几种积分之间的关系
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所以
L
P( x, y)dx Q( x, y)dy P( x, y) cos Q( x, y) cos ds ， 即第二类曲线积分是
L
第一类曲线积分的特殊情形．
⑤
设有向曲线弧 L 的参数方程为
x x(t ) ，且当参数 t 单调地从 变到 时，点 y y (t )
（积分上限必须大于积分下限） ．
④ 第二类曲线积分
L
P( x, y)dx Q( x, y)dy ，其中 L 是 xOy 面上的有向光滑曲线弧．
设 t cos ,cos 表示曲线 L 的单位切向量，因为有向曲线元
r
uu r r ds t ds cos ,cos ds dx, dy （化曲为直） ，
Dxy
要根据 是锐角还是钝角来定； 当
2
时，
R( x, y, z)dxdy 0 ．
⑨ 格林公式的应用——平面曲线积分与路径无关（P.169）
4
是第一类曲面积分的特殊情形．
⑧ 第二类曲面积分的计算 情形 1：设曲面 : x x( y, z ) ， ( y, z ) Dyz ，则 当
2
时，
P( x, y , z )dydz P x (y , z ), y ,z dydz ，上式右端取“+”号或“−”
M ( x, y) 从的起点 A 沿 L 运动到终点 B ，则
2
L
P( x, y)dx Q( x, y)dy
P x(t ), y(t ) x(t ) Q x(t ), y(t ) y(t ) dt
（积分下限 对应起点 A ，积分上限 对应终点 B ） ． 若 L : y y( x) ，起点为 a ，终点为 b ，则把 x 看作参数 t ，化为参数方程的情形． 若 L : x x( y) ，起点为 c ，终点为 d ，则把 y 看作参数 t ，化为参数方程的情形． 上述公式可以推广到空间有向曲线弧 的情形．
1
③ 第一类曲线积分
L
f ( x, y)ds ，其中 L 是 xOy 面上的光滑曲线段，弧长微元
ds (dx)2 (dy)2 ．
情形 1：设曲线 L 的参数方程为
x x(t ) 2 2 ， t ，则 ds [ x(t )] [ y(t )] dt ， y y (t )
2 2
f ( x, y, z)dS f x, y, z( x, y)
Dxy
2 2 1 zx zy dxdy ．
情形 2： 设曲面 : x x( y, z ) ，( y, z ) Dyz ， 则曲面 的面积微元 dS 1 x y xz dydz ，
x r cos ，面积微元 d rdrd ． y r sin
x r cos 在柱面坐标系下， y r sin ，体积微元 dv rdrd dz ； z z x r sin cos 2 在球面坐标系下， y r sin sin ，体积微元 dv r sin drd d ． z r cos
几种积分之间的关系
⑤ ③
第一层次
定积分
第一类 曲线积分
④
第二类 曲线积分 斯克托斯 公式 （P.195） 第二类 曲面积分
①
穿线法
⑨ 格林公式（P.169）
第二层次
二重积分
⑥
第一类 曲面积分 ⑧
⑦
②
投影法 截面法
高斯公式（P.188）
第三层次
三重积分
备注： ① 关于二重积分 在直角坐标系下，面积微元 d dxdy ； 在极坐标系下， ② 关于三重积分 在直角坐标系下，体积微元 dv dxdydz ；
x x(t ) 设 的参数方程为 y y (t ) ，则 z z (t )
P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz P x(t ), y (t ), z (t ) x(t ) Q x(t ), y (t ), z (t ) y(t ) R x(t ), y (t ), z (t ) z (t ) dt
x x(t ) 2 2 2 设 的参数方程为 y y (t ) ， t ，则 ds [ x(t )] [ y(t )] [ z(t )] dt ， z z (t )
f ( x, y, z )ds f x(t ), y(t ), z (t ) [ x(t )]2 [ y(t )]2 [ z (t )]2 dt
设 n cos ,cos ,cos 表示有向曲面 的单位法向量，因为有向曲面元
3
r
uu r r ， dS n dS cos ,cos ,cos dS dydz, dzdx, dxdy （化曲为直）
所以
Pdydz Qdzdx Rdxdy P cos Q cos R cos dS ，即第二类曲面积分
Dyz
源自文库
号要根据 是锐角还是钝角来定； 当
2
时，
Q( x, y, z)dzdx 0 ．
情形 3：设曲面 : z z ( x, y) ， ( x, y) Dxy ，则 当
2
时，
R( x, y, z)dxdy R x, y, z( x, y) dxdy ，上式右端取“+”号或“−”号
L
． f ( x, y)ds f x(t ), y(t ) [ x(t )]2 [ y(t )]2 dt （积分上限必须大于积分下限）
情形 2：设曲线 L : y y( x) ， a x b ，则把 x 看作参数 t ，转化为第 1 种情形． 情形 3：设曲线 L : x x( y) ， c y d ，则把 y 看作参数 t ，转化为第 1 种情形． 情形 4：设曲线 L 的极坐标方程为 r r ( ) ， ，则 ds
2 2
f ( x, y, z)dS f x( y, z), y, z
Dxz
2 1 xy xz2 dydz ．
情形 3： 设曲面 : y y( z, x) ，( z, x) Dzx ， 则曲面 的面积微元 dS 1 yz yx dzdx ，
Dyz
号要根据 是锐角还是钝角来定； 当
2
时，
P( x, y, z)dydz 0 ．
情形 2：设曲面 : y y( z, x) ， ( z, x) Dzx ，则 当
2
时，
Q( x, y , z )dzdx Q x , y (z ,x ),z dzdx ，上式右端取“+”号或“−”
（积分下限 对应起点 A ，积分上限 对应终点 B ） ．
⑥ 第一类曲面积分
f ( x, y, z)dS ，其中 是光滑曲面．
情形 1： 设曲面 : z z ( x, y) ，( x, y) Dxy ， 则曲面 的面积微元 dS 1 z x z y dxdy ，
r ( )2 [r ( )]2 d ，
L
f ( x, y)ds f (r cos , r sin ) r ( ) 2 [r ( )]2 d （积分上限必须大于积分下限） ．
情形 5：如果曲线 L 的方程以一般方程给出，则可以将其先化为参数方程再来计算． 上述公式可以推广到空间曲线 的情形．
2 2
f ( x, y, z)dS f x, y( z, x), z
Dxz
2 1 y z2 y x dzdx ．
⑦ 第二类曲面积分 滑曲面．
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z )dxdy ，其中 是有向光
L
P( x, y)dx Q( x, y)dy P( x, y) cos Q( x, y) cos ds ， 即第二类曲线积分是
L
第一类曲线积分的特殊情形．
⑤
设有向曲线弧 L 的参数方程为
x x(t ) ，且当参数 t 单调地从 变到 时，点 y y (t )
（积分上限必须大于积分下限） ．
④ 第二类曲线积分
L
P( x, y)dx Q( x, y)dy ，其中 L 是 xOy 面上的有向光滑曲线弧．
设 t cos ,cos 表示曲线 L 的单位切向量，因为有向曲线元
r
uu r r ds t ds cos ,cos ds dx, dy （化曲为直） ，
Dxy
要根据 是锐角还是钝角来定； 当
2
时，
R( x, y, z)dxdy 0 ．
⑨ 格林公式的应用——平面曲线积分与路径无关（P.169）
4
是第一类曲面积分的特殊情形．
⑧ 第二类曲面积分的计算 情形 1：设曲面 : x x( y, z ) ， ( y, z ) Dyz ，则 当
2
时，
P( x, y , z )dydz P x (y , z ), y ,z dydz ，上式右端取“+”号或“−”
M ( x, y) 从的起点 A 沿 L 运动到终点 B ，则
2
L
P( x, y)dx Q( x, y)dy
P x(t ), y(t ) x(t ) Q x(t ), y(t ) y(t ) dt
（积分下限 对应起点 A ，积分上限 对应终点 B ） ． 若 L : y y( x) ，起点为 a ，终点为 b ，则把 x 看作参数 t ，化为参数方程的情形． 若 L : x x( y) ，起点为 c ，终点为 d ，则把 y 看作参数 t ，化为参数方程的情形． 上述公式可以推广到空间有向曲线弧 的情形．
1
③ 第一类曲线积分
L
f ( x, y)ds ，其中 L 是 xOy 面上的光滑曲线段，弧长微元
ds (dx)2 (dy)2 ．
情形 1：设曲线 L 的参数方程为
x x(t ) 2 2 ， t ，则 ds [ x(t )] [ y(t )] dt ， y y (t )
2 2
f ( x, y, z)dS f x, y, z( x, y)
Dxy
2 2 1 zx zy dxdy ．
情形 2： 设曲面 : x x( y, z ) ，( y, z ) Dyz ， 则曲面 的面积微元 dS 1 x y xz dydz ，
x r cos ，面积微元 d rdrd ． y r sin
x r cos 在柱面坐标系下， y r sin ，体积微元 dv rdrd dz ； z z x r sin cos 2 在球面坐标系下， y r sin sin ，体积微元 dv r sin drd d ． z r cos
几种积分之间的关系
⑤ ③
第一层次
定积分
第一类 曲线积分
④
第二类 曲线积分 斯克托斯 公式 （P.195） 第二类 曲面积分
①
穿线法
⑨ 格林公式（P.169）
第二层次
二重积分
⑥
第一类 曲面积分 ⑧
⑦
②
投影法 截面法
高斯公式（P.188）
第三层次
三重积分
备注： ① 关于二重积分 在直角坐标系下，面积微元 d dxdy ； 在极坐标系下， ② 关于三重积分 在直角坐标系下，体积微元 dv dxdydz ；
x x(t ) 设 的参数方程为 y y (t ) ，则 z z (t )
P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz P x(t ), y (t ), z (t ) x(t ) Q x(t ), y (t ), z (t ) y(t ) R x(t ), y (t ), z (t ) z (t ) dt
x x(t ) 2 2 2 设 的参数方程为 y y (t ) ， t ，则 ds [ x(t )] [ y(t )] [ z(t )] dt ， z z (t )
f ( x, y, z )ds f x(t ), y(t ), z (t ) [ x(t )]2 [ y(t )]2 [ z (t )]2 dt
设 n cos ,cos ,cos 表示有向曲面 的单位法向量，因为有向曲面元
3
r
uu r r ， dS n dS cos ,cos ,cos dS dydz, dzdx, dxdy （化曲为直）
所以
Pdydz Qdzdx Rdxdy P cos Q cos R cos dS ，即第二类曲面积分
Dyz
源自文库
号要根据 是锐角还是钝角来定； 当
2
时，
Q( x, y, z)dzdx 0 ．
情形 3：设曲面 : z z ( x, y) ， ( x, y) Dxy ，则 当
2
时，
R( x, y, z)dxdy R x, y, z( x, y) dxdy ，上式右端取“+”号或“−”号
L
． f ( x, y)ds f x(t ), y(t ) [ x(t )]2 [ y(t )]2 dt （积分上限必须大于积分下限）
情形 2：设曲线 L : y y( x) ， a x b ，则把 x 看作参数 t ，转化为第 1 种情形． 情形 3：设曲线 L : x x( y) ， c y d ，则把 y 看作参数 t ，转化为第 1 种情形． 情形 4：设曲线 L 的极坐标方程为 r r ( ) ， ，则 ds
2 2
f ( x, y, z)dS f x( y, z), y, z
Dxz
2 1 xy xz2 dydz ．
情形 3： 设曲面 : y y( z, x) ，( z, x) Dzx ， 则曲面 的面积微元 dS 1 yz yx dzdx ，
Dyz
号要根据 是锐角还是钝角来定； 当
2
时，
P( x, y, z)dydz 0 ．
情形 2：设曲面 : y y( z, x) ， ( z, x) Dzx ，则 当
2
时，
Q( x, y , z )dzdx Q x , y (z ,x ),z dzdx ，上式右端取“+”号或“−”
（积分下限 对应起点 A ，积分上限 对应终点 B ） ．
⑥ 第一类曲面积分
f ( x, y, z)dS ，其中 是光滑曲面．
情形 1： 设曲面 : z z ( x, y) ，( x, y) Dxy ， 则曲面 的面积微元 dS 1 z x z y dxdy ，
r ( )2 [r ( )]2 d ，
L
f ( x, y)ds f (r cos , r sin ) r ( ) 2 [r ( )]2 d （积分上限必须大于积分下限） ．
情形 5：如果曲线 L 的方程以一般方程给出，则可以将其先化为参数方程再来计算． 上述公式可以推广到空间曲线 的情形．
2 2
f ( x, y, z)dS f x, y( z, x), z
Dxz
2 1 y z2 y x dzdx ．
⑦ 第二类曲面积分 滑曲面．
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z )dxdy ，其中 是有向光