3.1微分方程的几个简单实例 数学建模
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一般情况下,在同一截面上 但由题意可以看出,因金属 的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与两侧的温差成正比, dt时间内通过距离O点x+dx处截面的热量为: AT '( x dx)dt 的各点处温度也不尽相同, 杆较细且金属杆导热系数又 比例系数与介质有关。 AT '( x dx)dt A[T '( x) T ( x)dx]dt 由泰勒公式: 如果这样来考虑问题,本题 较大,为简便起见,不考虑 要建的数学模型当为一偏微 这方面的差异,而建模求单 金属杆的微元 [x,x+dx]在dt内由获得热量为: AT ( x)dxdt 变量函数 分方程。 T(x)。 Bdx[T ( x) T3 ]dt 同时,微元向空气散发出的热量为:
例3 一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了
水,但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在t=0时刻 被打开,水被不断放出。问:容器中的水被放完总共 需要多少时间?
解: 以容器的底部O点为 原点,取坐标系如图3.3所示。 令h(t)为t时刻容器中水的高度,现建立h(t)满足的微分 方程。 设水从小孔流出的速度为 0.6S 2hgv(t),由力学定律,在不计水 dh 即: 的内部磨擦力和表面张力的假定下,有: dt [ R2 ( R h)2 ] (t ) 0.6 2gh 这是可分离变量的一阶微分方程,得 y 2 2 0 [ R ( R h) ] 因体积守衡,又可得: T dh 易见:
例1 (理想单摆运动)建立理想单摆运动满足的微
分方程,并得出理想单摆运动的周期公式。 从图 g 中不难看出,小球所受的合力为mgsinθ, 3-1 根据牛顿第二定律可得: 0 (3.2)
(3.1)的 近似方程
从而得出两阶微分方程: ( 3.2)的解为: θ(t)= θ0cosωt 这是理想单摆应 g g sin 0 (3.1) 满足的运动方程 其中 l l T 时 当 ,θ(0) (t)=0 t (0) 0, 0 4 gT 故有 l 4 2 (3.1)是一个两阶非线性方程,不 由此即可得出 易求解。当 θ很小时,sinθ≈θ,此时, g T 2 可考察(3.1)的近似线性方程:
这一问题属于对策问题,较为复杂。讨论以下简单情形:
敌潜艇发现自己目标已暴露后,立即下潜,并沿着直 线方向全速逃逸,逃逸方向我方不知。 设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇,取极坐标,以B 为极点,BA为极轴,设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方 程为r=r(θ),见图3-2。 A1 dr ds dr 由题意, 2 ,故ds=2dr ds dt dt
(2R h h )dh 2 2 R r0.6 SR 2 g( R h)
3 2 5 2
S 2 dV 0.6 r 2 dh gh s dt 0
R
3 2
R r h
5 2
故有:
42 2 0 14 R [R (R Rh hS 2 h) ]dh 0.6 R ghdt 5 0.6S 2 g 3 9S 2 g
微分方程模 型
浙江大学数学建模实践基地
§3.1 微分方程的几个简单实例
在许多实际问题中,当直接导出变量之间的函数关系 较为困难,但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时,可用建立微分方程模型的方法来研究该问题,
本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中,微分方程是十分常 用的数学工具之一。
l
l ml mg sin (0) 0, (0) 0
l
M P Q
mg
图3-1
例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了
我方巡逻艇,并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩,潜水艇最 大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节,问巡逻艇应如何追赶潜 水艇。
dθ
(ds)2 (dr )2 (rd )2 图3-2可看出,
B
θ 图3-2
A
故有: 3(dr )2 r 2 (d )2 即:
r dr d 3
(3.3) (3.4)
解为:r
Ae
3
追赶方法如下:
先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按(3.4) 对数螺线航行,即可追上潜艇。
T2 T1 Bdx AT ( x)dxdt [ T ( x ) T3 ]dt 系统处于热平衡状态,故有: l
所以金属杆各处温度T(x)满足的微分方程: o
这是一个两阶常系数线 性方程,很容易求解
T ( x)
B T3 (T T3 ) A
x
A
B
O
x
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S
图3-3
例4 一根长度为l的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上,一
端的温度恒为T1,另一端温度恒为T2,(T1、T2为常数,T1> T2)。 金属杆横截面积为A,截面的边界长度为B,它完全暴露在空气中, 空气温度为T3,(T3< T2,T3为常数),导热系数为α,试求金属 杆上的温度分布T(x),(设金属杆的导热率为λ) dt时间内通过距离O点x处截面的热量为: AT '( x)dt 热传导现象机理:当温差在一定范围内时,单位时间里由温度高