初中几何中线段和差的最大值与最小值模型解析

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初中几何中线段和（差）的最值问题
一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：
一）已知两个定点：
1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：
（2）点A 、B 在直线同侧：
A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
m
m B m
A B
m
n m
n
n
m
n
n
n
m
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（4）台球两次碰壁模型
变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.
填空：最短周长=________________
变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.
二）一个动点，一个定点：
（一）动点在直线上运动：
点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动
点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：
m n
m
n
m n
m
m
m
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2、点与圆在直线同侧：
（三）已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：
过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 同侧：
二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：
1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大；
（1）点A 、B 在直线m 同侧：
解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 异侧：
解析：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’
m
m
Q Q
P
B A
m。