专题1-2--解三角形-重难点、易错点突破(含答案)

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专题1-2 解三角形重难点、易错点突破

(建议用时:60分钟)

三角形定“形”记

根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题.解答此类问题,一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系,再进一步判断三角形的形状,这种转化一般有两个通道,即化角为边或化边为角.下面例析这两个通道的应用.

1.通过角之间的关系定“形”

例1 在△ABC 中,已知2sin A cos B =sin C ,那么△ABC 一定是( )

A .直角三角形

B .等腰三角形

C .等腰直角三角形

D .正三角形

2.通过边之间的关系定“形”

例2 在△ABC 中,若sin A +sin C sin B =b +c a

,则△ABC 是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形

C .等腰三角形

D .等腰三角形或直角三角形

细说三角形中解的个数

解三角形时,处理“已知两边及其一边的对角,求第三边和其他两角”问题需判断解的个数,这是一个比较棘手的问题.下面对这一问题进行深入探讨.

1.出现问题的根源

我们作图来直观地观察一下.不妨设已知△ABC 的两边a ,b 和角A ,作图步骤如下:①先做出已知角A ,把

未知边

c 画为水平的,角A 的另一条边为已知边b ;②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心,边a 为半径作圆C ;③观察圆C 与边c 交点的个数,便可得此三角形解的个数.

显然,当A 为锐角时,有如图所示的四种情况:

当A 为钝角或直角时,有如图所示的两种情况:

根据上面的分析可知,由于a ,b 长度关系的不同,导致了问题有不同个数的解.若A 为锐角,只有当a 不小于b sin A 时才有解,随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的.当A 为钝角时,只有当a 大于b 时才有解.

2.解决问题的策略

(1)正弦定理法

已知△ABC 的两边a ,b 和角A ,求B .

根据正弦定理a sin A =b sin B ,可得sin B =b sin A a

. 若sin B >1,三角形无解;若sin B =1,三角形有且只有一解;若0

(2)余弦定理法

已知△ABC 的两边a ,b 和角A ,求c .

利用余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A,

整理得c2-2bc cos A-a2+b2=0.

适合问题的上述一元二次方程的解c便为此三角形的解.

(3)公式法

当已知△ABC的两边a,b和角A时,通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表:

A<90°A≥90°

a≥b

a

a>b a≤b a>b sin A a=b sin A a

一解二解一解无解一解无解

3.实例分析

例在△ABC中,已知A=45°,a=2,b=2(其中角A,B,C的对边分别为a,b,c),试判断符合上述条件的△ABC有多少个?

挖掘三角形中的隐含条件

解三角形是高中数学的重要内容,也是高考的一个热点.由于我们对三角公式比较熟悉,做题时比较容易入手.但是公式较多且性质灵活,解题时稍有不慎,常会出现增解、错解现象,其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够.下面结合例子谈谈解三角形时,题目中隐含条件的挖掘.

隐含条件1.两边之和大于第三边

例1 已知钝角三角形的三边a =k ,b =k +2,c =k +4,求k 的取值范围.

隐含条件2.三角形的内角范围

例2 已知△ABC 中,B =30°,AB =23,AC =2,则△ABC 的面积是________.

例3 在△ABC 中,tan A tan B =a 2b 2,试判断三角形的形状.

例4 在△ABC 中,B =3A ,求b a

的取值范围.

正弦、余弦定理三应用

有些题目,表面上看不能利用正弦、余弦定理解决,但若能构造适当的三角形,就能利用两定理,题目显得非常容易,本文剖析几例.

1.平面几何中的长度问题

例1 如图,在梯形ABCD 中,CD =2,AC =19,∠BAD =60°,求梯形的高.

2.求范围

例2 如图,等腰△ABC 中,底边BC =1,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ,求BD 的取值范围(注:0

x 为增函数).

3.判断三角形的形状

例3 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若AB →·AC →=BA →·BC →=k ,(k ∈R ).

(1)判断△ABC 的形状;

(2)若c =2,求k 的值.

专题1-2 解三角形重难点、易错点突破参考答案

三角形定“形”记

例1 分析 通过三角形恒等变换和正弦、余弦定理,把条件式转化,直至能确定两角(边)的关系为止,即可判断三角形的形状.

解析 方法一 利用正弦定理和余弦定理

2sin A cos B =sin C 可化为2a ·a 2+c 2-b 2

2ac

=c , 即a 2+c 2-b 2=c 2,即a 2-b 2=0,即a 2=b 2

,故a =b .

所以△ABC 是等腰三角形.故选B.

方法二 因为在△ABC 中,A +B +C =π,

即C =π-(A +B ),所以sin C =sin(A +B ).

由2sin A cos B =sin C ,

得2sin A cos B =sin A cos B +cos A sin B ,

即sin A cos B -cos A sin B =0,即sin(A -B )=0.

又因为-π<A -B <π,

所以A -B =0,即A =B .

所以△ABC 是等腰三角形,故选B.

答案 B

点评 根据角的三角函数之间的关系判断三角形的形状,一般需通过三角恒等变换,求出角(边)之间的关系.

例2分析 先运用正弦定理化角为边,根据边之间的关系即可判断三角形的形状.

解析 在△ABC 中,由正弦定理,可得

sin A +sin C sin B =a +c b =b +c a

,整理得a (a +c )=b (b +c ), 即a 2-b 2+ac -bc =0,(a -b )(a +b +c )=0.

因为a +b +c ≠0,所以a -b =0,即a =b ,

所以△ABC 是等腰三角形.故选C.

答案 C

点评 本题也可化边为角,但书写复杂,式子之间的关系也不易发现.