杨辉三角教学设计

教学设计说明
1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密
课题：1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密
一、教学内容解析：
本课题来自人教A版选修2—3第一章后的“探究与发现”。

杨辉三角蕴含了丰富的数字规律和数学思想方法，所以它是一个很有价值的探究性课题。

杨辉三角是一个特殊的数阵。

探究杨辉三角中的数字规律,有利于巩固学习二项式系数的性质，并对进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形有重要的作用。

对杨辉三角的研究，可以让学生通过总结，得到研究一般数阵的方法。

同时通过欣赏分形、斐波那契数列等有趣的数学内容，学生由此发现数学之美，激发对数学的学习兴趣。

另外，通过组织不同形式的探究，可以让学生学会观察、归纳等探究方法，体验数学当中发现和创造的历程，培养创新精神，也有利于学生理解数学知识，培养数学应用意识。

二、教学目标设置：
1、知识与技能：
1、从不同的角度，研究杨辉三角所蕴含的规律，并用组合数表示；
2、通过本节课的研究，归纳出杨辉三角的研究方法；
3、将杨辉三角的研究方法拓展为对一般数阵的研究方法。

2、过程与方法：
1、通过探究杨辉三角的数字规律，学会观察和分析问题，运用联系、类比的观点看待问题，从而解决问题，并能培养学生“从特殊到一般”进行归纳猜想的能力；
2、通过自主探究与合作交流，养成发现问题、探究知识、建构知识的学习习惯；
3、通过从不同角度探究问题，体会再发现再创造的过程，发展创造性思维。

3、情感态度与价值观：
1、以历史文化的实例引入，激发学生的学习兴趣，提升学生的民族自豪感；
2、通过归纳性思维的训练，养成踏实细致，严谨科学的学习习惯；
3、通过探索杨辉三角中的数字规律，形成独立思考、合作交流等良好的学习习惯，以及勇于批判、敢于创新的精神。

三、学生学情分析：
知识结构：学生已经学习过组合数的定义和性质以及二项式系数的性质，并对杨辉三角有一定的了解。

能力结构：作为正始中学高二创新班的学生已经具备了一定的综合分析问题的能力，适时的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题。

但是，他们对于规律的归纳还有一定的困难，需要适当的引导。

四、教学策略分析：
因为发现杨辉三角中的部分数字规律有一定的难度，本节课采用的是学生自主探究为主，教师引导探究为辅的探究课类型。

为了让学生感受数学的趣味性，本节课具体采用的是自主探究与合作交流相结合的探究方式。

探究时采用个人独立思考后小组合作互动的方式，重点在于发现数阵中的规律，使学生通过思维碰撞，擦出智慧的火花，达到共同完成建构知识的目的；也使不同层次的学生都学有所获，让学生体会发现和创造的趣味感，发展学生的创造性思维。

多媒体辅助教学的应用，节省时间，增大信息量，增强直观形象性。

提倡学习方式的多样化，本节课从情境引入→发现数字规律→利用组合数表述结论→证明结论，始终坚持让学生主动参与，亲身实践。

在学生合作、师生互动中，学生真正成为知识的发现者和研究者。

在这样的课堂中，不仅学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，而且对所用到的数学方法和涉及到的数学思想得以领会。

五、教学过程：
【教学目标】
1、从不同的角度，研究杨辉三角中所蕴含的规律，并用组合数表示；
2、通过杨辉三角的研究，总结归纳出杨辉三角的研究方法；
3、将杨辉三角的研究方法拓展为对一般数阵的研究方法。

【教学重点】通过不同的角度研究杨辉三角，得到杨辉三角的性质，并最终总结出一般数阵的研究方法。

【教学难点】将杨辉三角的规律用组合数来进行总结。

【教学过程】
1.1、引经据典，步入新课
(展示图片)今天这节课，我们从一幅图画开始，大家认识这两个图案吗？这是我们华夏传说中的河图、洛书。

“河出图，洛出书，圣人则之”，伏羲根据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州。

由此可以说河图、洛书是我们华夏文化的起源。

可你们知道吗，河图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。

什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵。

今天这节课，我们就一起来研究一下数阵。

当然，对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体。

所以，我们从一个特殊的三角数阵开始。

大家认识这个数阵吗？在古代，我们称它为“开方作法本源图”。

而在现代，它还有另外一个名字——“杨辉三角”。

杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色：北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数（垛积术）；牛顿用它算微积分；华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。

那么，我们又能从杨辉三角中探寻到哪些秘密呢？让我们一起来看一下。

【设计意图】新课标中提倡体现数学的文化价值。

在教学中通过历史知识引入课堂，既让学生了解一些数学史，激发学生的兴趣，同时培养学生的民族自豪感。

通过数阵的概念引入本节课，能引发学生的思考，为后续探究其他数阵做好铺垫。

学生不是只为研究杨辉三角而研究杨辉三角，而是能通过杨辉三角的研究，总结出一般数阵的研究方式。

1.2复习回顾，总结已知
杨辉三角在我们学习二项式系数的性质时已经有所接触。

那么,我们已经学习过杨辉三角的哪些性质呢？ ①：贾宪在他的《开方作法本源图 》中写道：“左衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉”，用今天的话来讲，就是说杨辉三角中的每一个数都是二项式系数，而二项式系数都可以写成组合数。

从而我们就可以把杨辉三角写成以下的形式，其中第n 行第r 个数可以写成1
1,--=r n r n C a ②：杨辉三角每一行之和为2的n-1次，
组合数表示：n n n n n r n n n n C C C C C C 2......1210=+++++-
③：杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和，用组合数表示就是：r n r n r n C C C =+---111，
这个结论最早是由南宋时期的杨辉所发现的，所以称之为杨辉恒等式。

④：杨辉三角是左右对称的：r n n r n C C -= 【设计意图】通过教师提问，学生回答的方式，让学生回顾前面所学杨辉三角的内容，即起到承上的作用，也为接下来的研究做好铺垫。

其中，杨辉恒等式能够让学生更容易发现和证明规律，而用组合数表示杨辉三角，能够让学生更容易总结出规律，是本节课研究的关键。

2.1小组合作，共探新知 在研究之前，我们首先需要来一起探讨一下，该如何去研究杨辉三角呢？
苏轼有一首诗对我很受启发。

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，这是苏轼的《题西林壁》。

这首诗告诉我们需要从不同的角度看待一项事物。

我们研究杨辉三角时，是不是也可以从这些“横看”， “侧看”，“远看（整体）”，“近看（局部）”等角度出发呢？下面，就让我们4人一组，从这四个角度出发，用数字格式的杨辉三角观察规律，用组合数格式的杨辉三角总结规律，并加以证明。

.................... 18285670562881172135352171161520156115101051146411331121111 012100121111211101665646362616065545352515054434241404332313032212021101............1n
n n r n n n n n n n-r n-r n-n-n-n C C ... .. C . C C C C ... C C ... C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C -----
【设计意图】导学案中已经为学生准备了两个杨辉三角，一个用数字表示，一个用组合数表示。

我要求学生从数字表示的杨辉三角中寻找规律，从组合数表示的杨辉三角中总结规律，并加以证明。

这体现了“观察——归纳——猜想——证明”的数学研究理念，并且通过小组合作的方式，既能降低探究的难度，也能培养学生的合作意识，提高学生的学习兴趣。

1210012111121110
1665646362616065545352515054434241404332313032212021101............1n n n r n n n n n n n-r n-r n-n-n-n C C ... .. C . C C C C ... C C ... C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C -----
2.2 小组展示，分享所得
杨辉三角的性质
角度一：横看
①：杨辉三角中每一行数的平方和都是杨辉三角中的数
n n n n n n C C C C 222120)...()()(=++
思路：既然杨辉三角每一行的和存在规律，那么每一行的平方和是不是也有规律呢？ 证明：由二项展开式可得
n n n r r n n n n n r n r n n n n n n n n r r n n n n
n n x
C x C x C C C x C x C x C x C x C x C C x x x 22221202110102......)......()......()1()1()1(++++=++++⨯++++∴+=+⨯+--Θ
取其中的x n 项
等式左边[]
n n n n n x C C C ⨯++=22120)...()()( 等式右边n n n x C 2=
由于等式两边相等，所以x n 项的系数也相等，即：
n n n n n n C C C C 222120)...()()(=++
②：杨辉三角每一行数字错一位叠加就得到11的若干次
证明：由二项展开式n n n n n n r r n n n n n x C x C x C x C x C C x +++++=+--112210 (1)
赋值x=10得到
n n n n n n r r n n n n n n C C C C C C 1010...10...101011)101(112210⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+==+--
因此，115
=1×100000+5×10000+10×1000+10×
100+5×10+1
在杨辉三角中，把第n 行中的数字错位排列相加，
其和就是11n-1
③：第1,2,4,8,16…这些行即2k （k 是自然数）行的各个数字均为奇数，第2k +1行除
两端的1之外都是偶数。

④：第p+1（p 为素数）行除去两端的数字1以外的所有数都能被p 整除，其逆命题也
成立，即对任意r ∈{1，2，…，n-1}，都有n C n r n ⇔|是素数。

角度二：侧看
①：每一斜行前n 个数加起来都是下面一行的第n 个数，
)(1121r n C C C C C r n r n r r r r r r >=+++++-++Λ(用杨辉恒等式证明)
思路：从求和的角度来研究的，既然横的一行相加存在规律，那么斜的一行相加是不是也可以得到一些结论？
证明：
1111121212111121 +-+--+++-++++-++=+=⋅⋅⋅=+++=++++=++++r n
r n r n r n r r r r r n r r r r r r r n r r r r r r C C C C C C C C C C C C C C ΛΛΛ ②：思路一：将杨辉三角30°角斜行加起来
思路二：将杨辉三角摆成直角三角形，45°角斜行相加
得到数列1、1、2、3、5、8、13、21、34 、55 、89 、144 …（斐波那契数列）。

1、它是由一对兔子的繁衍问题而产生的。

2、它的每一项都是前两项之和。

3、这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达：
4、当n 趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越接近黄金分割0.618。

5、斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣）、蜂巢、蜻蜓翅膀等。

③：杨辉三角中斜的第一行是一个常数数列，第二行是等差数列，第三行开始每一行都是高阶等差数列。

角度三：远看（整体）
①：将杨辉三角中的奇数用线段连接起来，就构成了一个歇尔宾斯基三角。

②：2n 阶杨辉三角中，共有3n 个奇数，共有2n-1(1+2n )- 3n 个偶数（k ∈N*）。

角度四：近看（局部）
①：梯形中5个数相加就是下面隔行的数：23211111++++++++=++++r n r n r n r n r n r n C C C C C C
思路：根据杨辉恒等式，杨辉三角每一个数都是上面两个数之和，那么是不是可以进一步将这两个数向上推导？
证明：根据杨辉恒等式：
21
11112111111221223 )()( +++++++++++++++++++++++=+++=+=r n r n r n r n r n r n r n r n r n r n r n r n C C C C C C C C C C C C
②：由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞，1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4。

最小而又大于1的数在杨辉三角形至少出现n 次的数为2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003。

除了1之外，所有正整数都出现有限次。

只有2出现刚好一次。

6,20,70等出现三次。

出现两次和四次的数很多。

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=n n n a 25121555
还未能找到出现刚好五次的数。

120,210,1540等出现刚好六次。

【设计意图】每个小组发言，结合性质的特点，进行组合数的总结。

在总结过程中，从特殊情形出发，推导出性质的一般表示，体现从特殊到一般的思想。

通过学生归纳猜想，引导学生验证猜想结论是否正确？同时为了突破利用科学探究的思想指导学生研究未知数阵这一难点，引导学生从模型化的角度出发，多角度的分析问题、探究问题、解决问题，将学生思维推向高潮。

这既加深学生对前后知识内在联系的理解，又从深度和广度上让学生感受数学知识的串联和呼应。

教师补充，再得新知
①将杨辉三角中的奇数用线段连接起来，就可以得到一个有趣的三角形----歇尔宾斯基三角。

②对歇尔宾斯基三角进行拓展——谢尔宾斯基塔（三棱锥）——谢尔宾斯基地毯（正方形）——谢尔宾斯基海绵（正方体）——分形数学。

③介绍分形之美。

④通过30°角斜行相加，得到斐波那契数列，展示斐波那契数列的优美视频。

【设计意图】对杨辉三角中部分学生没有发现的性质，教师做简单补充，既让学生了解到杨辉三角中更多的秘密，也让学生学会从不同的角度看待问题。

同时，图片、视频形式的资料直观地展现数学之美，增加学生对数学的热爱之情。

3、探究小结,盘点新知
本节课的收获：
①杨辉三角的秘密，同时也是二项式系数的性质。

②通过对杨辉三角的研究，学生得到对于一般数阵的研究方法----横看，竖看，侧看，局
部看，整体看。

【设计意图】本环节通过教师的引导，让学生总结本节课的收获，并由老师作必要补充。

将收获分为两层境界：首先是知识上的收获，即杨辉三角的秘密；其次是方法上的收获，通过对杨辉三角的研究，得到了对一般数阵的研究思路。

从观察横行，斜行，竖行，折线，局部，整体等角度研究。

作业：1查找资料，并阅读华罗庚的《从杨辉三角
说起》，看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘
密。

2用我们今天所学的探究方法，研究莱布尼
茨三角，你能从这个数阵中发现哪些秘密呢？
附:导学案
“杨辉三角”中的一些秘密
班级____姓名_____
阅读材料：杨辉三角的历史
《易·系辞上》：“河出图，洛出书，圣人则之。

”相传，伏羲在黄河边思考天地的至理。

突然，一匹龙马从黄河中奔腾而出。

伏羲发现，龙马的身上有一幅图画。

伏羲从图中领悟了八卦，这幅图就是传说中的河图。

大禹在治理洪水时，有一只大乌龟从洛水中浮出，背上刻有纹理。

大禹依据这些纹理划分了九州，这些纹理就是洛书。

河图，洛书是我们华夏文化的起源。

同时，他们也是世界上最古老的数阵。

数阵的概念与数列很相似，我们将数字按一定的顺序排列成图形就构成了数阵。

杨辉三角就是一个特殊的数阵，其最早出现在北宋贾宪的“开方作法本源图”中。

南宋时期的杨辉在他的著作《详解九章算术》中引用了这幅图，并注明了“出释锁算书，贾宪用此术”。

元朝的朱世杰对杨辉三角作了进一步研究，从中推导出了高阶差分数列的求和。

在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了这个三角,所以“杨辉三角”在国外又被称为“帕斯卡三角”。

世界著名数学家华罗庚在他的《从杨辉三角谈起》中将其称为“杨辉三角”，于是才有了“杨辉三角”的说法。

近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）。

杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色，宋朝的贾宪用它手算高次方根，元朝的朱世杰用它研究高阶差分数列（垛积术），牛顿用它算微积分，华罗庚老先生思路更广，差分方程、无穷级数都谈到了。

同学们，我们又能发现杨辉三角的哪些秘密呢？
一:回顾杨辉三角
第 1行 1
第 2行 1 1
第 3行 1 2 1
第 4行 1 3 3 1
第 5行 1 4 6 4 1
第 6行 1 5 10 10 5 1
第 7行 1 6 15 20 15 6 1
第8行_________________________________________
……………………………..
我们已经学习过杨辉三角的哪些性质？
______________________________________________________________
第 1行 1
第 2行 1 1
第 3行 1 2 1
第 4行 1 3 3 1
第 5行 1 4 6 4 1
第 6行 1 5 10 10 5 1
第 7行 1 6 15 20 15 6 1
第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1
第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 第14行______________________________________________________________________
……………………………..
第n+1行_______________________________________________________________________
012100121111211101665646362616065545352515054434241404332313032212021101............1n
n n r n n n n n n n-r n-r n-n-n-n C C ... .. C . C C C C ... C C ... C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C -----
结论1：_______________________________________________________________________ 结论2：_______________________________________________________________________ 结论3：_______________________________________________________________________ 结论4：_______________________________________________________________________ 结论5：_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
第 1行 1
第 2行 1 1
第 3行 1 2 1
第 4行 1 3 3 1
第 5行 1 4 6 4 1
第 6行 1 5 10 10 5 1
第 7行 1 6 15 20 15 6 1
第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1
第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
提示：将杨辉三角摆放成直角三角形，谈谈你们组的发现
_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
六:三探杨辉三角
2
6 4
6
56 28 8
126
210
462
12 792 12
提示：将杨辉三角中的奇数涂黑，又会有怎样的发现？
_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________
七:小结与收获：通过本节课，你对数阵的研究有什么心得？
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八:课后探索
1查找资料，并阅读华罗庚的《从杨辉三角说起》，看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘密。

2用我们今天所学的探究方法，研究莱布尼茨三角，你能从这个数阵中发现哪些秘密呢？
《“杨辉三角”中的一些秘密》11。