高一数学必修1(北师大版)第1章归纳总结

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空集的特殊性
[例 3] 设集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|2x2－ax＋2
＝0}，若 A∪B＝A，求实数 a 的值． [分析] A∪B＝A 可得到 B⊆A.
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[解析]
因为 A∪B＝A，所以 B⊆A.
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(1)∈与⊆的区别：∈是表示元素与集合间的关系的．因 此，有 1∈N，－1∉N.⊆是表示集合与集合间关系的，因此， N⊆R，∅⊆R. (2)a 与{a}的区别：一般地，a 表示一个元素，而{a}表示 只有一个元素 a 的一个集合．因此有 1∈{1,2,3},0∈{0}，{1} ⊆{1,2,3}，不能写成 0＝{0}，{1}∈{1,2,3},1⊆{1,2,3}．
从而错选 B.这是由于对集合概念理解不深
刻，仅注意了构成集合元素的共同属性而忽视了集合的元素 是什么．事实上，M、N 的元素是数而不是点，因此集合 M、 N 是数集而不是点集．
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将集合
1 x，y|y＝ ，|x|≤2，x∈Z x
1 此时 B＝{x|2x －5x＋2＝0}＝{2， }⃘ A， 2
2
∴a＝5 不符合题意． (3)若 B＝∅，则 a2－16<0 得－4<a<4，此时 B⊆A. 综上所述，a 值的集合为{a|－4<a≤4}． [方法总结]在集合问题中，若已知 A⊆B 或 A∩B＝A 或 A ∪B＝B 时，一定要注意集合 A 为空集这一特殊情形．
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3．“交、并、补”都是集合的运算，对于两个集合而言， 交集是指这两个集合的公共元素组成的集合，并集是指由这 两个集合的全部元素组成的集合(要注意集合元素的互异 性)．补集必须相对于指定的全集而言，一个集合的补集是指 由不属于这个集合的全集中的全部其它元素组成的集合．
用列举法表示为
______________．
[答案]
1 1 －2，－ ，－1，－1，1，1，2， 2 2
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[解析]
∵x∈Z，且|x|≤2，
∴x＝－2，－1,0,1,2，但当 x＝0 时，y 不存在，故相应的 y＝ 1 1 － 2 ， － 1,1 ， 2 ， 故 集 合 用 列 举 法 表 示 为 1 1 －2，－ ，－1，－1，1，1，2， 2 2
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分 别 求 出 当 全 集 U ＝ R ， A ＝ {x|x≥10} 和 全 集 U ＝ {x|x≥7}，A＝{x|x≥10}时的∁UA.
[解析] U＝R 时，∁UA＝{x|x<10}；
U＝{x|x≥7}时，∁UA＝{x|7≤x<10}． [方法总结] 在求补集时，千万不要忘了全集，因为同一 集合在不同的全集中的补集是不同的.
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集合的运算
[例 4] 已知全集 U＝{x|x2<50， x∈N}， L∩(∁UM)＝{1,6}，
M∩(∁UL)＝{2,3}，∁U(M∪L)＝{0,5}，求集合 M 和 L.
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[答案] 9
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[方法总结]这类试题的特点是： 通过给出新数学概念或新 运算方法，在新的情境下完成某种推理证明或指定要求．对 于本题，在一一列举时，我们要做到不重不漏．
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(3){0}与∅的区别：{0}是只含有一个元素的集合，∅是不 含有任何元素的集合，因此有∅⊆{0}，不能写成∅＝{0}，∅∈ {0}．而∅∈{∅}和∅ {∅}都正确，但它们反映了不同的意义．
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在(1){0}； (2){∅}； (3){x|3m<x<m}； (4){x|a＋2<x<a}； (5){x|x2 ＋1＝0，x∈R}中表示空集的是________．
[答案] (4)、(5)
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[解析]
∵A＝B，须分情况讨论．
(1)若 a＋b＝ac，则 a＋2b＝ac2， 解得 a＋ac2－2ac＝0. a＝0 时，集合 B 中的三个元素均为零，和元素互异性矛 盾，故 a≠0. ∴c2－2c＋1＝0，即 c＝1. 但 c＝1 时，B 中的三个元素又相同，故无解．
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[解析] 分拆；
(1)当 A1＝∅时，A2＝A＝{a，b}，此时只有 1 种
(2)当 A1 为单元素集时：A1＝{a}，A2＝{b}或 A2＝{a，b}； A1＝{b}，A2＝{a}或 A2＝{a集时，A1＝A＝{a，b}，A2 可取 A 的任 何子集，此时有 4 种分拆． 综上，共有 9 种分拆．
[解析]
M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，
N＝{y|y＝x＋1，x∈R}＝{y|y∈R}． 所以 M∩N＝{y|y≥1}∩{y|y∈R}＝{y|y≥1}．选 D. [答案] D
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[方法总结]
(1)集合是由元素构成的， 认识集合要从认识
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2．元素与集合，集合与集合间的关系 元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小与相 等关系． 元素与集合间用“∈”或“∉”表示． 集合与集合之间有包含关系，如子集、全集的关系，相 等关系，真子集关系． 熟练掌握集合的图形表示，会借助韦恩图、数轴解决集 合问题，树立数形结合解题的意识．
A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{x|(x－2)(x－1)＝0} ＝{1,2}． (1)若 1∈B，则 2×1－a×1＋2 得 a＝4. 当 a＝4 时，B＝{1}⊆A.符合题意． (2)若 2∈B，则 2×22－2a＋2＝0 得 a＝5.
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元素开始，要注意区分{x|y＝x2 ＋1，x∈R}，{y|y＝x2 ＋1，x ∈R}，{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}这三个集合是不同的． (2) 本 题 求
x＝0 y＝1 y＝x2＋1， M∩N ， 经 常 出 现 解 方 程 组 y＝x＋1，
得
x＝1， 或 y＝2.
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(2)具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或 方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关 集合转化为最简形式． (3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关 集合直观地表示出来，从而借助“数形结合思想”解决问题． 6．正确使用符号：∈，∉，⊆，⊇，，⊉，≠， ， ， 要正确理解其含义，并要区分一些易混淆的符号．
[解析]
第 一 步 ： 求 得 全 集 U ＝ {x|x2<50 ， x ∈ N} ＝
{0,1,2,3,4,5,6,7}； 第二步：将 L∩(∁UM)＝{1,6}，M∩(∁UL)＝{2,3}， ∁U(M∪L)＝{0,5}中的元素在 Venn 图中依次定位； 第三步：将元素 4,7 定位； 第四步：根据图中的元素位置，得集合 M＝{2,3,4,7}，集 合 L＝{1,4,6,7}．
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解答集合问题， 要明白它所表示的意义， 即元素指什么？ 是什么范围？紧紧抓住竖线前面的代表元素及它所具有的性 质． 判断给定对象能否构成集合时，要注意它的“确定性”， 在表示一个集合时，注意它的“互异性”，“无序性”．
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知识梳理
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本章主要学习了集合的概念，元素与集合、集合与集合 间的关系，以及子集的性质与集合间的运算性质等． 1．集合是“某些指定对象的全体” 构成集合的元素除了常见的数或点等数字对象外，还可 以是其他对象． 集合的元素具有：①确定性；②互异性；③无序性． 集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图法．
专题探究
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理解集合的概念
[例 1] 已知集合 M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋ ) B．{(0,1)，(1,2)} D．{y|y≥1}
1，x∈R}，则 M∩N＝( A．(0,1)，(1,2) C．{y|y＝1，或 y＝2}
(2)若 a＋b＝ac2，且 a＋2b＝ac， 消去 b 得 2ac2－ac－a＝0. ∵a≠0， ∴2c2－c－1＝0， 即(c－1)(2c＋1)＝0. 1 又 c≠1，故 c＝－2. 1 综上所述，c＝－ . 2
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已知集合 A 是由 0，m，m2－3m＋2 三个元素组成的，且 2∈A，则实数 m 为( A．2
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新定义中的信息迁移题
[例 5] 集合 A1，A2 满足 A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集
合 A 的 1 种分拆， 并规定： 当且仅当 A1＝A2 时， 1， 2)与(A2， (A A A1)为集合 A 的同一种分拆．则集合 A＝{a，b}的不同分拆有 ________种．
[答案] B
) C．0 或 3 D．0,2,3 均可
B．3
[解析]
若 m＝2，则 m2－3m＋2＝0，不满足互异性，故
舍去．若 m2－3m＋2＝2，则 m＝0 或 m＝3. m≠0， 2 又因为m －3m＋2≠0， m2－3m＋2≠m，
所以 m＝3.综上得 m＝3.
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4．求解含参数的集合运算问题，先对集合化简，使问题 明朗化，再对参数进行讨论，讨论时既不能重复也不能遗漏． 5．在集合运算过程中应力求做到“三化”： (1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集， 还是某类图形？是表示函数的定义域、值域，还是表示方程 或不等式的解集？
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章 集合
本章归纳总结
第一章 集合
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知识结构
知识梳理
专题探究 方法警示探究
即时巩固
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知识结构
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集合的特征
集合元素的互异性，是集合的重要属性．在解题过程中， 集合元素的互异性常常由于被忽视而出错． [例 2] 已知集合 A＝{a，a＋b，a＋2b}，
B＝{a，ac，ac2}．若 A＝B，求 c 的值．
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[解析]
(1)和(2)是很多同学初学时容易出现的对空集的
错误表示法．对于(3)，不要认为 3m>m 而断定{x|3m<x<m}是 空集，而当 m≤0 时，显然 3m>m 不成立．在(4)中，不论 a 为何实数，总有 a＋2>a，故是空集．对于(5)，在实数范围内 找不到平方等于－1 的实数，故为空集，因此应填(4)、(5).