对数函数知识点总结

20．（14分）已求函数 的单调区间.
—
@
必修1数学章节测试（7）—第二单元（对数函数）
一、DCCAB BDBDA
?
二、11． ， ； 12．0； 13． ； 14． ；
三、
15． 解：(1)函数的定义域为(1，p).
(2)当p＞3时，f(x)的值域为(－∞，2log2(p+1)－2)；
当1＜p 3时，f (x)的值域为(－ ，1+log2(p+1)).
解 (4)∵函数y=log2(－x)的图像与函数y=log2x的图像关于y轴对称，故可先作y=log2(－x)的图像，再把y＝log2(－x)的图像向右平移1个单位得到y=log2(1－x)的图像．如图2．8－6所示．
单调递减区间是(－∞，1)．
【例4】 图2．8－7分别是四个对数函数，①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx的图像，那么a、b、c、d的大小关系是 [ ]
）
A．｜a｜＞1B．｜a｜＜2C．a D．
10．下列关系式中，成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（每小题6分，共24分）.
11．函数 的定义域是，值域是.
12．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为.
13．将函数 的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，则C3的解析式为.
当a＞1时，0＜x＋a＜a，∴函数的定义域为(－a，0)．
当0＜a＜1时，x＋a＞a，∴函数的定义域为(0，＋∞)．
》
域和值域．
[
反函数的定义域为(0，1)，值域为y∈R．
【例3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间．
(1)y=lg(－x) (2)y=log2|x＋1|
、
解 (1)y=lg(－x)的图像与y=lgx的图像关于y轴对称，如图2．8－3所示，单调减区间是(－∞，0)．
（2）因为v= 在 上是增函数,且v 5,
上是减函数，且1<u ; S 上是增函数，
所以复合函数S=f(t) 上是减函数
（3）由（2）知t=1时，S有最大值，最大值是f (1)
20．解：由 >0得0<x<1，所以函数 的定义域是(0,1)
因为0< = ，
所以，当0<a<1时,
函数 的值域为 ;
当a>1时,
16． 解：(1)设3x=4y=6z=t. ∵x＞0，y＞0，z＞0，∴t＞1，lgt＞0，
&
∴ .
(2)3x＜4y＜6z.
17．解： (1)由 得x∈R，定义域为R.(2)是奇函数.(3)设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则 .令 ，
则 .
=
=
=
∵x1－x2＜0， ， ， ，
∴t1－t2＜0，∴0＜t1＜t2，∴ ，
可见，细胞总数 与时间 （小时）之间的函数关系为： ，
由 ，得 ，两边取以10为底的对数，得 ，
∴ ， ∵ ，
∴ .
答：经过46小时，细胞总数超过 个.
19．解：（1）过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴，垂足为A1,B1,C1，
则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C－S梯形AA1C1C.
∴f (x1)－f (x2)＜lg1=0，即f (x1)＜f (x2)，∴函数f(x)在R上是单调增函数.
(4)反函数为 (x R).
18．解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，
1小时后，细胞总数为 ；
2小时后，细胞总数为 ；
3小时后，细胞总数为 ；
4小时后，细胞总数为 ；
பைடு நூலகம்· ＋ ；
－ ；
．
注意：换底公式
{
（ ，且 ； ，且 ； ）．
利用换底公式推导下面的结论
（1） ；（2） ．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
∴f(x)是奇函数．
\
解法二 已知函数的定义域为R
=loga1=0
∴f(x)=－f(x)，即f(x)为奇函数．
单元测试
一、选择题（每小题5分，共50分）.
1．对数式 中，实数a的取值范围是（ ）
|
A． B．(2,5)C． D．
2．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么（ ）
A．x=a+3b－cB． C． D．x=a+b3－c3
3．设函数y=lg(x2－5x)的定义域为M，函数y=lg(x－5)+lgx的定义域为N，则（ ）
A．M∪N=RB．M=NC．M ND．M N
4．若a＞0，b＞0，ab＞1， =ln2，则logab与 的关系是（ ）
A．logab＜ B．logab=
《
C． logab＞ D．logab≤
5．若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是（ ）
】
17．（12分）设函数 .
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)判断函数f (x)的奇偶性；
|
(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数；
(4)求函数f(x)的反函数.
;
：
18．现有某种细胞100个，其中有占总数 的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过 个？（参考数据： ）.
对数函数对底数的限制： ，且 ．
—
2、对数函数的性质：
a>1
0<a<1
定义域x＞0
定义域x＞0
—
值域为R
值域为R
在R上递增
在R上递减
函数图象都过定点（1，0）
函数图象都过定点（1，0）
：
对数函数·例题解析
例1．求下列函数的定义域：
（1） ； （2） ； （3） ．
解：（1）由 >0得 ，∴函数 的定义域是 ；
对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ — 底数， — 真数， — 对数式）
说明： 注意底数的限制 ，且 ；
；
注意对数的书写格式．
两个重要对数：
常用对数：以10为底的对数 ；
,
自然对数：以无理数 为底的对数的对数 ．
（二）对数的运算性质
如果 ，且 ， ， ，那么：
（3）当 时，对数函数 在 上是增函数，于是 ，
当 时，对数函数 在 上是减函数，于是 ．
例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：
（1） ， ； （2） ， ；
（3） ， ， ； （4） ， ， ．
解：（1）∵ ， ，∴ ；
`
（2）∵ ， ，∴ ．
(3）∵ ， ， ，
∴ ．
（4）∵ ， ∴ ．
例7．求下列函数的值域：
（1） ； （2） ； （3） （ 且 ）．
{
解：（1）令 ，则 ， ∵ ， ∴ ，即函数值域为 ．
（2）令 ，则 ， ∴ ， 即函数值域为 ．
（3）令 ， 当 时， ， 即值域为 ，
!
当 时， ， 即值域为 ．
例8．判断函数 的奇偶性。
}
解：∵ 恒成立，故 的定义域为 ，
，所以， 为奇函数。
例9．求函数 的单调区间。
A． B． C． D．
6．下列函数图象正确的是（ ）
^
A B C D
7．已知函数 ，其中log2f(x)=2x，x R，则g(x)（ ）
A．是奇函数又是减函数B．是偶函数又是增函数
C．是奇函数又是增函数D．是偶函数又是减函数
9．如果y=log2a－1x在(0，+∞)内是减函数，则a的取值范围是（ ）
函数 的值域为
当0<a<1时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数；
当a>1时，函数 在 上是增函数，在 上是减函数.
(1)当loga3＞logb3＞0时，由图像2．8－8，取x=3，可得b＞a＞1．
(2)当0＞loga3＞logb3时，由图像2．8－9，得0＜a＜b＜1．
(3)当loga3＞0＞logb3时，由图像2．8－10，得a＞1＞b＞0．
(
顺序是：_____．
奇偶性．
解法一 已知函数的定义域为R，则－x∈R
&
14．函数y= 的单调递增区间是.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).
15．（12分）已知函数 .
(1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x)的值域.
…
16．（12分）设x，y，z∈R+，且3x=4y=6z.
$
(1)求证： ; (2)比较3x，4y，6z的大小.
（2）由 得 ，∴函数 的定义域是 ；
~
（3）由9- 得-3 ，∴函数 的定义域是 ．例2．求函数 和函数 的反函数。
解：（1） ∴ ；
（2） ∴ ．
—
例4．比较下列各组数中两个值的大小：
（1） ， ； （2） ， ； （3） ， .
解：（1）对数函数 在 上是增函数，于是 ；
、
（2）对数函数 在 上是减函数，于是 ；
A．d＞c＞b＞aB．a＞b＞c＞d
C．b＞a＞d＞cD．b＞c＞a＞d
，
解 选C，根据同类函数图像的比较，任取一个x＞1的值，易得b＞a＞1＞d＞c．
【例5】 已知loga3＞logb3，试确定a和b的大小关系．
解法一 令y1=logax，y2=logbx，∵logax＞logb3，即取x＝3时，y1＞y2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：
@
解：令 在 上递增，在 上递减，
又∵ ， ∴ 或 ，
故 在 上递增，在 上递减， 又∵ 为减函数，
所以，函数 在 上递增，在 上递减。
—
例10．若函数 在区间 上是增函数， 的取值范围。
!
解：令 ， ∵函数 为减函数，
∴ 在区间 上递减，且满足 ，∴ ，解得 ，
所以， 的取值范围为 ．
》
解 (2)∵1－loga(x＋a)＞0，∴loga(x＋a)＜1．
解 (2)先作出函数y=log2|x|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y＝log2|x＋1|的图像如图2．8－4所示．
单调递减区间是(－∞，－1)． 单调递增区间是(－1，＋∞)．
的图像，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为
所示
:
单调减区间是(－1，2]． 单调增区间是[2，＋∞)．