导数公式表

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解:y’=(x· sinx)’
=x’· sinx+x· (sinx)’
=sinx+xcosx.
例2.求下列函数的导数: (1)f(x)=x5+2x4+x3; (2) g(x)=3x+lnx ; (3)h(x)=cosx+sinx. 解: (1) f ’(x)=5x4+8x3+3x2; (2) g’(x)=3x· ln3+
[ f ( x x) f ( x)] [ g ( x x) g ( x)] f g
y f g x x x
y f g f g lim lim lim lim x 0 x x 0 x x x0 x x0 x
例1.求多项式函数
f(x)= a0 x a1 x
n n 1
an 1 x an 的导数。
n 1
解: f ’(x)=
(a0 x a1 x
n
an 1 x an ) '
n2
a0 nx
n 1
a1 (n 1) x
an 1
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例2.求y=xsinx的导数。
即 y ' ( f g ) ' f ' g '
同理可证 y ' ( f g ) ' f ' g ' 这个法则可以推广到任意有限个函数, 即 ( f1 f 2 f n ) ' f1 ' f 2 ' f n ' 函数积的求导法则 设f(x),g(x)是可导的函数,则
导数公式表
基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c f(x)= xn(n∈N*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a>0 且 a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0 且 a≠1) f(x)= ln x 导函数 f′(x)=0 n -1 f′(x)=nx f′ (x)=cos x f′(x)=-sin x f′(x)=axln a f′(x)=ex 1 f′ (x)= xln a 1 f′(x)= x
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g ( x) f ( x) g '( x)
两个函数的积的导数,等于第一个函 数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,
即 (uv)' u' v uv'
证:
y f ( x ) u( x )v( x ),
y u( x x )v ( x x ) u( x )v ( x ) u( x x )v ( x x ) u( x )v ( x x ) u( x )v ( x x ) u( x )v ( x ),
(C)(3x)’=3x
(D)(3x)’=3x· ln3
求下列函数的导数 1. y = cos(4 - 3 x) 2 y = ln(1 + x ) 2. 3.y=3x2+xcosx; 4. y= tan x ; x
2 5.y=xtanx- cos x ;
7. y ex 2e5 8.
1 y x 1 x 1
导数的四则运算法则 ①[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x). ②[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x). u′(x)v(x)-u(x)v′(x) u(x) ③[ ]′= (v(x)≠0). 2 v(x) [v(x)] 复合函数求导 复合函数 y =f(g(x)) 的导数和 y =f(u) , u =g(x) 的导数之间的关系为 yx′=f′(u)g′(x).
故所求切线的方程为 6 3 x-12y+6- 3π=0
(2)因为y=cosx,所以y’=-sinx,
3 所以 y ' |x 2 3
即k=
3 2
故所求切线的方程为 3 3 x+6y-3- 3 π=0.
例4.下列命题中正确的是( D )
1 ln10 (A)(log a x) (B) (log a x) x x
y u( x x ) u( x ) v ( x x ) v( x ) v ( x x ) u( x ) . x x x
因为v(x)在点x处可导, 所以它在点x处连续, 于是当Δx→0时, v(x+Δx)→ v(x).从而:
y u( x x ) u( x ) lim lim v ( x x ) x 0 x x 0 x v ( x x ) v ( x ) u( x ) lim u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); x 0 x
函数和(或差)的求导法则 设f(x),g(x)是可导的,则
(f(x)±g(x))’= f ’(x)±g’(x).
即两个函数的和(或差)的导数,等于这 两个函数的导数的和(或差). 即 (u v)' u 'v'
证明:令y=f(x)+g(x),则
y f ( x x) g ( x x) [ f ( x) g ( x)]
推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函 数的导数, 即: (Cu) Cu. 函数的商的求导法则 设f(x),g(x)是可导的函数,g(x)≠0, 两个函数的商的导数,等于分子的导数与 分母的积,减去分母的导数与分子的积, 再除以分母的平方,

f ( x) f '( x) g ( x) f ( x) g '( x) [ ]' g ( x) g 2 ( x)
1 x

(3) h’(x)=-sinx+cosx.
例3.求下列切线的方程:
1 (1)y=sinx在点A( , 2 1 (2)y=cosx在点B( , 2 3
6
)处的切线; )处的切线.
解:(1)因为y=sinx,所以y’=cosx,
3 所以 y ' |x 2 6
3 即 k= 2
3
x
9. y 10. y
x
1 x
x x
( x 1)(
2)
1
1 e 11. y 1 e
6.y= 1 1 . x
12. y
x
2
4
x
e
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