自适应信号处理2013习题1

Z 1
U (n 1)
d ( n)
W1*
W2*
ˆ ( n) d
e( n )
题图 4-2 计算：利用 b1,b2, 1 , 2 来表示维纳滤波器表达式中的输入信号
2 2
U(n)自相关矩阵 R uu ，以及互相关矢量 rud 。 解答： 这个一个典型的维纳滤波问题， 期望应为 d n ， 输入信号为 U n ， 权向量应满足维纳霍夫方程
题图 5
解答： （1） 阵列接收信号 x n a s n
j M 1 j j 2 ，其中 方向矢量 a 1, e , e ,..., e T
2

d sin
阵列波束图公式说明（提示：可参考课本 9.3.1,注意的是课 本 中 的 指 的 是 0 的 情 况 ， 有
w n 1 w n x
H
n x n

e* n x n ） ；
(b)简化 LMS 算法
（思路提示：自适应调整方向仅取决于 xi n e n 的符号；权矢 量 的 更 新 公 式 可 简 化 为 几 种 形 式
；
wi n 1 wi n 2 sign xi n sign e n
wi n 1 wi n 2 sign xi n e n ； wi n 1 wi n 2 xi n sign e n
）
（3）格形滤波器的特性： 1）正交性： （提示：各阶预测输出 误差和输入的正交性及各阶后向预测误差的相互正交性，加公式说 明） 2）相关函数和反射系数的关系：平稳时间序列 的相关函数 值 由反射系数序列 完全确定，反之亦然。
（三）已知 4 点数据 x(0)、x(1)、x(2)、x(3)，采用二阶预测滤波器 时， (1)写出相关法输入矩阵 X1 和前加窗法之输入矩阵 X2 (2) 证明：相关法的相关矩阵 R1 X1T X1 是对称的和 Toeplitz 的； 解答： （1）相关法的输入矩阵为
0 x 0 x 1 x 0 X 1 x 2 x 1 x 3 x 2 0 x 3
0 x 0 x 0 x 1 x 2 x 3 0 x 1 x 0 E x 2 x 1 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 3 x 2 x 3 0 3 3 2 E x i x i 1 E x i i 0 i 1 3 2 3 E x i E x i 1 x i i 0 i 1
* 2
rx 1
再根据
p m E u n m d * n
有
p 0 E u n d * n =E
2
x n v n x n b x n 1
得到最优的滤波器权向量 w0 。 由
r i k E u n k u* n i
得
r 0 E u n u * n
E x n
=E x n v2 n x n v2 n
x n b2 x n 1 d n 确定，为
H1 Z
1 1 , H Z 2 1 b1 z 1 1 b2 z 1
1 1 b1 b2 z 1 b1b2 z 2
因此子系统 H1 和 H 2 级联的系统函数为
H Z H1 Z H 2 Z
法有时代价很大。 当信号和干扰为宽带时， 用窄带处理也将使性 能下降。 宽带的一种解决办法是采用 Frost 宽带阵， 但是这种阵 相当复杂。 用于改善处理系统在有误差、快速运动环境或宽带情 况下的情况下的性能的自适应算法称为稳健自适应算法。 常见的 Robust 算法包括导数约束法、双线性约束法、多线性约束法、 泛函不等式约束法、半无穷维二次优化法、范数约束法、波束空 间处理法和特征空间处理法一起其他许多方法。 （第二问） （提示：以课本 10.7 节涉及中的算法或课件中稳健 波束中的算法（第十章_2）为例说明，需要公式说明，并文字说明 该算法从哪方面对稳健性进行了增强）
（提示： 根据 R1 X1T X1 的表达式文字说明为什么该矩阵是对称的和 Toeplitz 的）
（四）某系统构成如题图 4-1 所示
v2 (n)
v1 (n)
d ( n)
x ( n)
H 2 ( z)
H1 ( z )
U (n)
题图 4-1 其中 v1 (n), v2 (n)为均值为 0,方差分别为 1 , 2 的高斯白噪声，
前加ห้องสมุดไป่ตู้法的输入矩阵为
0 x 0 x 1 x 0 X2 x 2 x 1 x 3 x 2
（2） 由 r i k E u n k u* n i 和 r m r * m 得： 相关法输入的相关矩阵
RX1 E X 1T X 1
T x 0 0 x 0 0 x 1 x 0 x 1 x 0 E x 2 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 0 x 3 0
Rw0 p
其中
r 0 r 1 p 0 R * , p r 1 r 0 p 1
由于维纳滤波器仅有两个抽头权系数，所以只需要分别计算出
r 0 、 r 1 、 p 0 和 p 1 4 个参数，再通过矩阵求逆运算，就可以
（一）简述: (1) LMS 算法与 RLS 算法有何特点? (2) 写出至少两种改进的 LMS 算法及其改进思路。 (3) 格形滤波器有何特点? 解答： （1） LMS 算法： 优点：(a)实现简单。 （提示：以计算量阐述该点） ； (b)稳定， 跟踪性能较好 缺点：收敛速度慢。 （提示：以影响收敛性的两个因素来阐明 该点） RLS 算法： 优点：(a)收敛性好（提示：其收敛速度与 LMS 算法相比较， 有哪些优点） ；(b)极限稳态误差为零 缺点：运算量较大（提示：每次迭代运算的计算量说明） （ 2） (a)归一化 LMS 算法 （思路提示：当输入功率变化时，失调系数即过剩误差 min 将变化，若使 LMS 算法的 值随输入功率 Pin 成反比变化，则过剩误 差 将 保 持 不 变 ; 权 矢 量 的 更 新 公 式 为
（二）简述: 为何要求自适应算法特别是空域自适应算法具有稳健性？可 以从哪几个方面增加算法稳健性？举例说明。 解答： （第一问）在处理系统存在误差、干扰、天线平台快速运动或 信号为宽带时，自适应处理器的性能将会降低。比如说，约束算 法对信号方向矢量很敏感，信号方向有误差时， 自适应处理器将 把其视为干扰而加以抑制。 对 SMI 算法来说， 最佳权为 w R 1a0 。 但必须根据阵列输入数据进行估计， 而估计必有误差， 同时由于 先验指示不准、通道幅相误差等均能造成性能下降。再如，通常 自适应波束零点比较尖锐，在干扰或者天线平台快速运动时， 若 处理速度跟不上， 就将使干扰抑制能力下降，而采用高速处理算
从而有
1 a2 12 rx 0 1 a2 1 a2 2 a12
rx 1
a1 rx 0 1 a2
（五）对于题图 5 的均匀线阵，其加权矢量为 w [w1 ,, wM ]T （1）求阵列波束图的表达式并分析影响波束图主瓣宽度的因素； （2）求在保持 0 阵输出为常数 f 的条件下使输出功率 Pout E y 2 最小的最佳权 w opt 及相应的最小输出功率 Pout min 。 （3）如果接收数据中包含了 1 个有用信号 s(t)及 1 个干扰信号 J(t), 试分析有用信号功率对(2)中求得的最佳权 w opt 的影响。
2
*

2
* x n v2 n x* n v2 n v2 n

2 rx 0 2
类似的，有
r 1 E u n u * n 1 =E
2
x n v n x n 1 v n 1
w [w1 ,, wM ]T ） w [1, ,1]T
，而这里
影响波束图主瓣宽度的因素（提示：见课本 9.3.1 中公式 （9.3.7） ，以文字说明受哪几个因素影响） （2）阵列输出 y n wH x n ，对权向量的约束为 wH a 0 f 输出功率 Pout E y 2 E wH xx H w wH Rx w 。 （余下思路提示：仿照线性约束最小方差（ LCMV ）或 MVDR 波 束 形 成 器 的 最 小 输 出 功 率 推 导 ， 其 中 不 同 点 是 需 把
或
H Z
X Z 1 V1 Z 1 a1 z 1 a2 z 2
其中 a1 b1 b2 , a2 b1b2 。由此得出， v1 n 与 x n 之间的差分方 程为
x n a1 x n 1 a2 x n 2 v1 n
从这里我们看出，我们需要知道 v1 n 与 x n 的输入输出关系。设
v1 n 和 x n 对应的 Z 变换分别为 V1 Z 和 X Z ，于是有
X Z H1 Z H 2 Z V1 Z H Z V1 Z
其 中 H1 Z 和 H 2 Z 分 别 由 差 分 方 程 d n b1d n 1 v1 n 和
2 2
H1 ( z)： d (n) b1d (n 1) v1 (n) U (n) x(n) v2 (n)
，
H 2 ( z)： x(n) b2 x(n 1) d (n)
，
如题图 4-2 所示，设计一个 2 阶维纳滤波器,其输入为 U(n)输出以 最小方差逼近 d(n)。
U (n)
* 2
rx 0 b2 rx 1
p 1 E u n 1 d * n
2
=E
x n 1 v n 1 x n b x n 1
* 2
rx 1 b2 rx 0