幂函数-【新教材】人教A版高中数学必修
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面中的哪一个( C )
• [分析] 逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函数在 同一个坐标系的图象形状．
[解析] A 中直线对应函数 y＝x，曲线对应函数为 y＝x－1,1≠－1，
1
故 A 错；B 中直线对应函数为 y＝2x，曲线对应函数为 y＝x2
，2≠12，
故 B 错；C 中直线对应函数为 y＝2x，曲线对应函数为 y＝x2，当 x＝2 时，
[解析] (1)若 f(x)为正比例函数，则mm22＋＋2mm－≠10＝1 ，∴m＝1.
(2)若 f(x)为反比例函数，则mm22＋＋2mm－≠10＝－1 ，∴m＝－1.
(3)若 f(x)为二次函数，则mm22＋ ＋m2m－≠1＝ 0 2
，∴m＝－1±2
13 .
(4)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2.
关键能力·攻重难
题型探究 题型一 幂函数的概念 • 比例函例数1；(已2)反知比函例数函f(x数)＝；(m(32)＋二2次m)函xm数2＋；m－(41，)幂m函为数何．值时，f(x)是：(1)正
[分析] 本题将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一 起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：(1)正比例函数 y＝kx(k≠0)；(2)反比例函数 y＝kx(k≠0)；(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (4)幂函数 y＝xα(α 是常数)，转化为系数和指数的取值问题．
y＝x2
y＝x3
1
y＝x2
y＝x－1
x∈(0，＋∞) 单调性 __增____ 增；x∈(－∞，__增____
0) 减
__增____
x∈(0，＋∞) 减；x ∈(－∞，0)减
公共点
都经过点(1,1)
• 思考2：当α>0时，幂函数y＝xα的图象在第一象限内有什么共同特征？ • 提示：图象都是从左向右逐渐上升．
•知识点2 幂函数的图象及性质 • (1)五个幂函数的图象：
• (2)幂函数的性质：
幂函数 y＝x
y＝x2
y＝x3
1
y＝x2
y＝x－1
定义域 R
R
R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R 且 y≠0}
奇偶性 奇
偶
奇 非奇非偶
奇
幂函数 源自文库＝x
)C
• C．3
D．4
[解析] 由题意，得2mn＝－14＝0 ，∴mn＝＝21.， ∴m＋n＝3.
4．已知 α∈{－2，－1，－12，12，1,2,3}，若幂函数 f(x)＝xα 为奇函数， 且在(0，＋∞)上递减，则 α＝___－__1__.
[解析] ∵α∈{－2，－1，－12，12，1,2,3}， 且函数 f(x)＝xα 为奇函数，∴α＝－1,1,3， 又∵f(x)＝xα 在(0，＋∞)上递减，∴α＝－1.
2．(2019·安徽太和中学高一期中测试)已知幂函数 f(x)的图象过点
(2,2 2)，则 f(4)的值为( B )
A．4
B．8
C．2 2
D．12
[解析] 设 f(x)＝xα，∴2 2＝2α，∴α＝32.
3
3
3
∴f(x)＝x2 .∴f(4)＝42 ＝(22)2 ＝23＝8.
• 3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n等于( • A．1 B．2
基础自测
1．下列函数为幂函数的是( D )
A．y＝2x4
B．y＝2x3－1
C．y＝2x
D．y＝x2
[解析] y＝2x4 中，x4 的系数为 2，故 A 不是幂函数；y＝2x3－1 不
是 xα 的形式，故 B 不是幂函数；y＝2x＝2x－1，x－1 的系数为 2，故 C 不是
幂函数，故只有 D 是幂函数．
的图象来判断．
5
【对点练习】❷ (1)函数 y＝x3 的图象大致是( B )
(2)当 α∈{－1，12，1,3}时，幂函数 y＝xα 的图象不可能经过第 __二__、__四____象限．
5
[解析] (1)函数 y＝x3 ＝3 x5是定义域为 R 的奇函数，且此函数在定
义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除 A，C．另外，因为 y＝(12)53
[解析] ①中，x2 的系数为 3，故不是幂函数；②中，y＝x2＋1 不是
xα 的形式，故不是幂函数；③中，y＝－1x＝－x－1，系数是－1，故不是幂
函数；④中，y＝1x＝x－1
2
是幂函数；⑤中，y＝x3
是幂函数；⑥中，y＝x3
是幂函数．
题型二 幂函数的图象 例 2 函数 y＝xα 与 y＝αx(α∈{－1,1，12，2,3})的图象只可能是下
第三章
函数的概念与性质
• 【素养目标】
• 1．通过具体实例，理解幂的概念．(数学抽象)
• 2．会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质．(直观 想象)
• 3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理)
• 【学法解读】
• 以五种常见的幂函数为载体，学生应自己动手在同一个平面直角坐标系 下画出这五种幂函数的图象，通过观察比较研究其图象和性质，进而研 究一般幂函数的图象和性质．
22＝2×2，故 C 对；D 中直线对应函数为 y＝－x，曲线对应函数为 y＝x3，
－1≠3.故 D 错．
• [归纳提升] 解决幂函数图象问题应把握的两个原则
• (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：
• ①在(0,1)上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴； • ②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数的图象越远离x轴． • (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内
• [归纳提升] 形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指 数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不 是幂函数．
【对点练习】❶ 有下列函数：
①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－1x；④y＝1x；⑤y＝x23 ；⑥y＝x3. 其中，是幂函数的有__④__⑤__⑥____(只填序号)．
3.3 幂函数
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
必备知识·探新知
基础知识
•知识点1 幂函数的概念 • 函数_____y_＝__x_α叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． • 思考1：幂函数的解析式有什么特征？ • 提示：①系数为1；②底数x为自变量；③幂指数为常数．
• [分析] 逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函数在 同一个坐标系的图象形状．
[解析] A 中直线对应函数 y＝x，曲线对应函数为 y＝x－1,1≠－1，
1
故 A 错；B 中直线对应函数为 y＝2x，曲线对应函数为 y＝x2
，2≠12，
故 B 错；C 中直线对应函数为 y＝2x，曲线对应函数为 y＝x2，当 x＝2 时，
[解析] (1)若 f(x)为正比例函数，则mm22＋＋2mm－≠10＝1 ，∴m＝1.
(2)若 f(x)为反比例函数，则mm22＋＋2mm－≠10＝－1 ，∴m＝－1.
(3)若 f(x)为二次函数，则mm22＋ ＋m2m－≠1＝ 0 2
，∴m＝－1±2
13 .
(4)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2.
关键能力·攻重难
题型探究 题型一 幂函数的概念 • 比例函例数1；(已2)反知比函例数函f(x数)＝；(m(32)＋二2次m)函xm数2＋；m－(41，)幂m函为数何．值时，f(x)是：(1)正
[分析] 本题将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一 起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：(1)正比例函数 y＝kx(k≠0)；(2)反比例函数 y＝kx(k≠0)；(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (4)幂函数 y＝xα(α 是常数)，转化为系数和指数的取值问题．
y＝x2
y＝x3
1
y＝x2
y＝x－1
x∈(0，＋∞) 单调性 __增____ 增；x∈(－∞，__增____
0) 减
__增____
x∈(0，＋∞) 减；x ∈(－∞，0)减
公共点
都经过点(1,1)
• 思考2：当α>0时，幂函数y＝xα的图象在第一象限内有什么共同特征？ • 提示：图象都是从左向右逐渐上升．
•知识点2 幂函数的图象及性质 • (1)五个幂函数的图象：
• (2)幂函数的性质：
幂函数 y＝x
y＝x2
y＝x3
1
y＝x2
y＝x－1
定义域 R
R
R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R 且 y≠0}
奇偶性 奇
偶
奇 非奇非偶
奇
幂函数 源自文库＝x
)C
• C．3
D．4
[解析] 由题意，得2mn＝－14＝0 ，∴mn＝＝21.， ∴m＋n＝3.
4．已知 α∈{－2，－1，－12，12，1,2,3}，若幂函数 f(x)＝xα 为奇函数， 且在(0，＋∞)上递减，则 α＝___－__1__.
[解析] ∵α∈{－2，－1，－12，12，1,2,3}， 且函数 f(x)＝xα 为奇函数，∴α＝－1,1,3， 又∵f(x)＝xα 在(0，＋∞)上递减，∴α＝－1.
2．(2019·安徽太和中学高一期中测试)已知幂函数 f(x)的图象过点
(2,2 2)，则 f(4)的值为( B )
A．4
B．8
C．2 2
D．12
[解析] 设 f(x)＝xα，∴2 2＝2α，∴α＝32.
3
3
3
∴f(x)＝x2 .∴f(4)＝42 ＝(22)2 ＝23＝8.
• 3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n等于( • A．1 B．2
基础自测
1．下列函数为幂函数的是( D )
A．y＝2x4
B．y＝2x3－1
C．y＝2x
D．y＝x2
[解析] y＝2x4 中，x4 的系数为 2，故 A 不是幂函数；y＝2x3－1 不
是 xα 的形式，故 B 不是幂函数；y＝2x＝2x－1，x－1 的系数为 2，故 C 不是
幂函数，故只有 D 是幂函数．
的图象来判断．
5
【对点练习】❷ (1)函数 y＝x3 的图象大致是( B )
(2)当 α∈{－1，12，1,3}时，幂函数 y＝xα 的图象不可能经过第 __二__、__四____象限．
5
[解析] (1)函数 y＝x3 ＝3 x5是定义域为 R 的奇函数，且此函数在定
义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除 A，C．另外，因为 y＝(12)53
[解析] ①中，x2 的系数为 3，故不是幂函数；②中，y＝x2＋1 不是
xα 的形式，故不是幂函数；③中，y＝－1x＝－x－1，系数是－1，故不是幂
函数；④中，y＝1x＝x－1
2
是幂函数；⑤中，y＝x3
是幂函数；⑥中，y＝x3
是幂函数．
题型二 幂函数的图象 例 2 函数 y＝xα 与 y＝αx(α∈{－1,1，12，2,3})的图象只可能是下
第三章
函数的概念与性质
• 【素养目标】
• 1．通过具体实例，理解幂的概念．(数学抽象)
• 2．会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质．(直观 想象)
• 3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理)
• 【学法解读】
• 以五种常见的幂函数为载体，学生应自己动手在同一个平面直角坐标系 下画出这五种幂函数的图象，通过观察比较研究其图象和性质，进而研 究一般幂函数的图象和性质．
22＝2×2，故 C 对；D 中直线对应函数为 y＝－x，曲线对应函数为 y＝x3，
－1≠3.故 D 错．
• [归纳提升] 解决幂函数图象问题应把握的两个原则
• (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：
• ①在(0,1)上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴； • ②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数的图象越远离x轴． • (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内
• [归纳提升] 形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指 数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不 是幂函数．
【对点练习】❶ 有下列函数：
①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－1x；④y＝1x；⑤y＝x23 ；⑥y＝x3. 其中，是幂函数的有__④__⑤__⑥____(只填序号)．
3.3 幂函数
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
必备知识·探新知
基础知识
•知识点1 幂函数的概念 • 函数_____y_＝__x_α叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． • 思考1：幂函数的解析式有什么特征？ • 提示：①系数为1；②底数x为自变量；③幂指数为常数．