n n
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一些例子
7. 最大截问题(MCP,Max Cut Problem)
8. 图的顶点着色问题（GCP,Graph Colouring Problem)
9. 独立集问题（ISP,Independent Set Problem) 10.调度问题(SCP,Scheduling Problem) 11.划分问题(PAP,Partition Problem) 12.布局问题（PLP, Placement Problem)……
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一些例子
3. 有 约 束 的 机 器 调 度 问 题 ( capacitated machine scheduling)
n 个加工量为 {di|i=1,2,…,n} 的产品在一台机器上加工， 机器在第 t 个时段的工作能力为 ct,求完成所有产品加工所需时 段数最少的调度方案 min T
s.t.
min d ij xij
i j n n
s.t.
n
x
j 1 ij ij
ij
1,
i 1, , n j 1, , n 2 | S | n 2, S {1,2, , n}
i , jS
x x
i 1
1,
| S | 1,
xij {0,1}, i, j 1, , n, i j.
上述问题都是NP-hard问题，目前人们认为它们不存在 求解最优解的多项式时间算法，大规模情形只有尝试用一 些近似算法或启发式算法求解。
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启发式算法
邻域概念
对于组合优化问题 (D,F,f),D 上的一个映射： N:SD N(S)2D 称为一个邻域映射，其中 2D 表示 D 的所有子集构 成的集合，N(S)称为S的邻域。
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启发式算法
近似算法定义
记问题A的任何一个实例I的最优解和启发式 算法 H 解的目标值分别为 zopt(I) 和 zH(I), 若对某 个正数0，有 |zH(I)-zopt(I)| |zopt(I)|，IA
MATHEMATICA MODEL
组合优化问题 及其算法
制作: 龚劬
引言百度文库
组合最优化（ combinatorial optimization) 是通过 对数学方法的研究去寻找离散事件的最优编排、分组、次 序或筛选等，是运筹学 (operations research) 中的一个 重要分支。所研究的问题涉及信息技术、经济管理、工业 工程、交通运输、通信网络等领域。该问题可用数学模型 描述为：
s.t.
a x
i 1 i
i
b i 1, , n
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x i {0,1},
一些例子
2. 旅行商问题(TSP，traveling salesman problem)
一个商人欲到 n个城市推销商品，每两个城市 i和j之 间的距离为 dij，如何选择一条道路使得商人每个城市正 好走一遍后回到起点且所走路径最短。
n
x
t 1 i 1 i
T
it
1, ct ,
i 1, , n t 1,2 , T
d x
it
x it {0,1}, i 1, , n, t 1,2, , T
其中xit,T为决策变量,xit=1表示产品i在第t时段加工
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一些例子
4. 装箱问题(bin packing) 如何把 n 个尺寸不超过 1 的物品装入尺寸为 1 的箱子，并使 所用的箱子个数最少。 5. 二维装箱问题（平面上的套裁问题） 原料的尺寸大于需求的尺寸，需求的品种尺寸可以不同， 最终的目标是在满足需求的前提下，使边角余料最小。 6. 车间作业调度问题(job shop scheduling) n 个工件， J1,…,Jn 在 m 台机器 M1,M2,…,Mm 上加工。每个工 件Ji有ni个工序，Oi1,…,Oini,第Oij工序的加工时间为pij，必须 按工序进行加工且每一工序必须一次加工完成。一台机器在任 何时刻最多只能加工一个产品，一个工件不能同时在两台机器 上加工，如何安排才能使最后一个完工的工件完工时间最小？
i, j
y D}
k为一个正整数。
TSP问题解的另一种表示法为 D={S=(i1,i2,…,in)是1,2,…,n的一个排列}
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启发式算法
邻域概念
TSP问题解的另一种表示法为
D={S=(i1,i2,…,in)是1,2,…,n的一个排列} 可以定义它的邻域映射为 2-opt，即 S 中的两个 元素对换。 如4个城市的TSP问题，当S=(1,2,3,4)时， N(S)={(2,1,3,4),(3,2,1,4),(4,2,3,1),(1,3, 2,4),(1,4,3,2),(1,2,4,3)}. 类似可定义k-opt(k2)
启发式算法定义
一个基于直观或经验构造的算法，在可接受 的花费（计算时间、占用空间等）下给出待解决 问题每一个实例的一个可行解，该解与最优解的 偏离程度不一定能预计。
启发式算法是一种技术，使在可接受的计算 开销内寻找最好的解，但不一定能保证所得解的 可行性和最优性，甚至多数情况下，无法给出所 得解同最优解的近似程度。
邻域的构造依赖于问题决策变量的表示，邻 域的结构在现代化优化算法中起重要作用。
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启发式算法
邻域概念
例如，前面例子2给出的TSP问题模型。由解空间 D={x{0,1}n(n-1)}，可以定义它的一种邻域为：
N ( x) { y | y x | | y ij x ij | k ,
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启发式算法
局部最优与全局最优
若s*满足
f(s*)()f(s),其中sN(s*)F, 则称s*为f在F上的局部(local)最小（最大）解。 若s*满足 f(s*)()f(s),其中sF, 则称 s* 为 f 在 F 上的全局 (global) 最小（最大） 解。
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启发式算法