3.1微分方程的几个简单实例 数学建模

一般情况下，在同一截面上 但由题意可以看出，因金属 的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与两侧的温差成正比， dt时间内通过距离O点x+dx处截面的热量为： AT '( x dx)dt 的各点处温度也不尽相同， 杆较细且金属杆导热系数又 比例系数与介质有关。 AT '( x dx)dt A[T '( x) T ( x)dx]dt 由泰勒公式： 如果这样来考虑问题，本题 较大，为简便起见，不考虑 要建的数学模型当为一偏微 这方面的差异，而建模求单 金属杆的微元 [x,x+dx]在dt内由获得热量为： AT ( x)dxdt 变量函数 分方程。 T(x)。 Bdx[T ( x) T3 ]dt 同时，微元向空气散发出的热量为：
例3 一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了
水，但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在t=0时刻 被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共 需要多少时间？
解: 以容器的底部O点为 原点，取坐标系如图3.3所示。 令h(t)为t时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分 方程。 设水从小孔流出的速度为 0.6S 2hgv(t)，由力学定律，在不计水 dh 即： 的内部磨擦力和表面张力的假定下，有： dt [ R2 ( R h)2 ] (t ) 0.6 2gh 这是可分离变量的一阶微分方程，得 y 2 2 0 [ R ( R h) ] 因体积守衡，又可得： T dh 易见：
例1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微
分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图 g 中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ， 3-1 根据牛顿第二定律可得： 0 （3.2）
（3.1）的 近似方程
从而得出两阶微分方程： （ 3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt 这是理想单摆应 g g sin 0 （3.1） 满足的运动方程 其中 l l T 时 当 ,θ(0) (t)=0 t (0) 0, 0 4 gT 故有 l 4 2 （3.1）是一个两阶非线性方程，不 由此即可得出 易求解。当 θ很小时，sinθ≈θ，此时， g T 2 可考察（3.1）的近似线性方程：
这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：
敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。 设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B 为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方 程为r=r(θ)，见图3-2。 A1 dr ds dr 由题意， 2 ，故ds=2dr ds dt dt
(2R h h )dh 2 2 R r0.6 SR 2 g( R h)
3 2 5 2
S 2 dV 0.6 r 2 dh gh s dt 0
R

3 2
R r h
5 2
故有：
42 2 0 14 R [R (R Rh hS 2 h) ]dh 0.6 R ghdt 5 0.6S 2 g 3 9S 2 g
微分方程模 型
浙江大学数学建模实践基地
§3.1 微分方程的几个简单实例
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
l
l ml mg sin (0) 0, (0) 0
l
M P Q
mg
图3-1
例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了
我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最 大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜 水艇。
dθ
(ds)2 (dr )2 (rd )2 图3-2可看出，
B
θ 图3-2
A
故有: 3(dr )2 r 2 (d )2 即:
r dr d 3

（3.3） （3.4）
解为：r
Ae
3
追赶方法如下：
先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按（3.4） 对数螺线航行，即可追上潜艇。
T2 T1 Bdx AT ( x)dxdt [ T ( x ) T3 ]dt 系统处于热平衡状态，故有： l
所以金属杆各处温度T(x)满足的微分方程: o
这是一个两阶常系数线 性方程，很容易求解
T ( x)
B T3 (T T3 ) A
x
A
B
O
x
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S
图3-3
例4 一根长度为l的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一
端的温度恒为T1，另一端温度恒为T2，（T1、T2为常数，T1> T2）。 金属杆横截面积为A，截面的边界长度为B，它完全暴露在空气中， 空气温度为T3，（T3< T2，T3为常数），导热系数为α，试求金属 杆上的温度分布T(x)，（设金属杆的导热率为λ） dt时间内通过距离O点x处截面的热量为： AT '( x)dt 热传导现象机理：当温差在一定范围内时，单位时间里由温度高