数学建模练习-最佳捕鱼方案

题目：最佳捕鱼方案

摘要

在充分理解题意的基础上，我们提出了合理的假设。通过对问题的深入分析和对草鱼损失率的不同理解，我们建立了三个模型。

模型一中，损失率是基于水库草鱼的总量，草鱼的损失是一些定值的累加。在这种情况下，我们进行了粗略的估算，在日供应量方面，我们让每日草鱼的供应量达到售价方面的临界值。提出了四个可行的方案。通过比较认为方案四·能使总利润达到最大值404636元，共损失草鱼量为2625kg,当且仅当第1天至第15天，日供应量为1000kg,单价为25元，第16天至19天，日供应量为1500kg，单价为20元。第20天售出1375kg，单价为20元。

在模型二、三中，为了更接近现实生活中的情况及人们的认知观，我们对第n天草鱼的损失率的理解是基于第n-1天剩下的草鱼而言。模型二，不考虑日供应量在1500kg以上的情况，运用LINGO解出的结果为总利润的最大值为373260.0元，草鱼的损失为7113.960kg。第1天到第14天及第16天，每天售出草鱼1000kg,第19天售出886.04kg，其余每天售出500kg。

模型三在模型二的基础上做了一些改进(如考虑日供应量在1500kg以上的情况)，建立了多目标的规划模型，求得总利润的最大值为332875元，草鱼的总死亡量为8828.493kg。第2天到第5天及第11天到16天，每天售出1000kg,其余每天售出500kg。

关键词： 0-1变量规划问题多目标 LINGO

一、问题重述

该问题阐述的是一个水库的经营商为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理。因此经营商打算放水清库，同时为使捕捞鲜活草鱼投放市场时，获得最佳效益。现有如下条件：（1）水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，水库水位最低降至5米。（2）据估计水库内尚有草鱼25000余公斤。（3）若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤，已处于饱和。（4）关于放水清库的过程的成本计算大致如下：捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。

二、问题分析

通过简单的分析和思考，我们可以将获得最佳效益视为求解最优值的问题，即该问题可以归为一个数学规划问题。条件（1）（2）是针对目前状况的约束，条件（3）是通过卖鱼可以获得的利润，条件（4）是对成本的约束。在四个条件约束的情况下，我们可以建立模型。由于对损失率的理解不同，我们进行了不同的假设，并在这些假设下建立了模型一和模型二、三。模型一中，损失率是基于水库草鱼的总量，草鱼的损失是一些定值的累加。而在模型二、三中，为了更接近现实生活中的情况及人们的认知观，我们对第n天草鱼的损失率的理解是基于第n-1天剩下的草鱼而言。模型二将不考虑日供应量超过1500kg的情况，而模型三考虑。模型三的建立采用多目标的规划方法进行求解。

三、条件假设

1、在整个售鱼的过程中，顾客都只到该经营商处购鱼。

2、水位的变化除了每天的自然放水，不考虑蒸发等其他的情况。

3、每日售出的草鱼数量即为当天捕捞的草鱼，不出现有当天捕捞的鱼留到第二

天卖的情况。

4、假设在放水清库的过程中，随着水位的下降,捕捞成本成呈递减等差数列，而

草鱼的损失成递增等差数列。高放水的前一天为t=0,则水位降至5米时的那一天为t=20。故每公斤草鱼的捕捞成本为bt=6-0.15t,草鱼的损失率cn=0.5%t ( t ≤20,t ∈N)

5、在模型二、三中，

（1）无论造成草鱼损失的原因是什么，我们假设每天草鱼损失的数量为前一天的水库里草鱼的余量乘以当天的损失率。

（2）每日捕捞前均对已死亡的鱼进行处理，使捕捞出的草鱼皆为活鱼，且在运输到售卖点的途中无死亡。即售出的鱼与当日捕捞的鱼的数量一致。

四、符号及变量说明

w——水库草鱼的总量（M=25000Kg）

h——水库水位（5≤h≤15）

C——草鱼的单价(C=30 25 20)

bt——每公斤草鱼的捕捞成本(bn=6-0.15t)

ct ——第t 天草鱼的损失率（cn=0.5%t ）

t x ——第t 日草鱼的售出量（500≤n x ≤1500）

i t ——表示第i 天；

w1——第n 天的利润

Y ——所有草鱼卖出后所得的钱；

Z ——捕捞所有草鱼的成本；

i x ——第i 天草鱼的捕捞量；

i y ——第I 天每公斤草鱼的售价;

i z ——第i 天成本；

i m ——第i 天鱼的死亡量；

i s ——第i 天的鱼的死亡率；

i n ——第i 天鱼的存活率；

i w ——第i 天的早上水库的鱼量；

i k ——第i 天晚上水库里排除当天的是捕捞量与死亡量剩下的鱼量； i a i b i c i d ：表示0-1规划的变量；

i P ：i 天内实际售出的总的草鱼量；

五、模型的建立与求解

通过查找资料，我们得知草鱼的损失与水位并无直接的联系，通常是由于水中的溶氧量，水温等因素造成的。

模型一：

我们令草鱼的损失与水位无关且在假设3的情况下，首先，我们先将条件（3）用数学符号表示出来，则有：

每公斤草鱼售价：302520C ⎧⎪=⎨⎪⎩

元元元 500500100010001500t t t x kg kg x kg kg x kg ≤≤≤≤≤

在该假设下，损失鱼的总量容易求出，为2625公斤。

设第t 天捕捞草鱼t x 公斤，其价为y 元/公斤，则该天的实际捕捞量为(10.5%)t n x - 该天的利润w1为：