中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案

《离散数学》期末复习题
一、填空题（每空2分，共20分）
1、集合A上的偏序关系的三个性质是、
和。

2、一个集合的幂集是指。

3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A⋃B= 。

4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A⋂B= 。

5、若A是2元集合, 则2A有个元素。

6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则
2*3= 。

7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。

8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元，
是乘法的幂等元。

9、设a,b,c是阿贝尔群<G,+>的元素，则-(a+b+c)= 。

10、一个图的哈密尔顿路是。

11、不能再分解的命题称为，至少包含一个联结词的命题称
为。

12、命题是。

13、如果p表示王强是一名大学生，则┐p表示。

14、与一个个体相关联的谓词叫做。

15、量词分两种：和。

16、设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B
的。

17、集合上的三种特殊元是、
及。

18、设A={a, b}，则ρ(A) 的四个元素分别
是：，，，。

19、代数系统是指由及其上的或
组成的系统。

20、设<L,*1,*2>是代数系统，其中是*1,*2二元运算符，如果*1,*2都满
足、，并且*1和*2满足，则称<L,*1,*2>是格。

21、集合A={a,b,c,d}，B={b }，则A \ B= 。

22、设A={1, 2}, 则∣A∣= 。

23、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示，入度deg-(v)表示
以。

24、一个图的欧拉回路是。

25、不含回路的连通图是。

26、不与任何结点相邻接的结点称为。

27、推理理论中的四个推理规则
是、、、。

二、判断题（每题2分，共20分）
1、空集是唯一的。

2、对任意的集合A，A包含A。

3、恒等关系不是对称的，也不是反对称的。

4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。

5、图G中，与顶点v关联的边数称为点v的度数，记作deg(v)。

6、在实数集上，普通加法和普通乘法不是可结合运算。

7、对于任何一命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式。

8、设（A,*）是代数系统，a∈A，如果a*a＝a，则称a为（A，*）的等幂元。

9、设f：A→B，g：B→C。

若f，g都是双射，则gf不是双射。

10、无向图的邻接矩阵是对称阵。

11、一个集合不可以是另一个集合的元素。

12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。

13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。

14、<{0,1,2,3,4},MAX,MIN>是格。

15、树一定是连通图。

16、单位元不是可逆的。

17、一个命题可赋予一个值，称为真值。

18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。

19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。

20、设f：A→B，g：B→C。

若f，g都是满射，则g◦f不是满射。

21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。

22、零元是不可逆的。

23、一般的，把与n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。

24、“我正在说谎。

”不是命题。

25、用A表示“是个大学生”，c表示“张三”，则A(c)：张三是个大学生。

26、设F＝{<3,3>,<6,2>}，则F-1＝{<6,3>,<2,6>}。

27、欧拉图是有欧拉回路的图。

28、设f：A→B，g：B→C。

若f，g都是单射，则g◦f也是单射。

三、计算题（每题10分，共40分）
1、设A={c,d}, B={0,1,2}，则计算A×B，B×A。

2、A = {a,b,c}，B = {1,2}，计算A×B。

3、A = {a,b,c}，计算A×A。

4、符号化命题“如果2大于3，则2大于4。

”。

5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。

6、符号化命题“2是素数且是偶数”。

7、设A={a,b,c,d}，R是A的二元关系，定义为：R={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,b>, <c,a>,<d,c>,<d,b>, <d,a>}，写出A上二元关系R的关系矩阵。

8、设A={1,2,3,4}，R是A的二元关系，定义为：R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>, <3,1>,<4,3>,<4,2>, <4,1>}，写出A上二元关系R的关系矩阵。

9、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。

10、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。

11、设无向图G如下所示，求它的邻接矩阵。

12、求命题公式┐ (p∧┐q)的真值表。

13、设<2x+y, 5>=<10, x－3y>，求x，y。

14、R1、R2是从{1, 2, 3, 4, 5}到{2, 4, 6}的关系，若R1＝{<1, 2>, <3, 4>, <5, 6>}，R2={<1, 4>, <2, 6>}，计算domR1，ranR1，fldR1，domR2，ranR2，fldR2。

15、例：设A={1, 2, 3, 4, 5}，B={3, 4, 5}, C={1, 2, 3}，A到B的关系R={<x, y>|x+y=6}，B 到C的关系S={<y, z>|y－z=2}，求R◦S。

16、集合A={a, b, c}，B={1, 2, 3, 4, 5}，R是A上的关系，S是A到B的关系。

R={<a, a>, <a,
c>, <b, b>, <c, b>, <c, c>}，S={<a, 1>, <a, 4>, <b, 2>, <c, 4>, <c, 5>}，求R◦S，S–1◦R–1
17、A＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，D是整除关系，画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。

18、设集合A={a,b,c}，A上的关系R={<a,a>, <a,b>, <b,c>}，求R的自反、对称、传递闭包。

19、求下图中顶点v0与v5之间的最短路径。

20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。

四、证明题（每题10分，共20分）
1、若R和S都是非空集A上的等价关系，证明R⋂S是A上的等价关系。

2、证明苏格拉底论证：凡人要死。

苏格拉底是人，苏格拉底要死。

3、P→Q，┐Q∨R，┐R，┐S∨P⇒┐S
4、在群<G,*>中，除单位元e 外，不可能有别的幂等元。

5、设R和S是二元关系，证明：(R⋂S)-1=R-1⋂S-1
6、证明：((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R)) = (S∧(P→Q))→R.
7、设I是整数集合，k是正整数，I上的关系R＝{<x, y>|x, y ∈I，且x－y可被k整除}，
证明R是等价关系。

8、证明((p→q)→r)⇔ ((┐q∧p)∨r)
9、证明(P∨Q) ∧(P→R) ∧(Q→S)⇒S∨R
10、证明P→┐Q，Q∨┐R，R∧┐S⇒┐P
11、证(∀x)(P(x)∨Q(x)) ⇒┐(∀x)P(x) →(∃x)Q(x)
12、证明定理：设<G, ◦ >是群，对于任意a, b∈G，则方程a◦x=b与y◦a=b，在群内有唯一
解。

v0
v2
v1
v4
v3
v5
1
2
1
4
7
5 3
2
6
《离散数学》复习题参考答案
一、填空题（每空1分，共20分）
1、集合A上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。

2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。

3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A⋃B={a,b,c,d,e}。

4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A⋂B={1,3}。

5、若A是2元集合, 则2A有 4 个元素。

6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则2*3= 3 。

7、设A={a, b,c,d}, 则∣A∣= 4 。

8、对实数的普通加法和乘法，0 是加法的幂等元，1 是乘法的幂等元。

9、设a,b,c是阿贝尔群<G,+>的元素，则-(a+b+c)=(-a)+( -b)+( -c)。

10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。

11、不能再分解的命题称为原子命题，至少包含一个联结词的命题称为复合命题。

12、命题是能够表达判断（分辩其真假）的陈述语句。

13、如果p表示王强是一名大学生，则┐p表示王强不是一名大学生。

14、与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。

15、量词分两种：全称量词和存在量词。

16、设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集。

17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。

18、设A={a, b}，则ρ(A) 的四个元素分别是：空集，{a}，{b}，{a, b}。

19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统。

20、设<L,*1,*2>是代数系统，其中是*1,*2二元运算符，如果*1,*2都满足交换律、结合律，并且*1和*2满足吸收律，则称<L,*1,*2>是格。

21、集合A={a,b,c,d}，B={b }，则A \ B={ a, c,d }。

22、设A={1, 2}, 则∣A∣= 2 。

23、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示以v为起点的边的条数，入度deg-(v)表示以v 为终点的边的条数。

24、一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。

25、不含回路的连通图是树。

26、不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。

27、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则(US规则)、全称推广规则(UG规则)、存在指定规则(ES规则) 、存在推广规则(EG规则)。

二、判断题（每题2分，共20分）
1、√。

2、√。

3、×。

4、√。

5、√。

6、×。

7、√。

8、√。

9、×。

10、√。

11、×。

12、√。

13、×。

14、√。

15、√。

16、×。

17、√。

18、√。

19、×。

20、×。

21、√。

22、√。

23、×。

24、√。

25、√。

26、×。

27、√。

28、√。

1、空集是唯一的。

2、对任意的集合A，A包含A。

3、恒等关系不是对称的，也不是反对称的。

4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。

5、图G中，与顶点v关联的边数称为点v的度数，记作deg(v)。

6、在实数集上，普通加法和普通乘法不是可结合运算。

7、对于任何一命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式。

8、设（A,*）是代数系统，a∈A，如果a*a＝a，则称a为（A，*）的等幂元。

9、设f：A→B，g：B→C。

若f，g都是双射，则gf不是双射。

10、无向图的邻接矩阵是对称阵。

11、一个集合不可以是另一个集合的元素。

12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。

13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。

14、<{0,1,2,3,4},MAX,MIN>是格。

15、树一定是连通图。

16、单位元不是可逆的。

17、一个命题可赋予一个值，称为真值。

18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。

19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。

20、设f：A→B，g：B→C。

若f，g都是满射，则g◦f不是满射。

21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。

22、零元是不可逆的。

23、一般的，把与n 个个体相关联的谓词叫做一元谓词。

24、“我正在说谎。

”不是命题。

25、用A 表示“是个大学生”，c 表示“张三”，则A(c)：张三是个大学生。

26、设F ＝{<3,3>,<6,2>}，则 F -1 ＝{<6,3>,<2,6>}。

27、欧拉图是有欧拉回路的图。

28、设f ：A →B ， g ：B →C 。

若f ，g 都是单射，则g ◦f 也是单射。

三、计算题（每题10分，共40分）
1、设A={c,d}, B={0,1,2}，则A ×B={<c,0>,<c,1>,<c,2>,<d,0>,<d,1>,<d,2>}，B ×A= {<0,c>,<0,d>,<1,c>,<1,d>,<2,c>,<2,d>}。

2、A = {a,b,c}，B = {1,2}，A ×B = {a,b,c} ×{1,2} = {<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>}。

3、A = {a,b,c}，A ×A = {a,b,c} ×{a,b,c} =
{<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,a,>,<c,b>,<c,c>}。

4、符号化命题“如果2大于3，则2大于4。

”。

设 L(x,y)：x 大于y ， a ：2， b ：3， c ：4，则命题符号化为L(a,b)→L(a,c)。

5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。

设F(x)：x 是兔子。

G(x)：x 是乌龟。

H(x,y)：x 比y 跑得快。

该命题符号化为：¬∀x ∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y))。

6、符号化命题“2是素数且是偶数”。

设 F(x)：x 是素数。

G(x)：x 是偶数。

a ： 2，则命题符号化为F(a)∧G(a)。

7、设A={a,b,c,d}，R 是A 的二元关系，定义为：R={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,b>, <c,a>,<d,c>,<d,b>, <d,a>}，写出A 上二元关系R 的关系矩阵。

解：R 的关系矩阵为：
110010001100111
0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
8、设A={1,2,3,4}，R 是A 的二元关系，定义为：R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>, <3,1>,<4,3>,<4,2>, <4,1>}，写出A 上二元关系R 的关系矩阵。

解：R 的关系矩阵为：
9、设有向图G 如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。

deg(v1)＝3，deg+(v1)＝1，deg-(v1)＝2； deg(v2)＝deg+(v4)＝deg-(v2)＝0； deg(v3)＝3，deg+(v3)＝2，deg-(v3)＝1； deg(v4)＝2，deg+(v4)＝1，deg-(v4)＝1；
10、设有向图G 如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。

答：
deg(v1)＝3，deg+(v1)＝2，deg-(v1)＝1； deg(v2)＝3，deg+(v2)＝2，deg-(v2)＝1； deg(v3)＝5，deg+(v3)＝2，deg-(v3)＝3； deg(v4)＝deg+(v4)＝deg-(v4)＝0； deg(v5)＝1，deg+(v5)＝0，deg-(v5)＝1；
11、设无向图G 如下所示，求它的邻接矩阵。

1011
010()01011010A G ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
110010001100111
0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
12、求命题公式┐(p ∧┐q)的真值表。

13、设<2x+y, 5>=<10, x －3y>，求x ，y 。

解：由定理列出如下方程组：
⎩⎨
⎧=-=+5
310
2y x y x 求解得x=5，y=0。

14、R1、R2是从{1, 2, 3, 4, 5}到{2, 4, 6}的关系，若R1＝{<1, 2>, <3, 4>, <5, 6>}，R2={<1, 4>, <2, 6>}，计算domR1，ranR1，fldR1，domR2，ranR2，fldR2。

解：domR1={1, 3, 5}，ranR1={2, 4, 6}，fldR1=dom R1∪ran R1={1, 2, 3, 4, 5, 6}； domR2={1, 2}，ranR2={4, 6}，fldR2=dom R2∪ran R2={1, 2, 4, 6}。

15、例：设A={1, 2, 3, 4, 5}，B={3, 4, 5}, C={1, 2, 3}，A 到B 的关系R={<x, y>|x+y=6}，B 到C 的关系S={<y, z>|y －z=2}，求R◦S 。

解：R={<1, 5>, <2, 4>, <3, 3>}, S={<3, 1>, <4, 2>, <5, 3>}，从而R◦S={<1, 3>, <2, 2>, <3, 1>} 或者因<1, 5>∈R ，<5, 3>∈S ，所以<1, 3>∈ R◦S ；因<2, 4>∈R ，<4, 2>∈S ，所以<2, 2> ∈R◦S ；因<3, 3>∈R ，<3, 1>∈S ，所以<3, 1> ∈R◦S ；从而R◦S={<1, 3>, <2, 2>, <3, 1>} 16、集合A={a, b, c}，B={1, 2, 3, 4, 5}，R 是A 上的关系，S 是A 到B 的关系。

R={<a, a>, <a, c>, <b, b>, <c, b>, <c, c>}，S={<a, 1>, <a, 4>, <b, 2>, <c, 4>, <c, 5>}，求R◦S ，S –1◦R –1 R◦S={<a, 1>, <a, 4>, <a, 5>, <b, 2>, <c, 2>, <c, 4>, <c, 5>} (R◦S)-1={<1, a>, <4, a>, <5, a>, <2, b>, <2, c>, <4, c>, <5, c>} R –
1={<a, a>, <c, a>, <b, b>, <b, c>, <c, c>}， S –1={<1, a>, <4, a>, <2, b>, <4, c>, <5, c>}
S –1◦R –1={<1, a>, <2, b>, <2, c>, <4, a>, <4, c>, <5, a>, <5, c>}。

17、A ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，D 是整除关系，画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。

解：
1是A的最小元，没有最大元，1是极小元，4、5、6都是A的极大元。

18、设集合A={a,b,c}，A上的关系R={<a,a>, <a,b>, <b,c>}，求R的自反、对称、传递闭包。

r(R)={<a,a>,<a,b>,<b,c>,<b,b>,<c,c>}
s(R)={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>}
t(R)={<a,a>,<a,b>,<b,c>,<a,c>}
19、求下图中顶点v0与v5之间的最短路径。

解：如下图所示v0与v5之间的最短路径为：v0, v1, v2, v4 , v3, v5
最短路径值为1+2+1+3+2=9
20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。

先根遍历：ABDEHCFIJGK 中根遍历：DBHEAIFJCGK 后根遍历：DHEBIJFKGCA
四、证明题（每题10分，共20分）
1、若R和S都是非空集A上的等价关系，证明R S是A上的等价关系。

v0
v2
v1
v4
v3
v5
1
2
1
4
7
5 3
2
6
证明：∀a∈A，因为R和S都是A上的等价关系，所以xRx且xSx。

故x R⋂S x。

从而R⋂S是自反的。

∀a,b∈A，aR⋂Sb，即aRb且aSb。

因为R和S都是A上的等价关系，所以bRa且bSa。

故b R⋂S a。

从而R⋂S是对称的。

∀a,b,c∈A，a R⋂S b且b R⋂S c，即aRb，aSb，bRc且bSc。

因为R和S都是A上的等价关系，所以aRc且aSc。

故a R⋂S c。

从而R⋂S是传递的。

故R⋂S是A上的等价关系。

2、证明苏格拉底论证：凡人要死。

苏格拉底是人，苏格拉底要死。

设：H(x)：x是人。

M(x)：x是要死的。

s：苏格拉底。

本题要证明：(∀x)(H(x)→M(x))∧H(s)⇒M(s) 证明：
⑴(∀x)(H(x)→M(x)) P
⑵H(s)→M(s) US⑴
⑶H(s) P
⑷M(s) ⑵、⑶
3、P→Q，┐Q∨R，┐R，┐S∨P⇒┐S
证明：
(1) ┐R 前提
(2) ┐Q∨R 前提
(3) ┐Q （1），（2）
(4) P→Q 前提
(5) ┐P （3），（4）
(6) ┐S∨P 前提
(7) ┐S （5），（6）
4、在群<G,*>中，除单位元e 外，不可能有别的幂等元。

因为e∗e=e，所以e是幂等元。

设a∈G且a∗a=a，则有a=e∗a=(a –1∗a)∗a=a –1∗(a∗a)=a–1∗a=e，即a=e。

5、设R和S是二元关系，证明：(R⋂S)-1=R-1⋂S-1
证明：.
所以.
6、证明：((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R)) = (S∧(P→Q))→R.
证明：
左边：((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R))
=(┐(Q∧S)∨R)∧(┐S∨(P∨R))
=(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R)
=(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R)
右边：(S∧(P→Q))→R
= ┐(S∧(┐P∨Q))∨R
= (┐S∨(P∧┐Q))∨R
= (┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R)
所以((Q∧S) → R)∧(S→ (P∨R)) = (S∧(P→Q))→R.
7、设I是整数集合，k是正整数，I上的关系R＝{<x, y>|x, y ∈I，且x－y可被k整除}，证明R是等价关系。

证明：(1) 对任意的x ∈A，有x－x=0可被k整除。

所以<x, x> ∈R，即R具有自反性。

(2) 对任意的x，y ∈A，<x, y> ∈R，即x－y可被k整除，设x－y=km，则y－x=－km，显然y－x可被k整除。

所以<y, x> ∈R，即R具有对称性。

(3)设x，y，z ∈A，若<x, y> ∈R，<y, z> ∈R，即x－y可被k整除，y－z可被k整除，设x－y=km，y－z=kn，则x－z=k(m+n)，即x－z可被k整除。

所以<x, z> ∈R，即R具有传递性。

综上所述，R具有自反性、对称性和传递性，故R是等价关系。

8、证明：
⑴((p→q)→r)⇔ ((┐q∧p)∨r)
⑵p→(q→r)⇔┐r→(q→┐p)
证明：
⑴((p→q)→r)
⇔((┐p∨q)→r) //蕴涵等值式
⇔(┐(┐p∨q))∨r //蕴涵等值式
⇔(p∧(┐q))∨r //德·摩根律
⇔((┐q∧p)∨r) //交换律
⑵p→(q→r)⇔┐r→(q→┐p)
⇔┐p∨(q→r) //蕴涵等值式
⇔┐p∨(┐q∨r) //蕴涵等值式
⇔r∨(┐q∨┐p) //结合律与交换律
⇔r∨(q→┐p) //蕴涵等值式
⇔┐r→(q→┐p) //蕴涵等值式
9、证明(P∨Q) ∧(P→R) ∧(Q→S)⇒S∨R
证明：
(1) P∨Q 已知前提
(2) ┐P→Q 由(1)
(3) Q→S 已知前提
(4) ┐P→S 由(2) 和(3)
(5) ┐S→P 由(4)
(6) P→R 已知前提
(7) ┐S→R 由(5) 和(6)
(8) S∨R 由(7)
10、证明P→┐Q，Q∨┐R，R∧┐S⇒┐P
证明用反证法，把┐(┐P)作为附加前提加入到前提的集合中去，证明由此导致矛盾。

(1) ┐(┐P) 反证法附加前提
(2) P 由(1)
(3) P→┐Q 已知前提
(4) ┐Q 由(2)和(3)
(5) Q∨┐R 已知前提
(6) ┐R 由(4)和(5)
(7) R∧┐S 已知前提
(8) R 由(7)
(9) R∧┐R 由(6)和(8)，矛盾
11、证(∀x)(P(x)∨Q(x)) ⇒┐(∀x)P(x) →(∃x)Q(x)
CP规则：要证S⇒R→C ，也就是证明(S∧R) ⇒C
(1) ┐(∀x)P(x) 前提引入
(2) (∃x)┐P(x) 由(1)
(3) ┐P(c) 由(2) ES
(4) (∀x)(P(x)∨Q(x)) 前提引入
(5) P(c)∨Q(c) 由(4) US
(6) Q(c) 由(3)和(5)
(7) (∃x)Q(x) 由(6) EG
12、证明定理：设<G, ◦ >是群，对于任意a, b∈G，则方程a◦x=b与y◦a=b，在群内有唯一解。

证明：因为a◦(a-1◦b) =(a◦a-1)◦b =1◦b=b 所以x=a-1◦ b是方程a◦x=b 的解。

其次证明唯一性，如果有另一解c，则必有
a◦c = b=a◦(a-1◦b)，由消去律可知c =a-1◦ b 。

同理可证y◦a=b 有唯一解y= b◦a-1。