几种求定积分的方法
求定积分的几种特殊技巧
求定积分的几种特殊技巧作为数学中最基础也是最重要的分支之一，积分在科学、工程等领域中有着广泛的应用。
其中，定积分是计算曲线下的面积、求平均值、做物理学中的力学功等问题时必不可少的工具之一。
但是对于某些比较复杂的函数，直接计算其定积分是非常困难的，因此本文将介绍一些求解定积分的技巧。
一、换元法换元法是求解定积分中最常用的方法之一。
它的原理在于将原式的变量替换为一个新的变量，以消除被积函数中的一些难以处理的形式。
常见的换元方式包括正逆三角函数的换元、指数函数的换元、以及复合函数的换元等。
例如，若要求$ \int_0^1\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^2}}dx$，则可以进行正弦函数换元$x=\sin t$，得到$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}2\sin t dt$$ 将以上式子简化即可得到答案。
二、分部积分法分部积分法是求解定积分中比较常见的技巧之一。
它的基本思路在于将被积函数分解成两个因子的乘积形式，并运用导数和乘积的关系来求解。
常见的函数形式包括：多项式与三角函数、多项式与指数函数的积等。
例如，若要求$ \int x\cos xdx$，则可以将其分解为$\cos x$与$x$的乘积形式，然后使用分部积分法，依次求导即可得到积分答案。
三、待定系数法待定系数法是求解包含有多个函数的定积分时较为有效的一种技巧。
它的思路在于将被积函数拆解为若干简单因式之积的形式，并使用待定系数法解出其中的系数。
例如，若要求$ \int\dfrac{1}{x^3+1}dx$，则可以将被积函数看做是两个多项式之间的除法形式，然后使用待定系数法找到使得其成立的系数即可。
当然，在实际应用中，待定系数法的求解过程会相对比较冗长，需要考虑较多常数项的组合形式，因此建议尝试在纸上进行多次演练，以达到更好的掌握效果。
四、对称性法对称性法是一种比较基础的技巧，在解决一些具有对称形式的函数积分时比较有效。
其的核心思想在于利用函数在不同积分区间的对称性，将积分化简为一些更易于计算的部分。
计算定积分的方法
计算定积分的方法定积分是微积分的重要概念之一，它可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积、求解物体的体积、求解平均值等问题。
计算定积分的方法有一些常见的技巧，如换元法、分部积分法、利用对称性和利用定积分的性质等。
下面将逐一介绍这些方法。
第一种方法是换元法。
当被积函数中存在一部分可以通过一次函数替换来简化时，可以使用换元法。
换元法通过变量替换的方式将原函数简化为具有更简单形式的函数，从而更容易求解。
一般来说，有两种常用的换元方法：一种是代数换元法，即通过引入新的代数变量来替换函数中的一部分；另一种是三角换元法，即通过引入三角函数来替换函数中的一部分。
第二种方法是分部积分法。
分部积分法是利用导数的乘积法则将一个积分转化为另一个积分的方法。
具体来说，当被积函数中存在一部分可以看作是一个函数的导数与另一个函数的乘积时，可以使用分部积分法。
分部积分法的公式为：$$\int u \,dv = uv - \int v \, du$$ 通过适当选择$u$和$dv$，可以将原积分化简为更易求解的形式。
第三种方法是利用对称性。
当被积函数具有一定的对称性时，可以利用这种对称性来简化计算过程。
例如，当被积函数为偶函数时，可以将积分区间从$(-a,a)$缩小为$(0,a)$，然后将被积函数乘以2进行积分。
当被积函数为奇函数时，可以利用奇函数的性质进行化简。
第四种方法是利用定积分的性质。
定积分具有一些特殊的性质，如线性性质、additivity性质和区间可加性质等。
通过利用这些性质，可以将原积分化简为更容易求解的形式。
例如，可以将一个复杂的定积分分解为多个简单的定积分相加，或者利用区间可加性质将一个积分区间分成多个小区间，然后对每个小区间进行积分。
以上所提到的方法只是定积分计算中常用的一些方法，实际上还有其他一些求解定积分的技巧和方法。
在解决具体问题时，需要根据问题的特点和需要选择合适的方法。
另外，在实际计算中，还可以借助计算工具如数值积分、计算机软件等来求解定积分，特别是当被积函数很复杂或求解过程较为繁琐时，这些工具可以提供更便捷和准确的解决方案。
C语言用六种方法求定积分
C语言用六种方法求定积分C语言中求定积分的方法主要有以下六种：基本公式法、数值积分法、Laplace变换法、微积分概念法、数值积分法和Monte Carlo方法。
下面将详细介绍每种方法的原理和实现。
1.基本公式法：基本公式法是求解定积分的最基本方法，根据不同函数的特点和性质，利用已知的积分公式进行求解。
例如，对于一次函数和常数函数，可以使用基本公式法求解。
2.数值积分法：数值积分法是通过将定积分转化为数值计算问题来求解。
常用的数值积分方法有矩形法、梯形法和辛普森法等。
这些方法基于将求积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上近似计算出函数的积分值，再将这些积分值加总得到最终结果。
3. Laplace变换法：Laplace变换法是一种利用Laplace变换求解微分方程的方法，也可以用来求解定积分。
通过将被积函数进行Laplace变换，然后利用Laplace变换公式求解积分，最后再求出反变换得到结果。
4.微积分概念法：微积分概念法是通过将定积分定义为函数曲线下的面积来求解。
具体做法是将被积函数图像与坐标轴围成的面积分为若干个小的矩形、梯形或曲线段以及一个小的区域。
然后根据图形的几何性质进行近似计算，将这些小面积相加得到最终结果。
5.数值积分法：数值积分法也是一种基于数值计算的方法，但与前面提到的数值积分法不同，它通过构造一系列特定形式的插值函数对被积函数进行逼近，然后计算插值函数的积分值来近似求解定积分。
常用的数值积分法有牛顿-科特斯公式和高斯-勒让德公式。
6. Monte Carlo方法：Monte Carlo方法是一种基于统计随机性的数值积分方法，它通过随机抽样来进行数值求解。
具体做法是在被积函数图像下随机抽取一系列点，根据这些随机点的坐标和函数值来估计函数的积分值。
通过对多次随机抽样的结果取平均可以得到定积分的近似值。
以上六种方法都可以用C语言来实现，具体的实现方法可以根据具体问题的特点和要求选择合适的算法和数据结构，然后编写相应的代码实现。
求定积分的方法总结
求定积分的方法总结1. 引言在微积分中，定积分是一个重要的概念。
它可以用来计算曲线下的面积、求解曲线的弧长、重心以及解决一系列与变化率相关的问题。
本文将总结几种常用的方法，帮助读者更好地理解和应用定积分的求解过程。
2. 几何法几何法是定积分求解的最直观方法之一。
通过几何图形来理解定积分的意义和求解过程，可以更好地把握其基本思想。
例如，若要求解函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分：∫[a,b] f(x) dx可以将 f(x) 的图像和 x 轴围成的区域视为一个几何图形，通过求解这个图形的面积来得到定积分的值。
常见的几何图形可以是长方形、梯形、圆形等。
根据具体情况，选择合适的图形进行面积计算。
3. 微元法微元法是定积分求解的一种基本方法。
它基于函数的微分和积分之间的关系，将区间 [a, b] 分割为无穷多的微小区间，然后在每个微小区间上进行求和，最后通过取极限的方式得到定积分的值。
微元法的关键是确定微小区间的宽度，即将区间 [a, b] 分割成若干个小区间的长度。
常用的分割方法有等分法、等差数列法和等比数列法。
一般情况下，分割的区间越小，计算结果越准确。
在微元法中，需要确定每个微小区间上的函数值，可以通过函数曲线上的点来确定。
例如，可以取每个小区间的左端点、右端点或中点来表示该区间上的函数值。
通过求和并取极限，最终可以得到定积分的值。
4. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分求解的一种重要工具。
它建立了定积分和不定积分之间的关系，可以通过求解不定积分来得到定积分的值。
牛顿-莱布尼茨公式的表达式为：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中，F(x) 是 f(x) 的一个原函数。
通过求解 f(x) 的不定积分，可以得到一个原函数 F(x)，再根据公式将上下限值代入，即可得到定积分的值。
牛顿-莱布尼茨公式的优点是可以直接得到定积分的值，无需进行复杂的计算。
但前提是需要知道 f(x) 的一个原函数。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线与坐标轴之间的面积、曲线长度、质量、动量等问题。
本文将总结几种常见的定积分计算方法。
1.基本积分法：也称为不定积分法，是定积分的基础。
通过求导的逆过程，可以将一些简单的函数反求积分。
例如，对于常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等，都可以直接得到不定积分的表达式。
但对于复杂函数，基本积分法可能不适用。
2. 牛顿-莱布尼茨公式：也称为换元积分法。
该方法通过引入新的变量，将原积分转化为更简单的形式。
常见的换元变量有正弦函数、指数函数、幂函数等。
换元积分法的关键在于选择合适的换元变量，使得被积函数的形式变得更简单。
例如，对于∫sin(2x)dx，可以通过令u=2x进行换元，得到新的积分∫sin(u)du，再求解即可。
3. 分部积分法：也称为乘法积分法，是对乘积形式的积分进行处理的方法。
通过对乘积函数中的一个函数求导，另一个函数积分，可以将原积分转化为更简单的形式。
分部积分法的公式为∫udv=uv-∫vdu，其中u和v是可以求导或积分的函数。
该方法适用于许多复杂函数的积分计算，例如多项式函数与指数函数的积分。
4. 凑微分法：也称为凑常数法，是对积分式进行代换，使得被积函数的微分形式展开后更简单，从而进行积分的方法。
例如，对于∫x/(1+x^2)dx，可以通过令u=1+x^2进行代换，得到新的积分∫(1/u)du，再求解即可。
5. 变限积分法：该方法常用于计算曲线与坐标轴之间的面积。
当被积函数为连续函数时，可以通过使用反函数求解，将定积分转化为一系列不定积分的差值。
例如，对于求解曲线y=f(x)与x轴所围成的面积，可以将其表示为∫[a,b]f(x)dx=[F(x)]a^b，其中F(x)是f(x)的原函数。
通过求F(x)的反函数，可以将定积分简化为计算两个不定积分的差值。
6. 参数方程法：该方法适用于计算平面曲线围成的面积。
当曲线由参数方程给出时，可以通过将x或y表示为参数的函数，进而将面积转化为定积分的形式。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．。
求定积分的方法
求定积分的方法
定积分的运算是定积分的重要内容，解决这类问题不仅要掌握定积分的几何意义及微积分基本定理，而且还应掌握相应的方法技巧，从而达到事半功倍的效果。
本文举三例说说解决这类问题的常见方法技巧。
一、等价转化法
例1.求定积分dx的值
分析：直接求，很很困难，观察被积函数，可将其拆分，则易于求解。
解：dx=（-）dx = [1nx|21-1n（x+2）|21]
= （-1n2+1n3）= 1n
二、数形结合法
例2.求定积分（-x）dx的值
分析：由定积分的几何意义知（-x）dx 表示的是右图中阴影影的面。
解：（-x）dx 表示圆（x-1）2 + y2 =1
与直线方程y=x所围成的图形（如图示）的面积，
因此= （-x）dx =×12-×1×1=-
三、运用性质法
已知函数f（x）=sin5 x+1，根据函数的性质，定积分的性质和几何意义，探求f（x）dx 的值。
分析：观察题设特点，可利用性质：若函数f（x）是奇函数，即f（-x）=-f （x），则用f（x）dx =0求解
解：由于y=sin5x 为奇函数，所以sin5xdx=0
于是f（x）dx =sin5xdx+dx
=0+x|- = π
故f（x）dx = π。
求解定积分的技巧与方法
求解定积分的技巧与方法求解定积分是高中数学和大学数学中不可避免的一个内容。
对于许多学生和学者来说，求解定积分是一个比较棘手的问题，需要灵活的思维和丰富的数学知识。
本文将为大家介绍一些求解定积分的技巧和方法，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
1. 分段函数法分段函数法是解决经典定积分求解的常用技巧之一。
当我们面对一个比较复杂的积分时，可以尝试将其分解成多个简单的分段函数，进而分别求解。
例如，对于一个形如$y=|x|$ 的函数图像，我们可以将其分区间来讨论，即：当$x\leq0$ 时，$y=-x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{0}-x\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x$当$x>0$ 时，$y=x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x-\int_{-1}^{0}x\,\mathrm{d}x$这样的分段讨论可以使我们更加清晰地理解函数的特性，并且更加方便地求解原函数。
2. 换元法换元法是求解复杂定积分的常用方法之一。
通常我们会利用简单的变量替换，将原积分转化为易于处理的形式。
例如，对于$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1+\sin x}\,\mathrm{d}x$这样的积分，我们可以利用以下替换：设$t=\tan\frac{x}{2}$，则有：$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\mathrm{d}x=\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}$将上述变量替换代入原式中，则有：$\int_{-1}^{1}\frac{2}{1+(2t/(1+t^{2}))}\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\in t_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\pi$所以原式的解为$4\pi$。
计算定积分的方法
计算定积分的方法定积分是微积分中的一个重要概念，用来描述曲线下方的面积。
计算定积分的方法通常包括几何法、零散法、换元法和分部积分法等。
一、几何法几何法是通过几何图形的性质计算定积分。
常用的几何法计算定积分的方法有：1. 面积法：将曲线下方的区域分割成许多个简单几何形状，如矩形、三角形等，然后计算每个几何形状的面积，并将所有面积相加得到总面积。
2. 折线法：将曲线下方的区域近似地用折线连接起来，然后计算每段折线的长度，并将所有长度相加得到总长度。
二、零散法零散法是将曲线下方的面积进行分割求和的方法。
常用的零散法计算定积分的方法有：1. 矩形法：将曲线下方的区域分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积，并将所有面积相加得到总面积。
2. 梯形法：将曲线下方的区域分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积，并将所有面积相加得到总面积。
3. 辛普森法则：将曲线下方的区域分割成若干个小区间，在每个小区间上使用二次多项式逼近曲线，然后使用辛普森公式进行近似计算。
三、换元法换元法是通过变量替换的方式将复杂的积分转化成简单的积分，从而简化计算。
常用的换元法计算定积分的方法有：1. 对换元法：将被积函数中的自变量替换成新的自变量，通过求出新的积分变量和原积分变量的关系，将原来的积分变量带入进行计算。
2. 三角换元法：将被积函数中的自变量表示成三角函数形式，通过选择合适的三角变换，将原函数转化成更简单的形式进行计算。
四、分部积分法分部积分法是微积分中的一个重要定理，可以将一个积分问题转化为另一个积分问题，从而简化计算。
常用的分部积分法计算定积分的方法有：1. 正比换元法：将被积函数中的一项作为导数，另一项作为原函数，通过求出原函数和导数的关系，将积分变换为另一个积分。
2. 对数换元法：将被积函数中的一项取导数，另一项取倒数，通过求出导数和倒数的关系，将积分变换为另一个积分。
以上是计算定积分的常用方法，通过几何法、零散法、换元法和分部积分法可以解决各种类型的定积分计算问题。
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法一、梯形法则（Trapezoidal Rule）：梯形法则是一种常见的确定积分的数值计算方法。
它的基本思想是通过将函数曲线上的曲线段看作是一系列梯形，然后计算这些梯形的面积之和来近似表示定积分的值。
具体来说，我们将定积分区间[a,b]均匀地划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n，然后计算每个小区间内的梯形面积，再将这些面积相加即可得到定积分的近似值。
梯形法则的公式如下：∫(a to b) f(x) dx ≈ h/2 * (f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + ... + 2f(a+(n-1)h) + f(b))梯形法则的优点是简单易懂，容易实现，并且对于一般的函数都能达到较好的近似效果。
然而，它的缺点是精度较低，需要较大的划分数n才能得到较准确的结果。
二、辛普森法则（Simpson's Rule）：辛普森法则是一种比梯形法则更高级的确定积分方法，它通过将函数曲线上的曲线段看作是由一系列抛物线组成的，然后计算这些抛物线的面积之和来近似表示定积分的值。
与梯形法则类似，我们将定积分区间[a,b]均匀地划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n，然后计算每两个相邻小区间内的抛物线面积，再将这些面积相加即可得到定积分的近似值。
辛普森法则的公式如下：∫(a to b) f(x) dx ≈ h/3 * (f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) +4f(a+3h) + ... + 2f(a+(n-2)h) + 4f(a+(n-1)h) + f(b))辛普森法则相较于梯形法则具有更高的精度，尤其对于二次或更低次的多项式函数来说，可以得到非常准确的结果。
但是，辛普森法则在处理高次多项式或非多项式函数时可能会出现误差较大的情况。
三、高斯求积法（Gaussian Quadrature）：高斯求积法是一种基于插值多项式的数值积分方法。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法 例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222nnni i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.（4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法 例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法 例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x xx +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a af x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aaf x dx-⎰＝0． 小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是微积分中的重要概念之一，可以用不同的方法来求解。
下面将介绍四种常用的方法：基本函数法、换元法、分部积分法和定积分的性质。
第一种方法是基本函数法。
基本函数法是指利用基本函数的积分表达式求解定积分。
在基本函数法中，通过查表或记忆基本函数的积分公式，将被积函数转化为基本函数的积分形式，从而求解定积分。
例如，要求解$\int (x^2+2x+1)dx$，可以将被积函数分解为$(x^2+2x+1)=x^2+2x+1=\frac{1}{3}x^3+x^2+x$，由基本函数的积分表达式，可知$\int x^3dx=\frac{1}{4}x^4+C_1$，$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C_2$，$\int xdx=\frac{1}{2}x^2+C_3$。
因此，$\int (x^2+2x+1)dx=\frac{1}{3}x^3+x^2+x+C$，其中C为常数。
第二种方法是换元法。
换元法是指通过变量代换，将原来的积分转化为更简单的形式。
在换元法中，通过选择合适的变量代换来使被积函数的形式简化，然后求解新变量下的积分，最后再将变量代换回原来的变量。
例如，要求解$\int \frac{1}{(x+1)^2}dx$，可以令$u=x+1$，则有$du=dx$。
将变量代换后的积分形式$\int \frac{1}{u^2}du$，由基本函数的积分表达式可得$\int \frac{1}{u^2}du=-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{x+1}+C$，其中C为常数。
最后将变量代换回原来的变量，得到$\int \frac{1}{(x+1)^2}dx=-\frac{1}{x+1}+C$。
第三种方法是分部积分法。
分部积分法是指利用函数的乘积积分的性质，将原来的积分转化为两个函数的乘积积分的形式。
在分部积分法中，通过选择乘法中的两个函数，并将被积函数分解为这两个函数的乘积形式，然后利用乘积积分公式求解。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
定积分的计算方法
定积分的计算方法定积分是微积分中重要的概念之一，用于计算曲线下面的面积、求函数的平均值等。
在本文中，将介绍一些常见的定积分计算方法，并结合例子进行说明。
1. 定积分的定义定积分可以理解为将一个函数在区间[a, b]上的曲线下方的面积进行求和。
用数学符号表示，可以写作∫[a, b]f(x)dx，其中f(x)是要进行积分的函数，[a, b]表示积分的区间。
2. 几何法几何法是一种简单直观的计算定积分的方法。
它基于几何图形的面积计算方法，通过将曲线下方的区间划分为若干个矩形、梯形或三角形来逼近曲线下方的面积。
例如，我们要计算函数f(x)=x²在区间[0, 1]上的定积分。
首先，将区间[0, 1]平均划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n=(1-0)/n=1/n。
然后，在每个小区间上取一个点xi，并计算出相应的函数值f(xi)。
接着，将矩形的高度设定为f(xi)，则每个小区间上的矩形的面积为f(xi)Δx。
最后，将所有小矩形的面积相加即可得到近似的定积分值。
3. 不定式法不定式法是一种通过求解原函数来计算定积分的方法。
如果给定函数f(x)在[a, b]上连续，并假设F(x)是它的一个原函数，则根据微积分基本定理，可得到∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)这意味着我们只需要找到函数f(x)的一个原函数F(x)，并计算F(b)和F(a)的差值，即可求得定积分的值。
举个例子，考虑要计算函数f(x) = x²在区间[1, 3]上的定积分。
首先，求出函数f(x)的一个原函数F(x)。
由f(x) = x²可知，F(x) = (1/3)x³ + C 是f(x)的一个原函数。
根据不定式法，定积分的值为∫[1, 3]x²dx = F(3) - F(1) = (1/3)(3³) + C - [(1/3)(1³) + C] = 9/3 - 1/3 = 8/34. 分部积分法分部积分法是一种利用积分的性质来计算定积分的方法。
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法数值计算定积分是计算定积分的一种近似方法，适用于无法通过代数方法求得精确解的定积分。
本文将介绍几种常见的数值计算定积分的方法。
1.矩形法（矩形逼近法）：矩形法是最简单的数值计算定积分方法之一、它将定积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上取一个样本点，将每个小区间上的函数值乘以小区间的宽度，得到小矩形的面积，最后将这些小矩形的面积相加即可得到定积分的近似值。
矩形法有两种主要的实现方式：左矩形法和右矩形法。
左矩形法使用每个小区间的左端点作为样本点，右矩形法则使用右端点。
2.梯形法（梯形逼近法）：梯形法是另一种常见的数值计算定积分方法。
它将定积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上取两个样本点，分别作为小区间的端点。
接下来，计算每个小区间上的函数值，然后将每个小区间上的函数值与两个端点连线所构成的梯形的面积相加，得到所有梯形的面积之和，最后得到近似的定积分值。
3.辛普森法：辛普森法是一种更为精确的数值计算定积分方法。
它将定积分区间分为若干个小区间，然后用二次多项式逼近每个小区间上的函数曲线。
在每个小区间上，辛普森法使用三个样本点，将函数曲线近似为一个二次多项式。
然后，对于每个小区间，计算该二次多项式所对应的曲线下梯形区域的面积，并将所有小区间的面积相加，得到近似的定积分值。
4. 龙贝格法（Romberg integration）：龙贝格法是一种迭代的数值计算定积分方法，通过进行多次计算，逐步提高近似的精确度。
龙贝格法首先使用梯形法或者辛普森法计算一个初始近似值，然后通过迭代的方式进行优化。
在每次迭代中，龙贝格法先将区间划分成更多的子区间，并在每个子区间上进行梯形法或者辛普森法的计算。
然后，利用这些计算结果进行Richardson外推，从而得到更精确的定积分近似值。
通过多次迭代，龙贝格法可以逐步提高逼近的精确度。
上述介绍的四种数值计算定积分的方法都有各自的优势和适用范围。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分1211)x dx --⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：1211x dx --⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积． 因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以1211x dx --⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．x y o 1-11所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aa f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法在微积分中，确定定积分的值是一个重要的问题。
定积分是一个实函数在给定区间上的积分，表示该函数在该区间上的总体积。
在本文中，我将介绍四种常见的方法来确定定积分的值。
这些方法分别是：几何解释法、Riemann和法、换元积分法和分部积分法。
一、几何解释法例如，如果要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，我们可以将该区间分成无限个小矩形，并计算每个小矩形的面积。
然后将所有小矩形的面积相加，即可得到定积分的值。
对于该例子，我们可以将区间[0,1]分成无限个宽度为dx的小矩形，其高度为f(x)=x^2、因此，定积分的值为∫[0,1]x^2dx=1/3二、Riemann和法Riemann和法是一种将定积分转化为求和的方法。
它使用一个区间分割，把整个区间分成无限个小区间。
然后，通过对每个小区间让其长度趋近于零，计算每个小区间的函数值和相加，从而求得定积分的近似值。
当小区间的数量无限增加时，所得的近似值将趋近于定积分的真正值。
例如，如果要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，我们可以将该区间分成n个小区间，每个区间的宽度为Δx=(1-0)/n，其中n为正整数。
然后，我们可以计算每个小区间的函数值并相加，即可得到定积分的近似值。
当使用Riemann和法时，分割区间的选择对于确定近似值的精确性非常重要。
如果区间分割得足够细，近似值将趋近于定积分的真正值。
三、换元积分法换元积分法是一种通过进行变量替换来简化定积分的方法。
它利用函数的链式法则，将原函数中的自变量替换为新的变量，然后计算新函数的微分。
通过进行适当的变量替换，我们可以将原本复杂的定积分转化为更简单的形式，从而易于计算。
例如，如果要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，我们可以进行变量替换，令u=x^2，则du=2xdx。
通过将原函数中的自变量替换为新变量，我们可以将原本的定积分转化为∫[0,1]u(1/2√u)du。
定积分的五种求法
上 学 期 期 中 考 试 理 科 已 知 函 数 厂 一
当 １≤ ＜√ 时， 厂，（ ）＜ｏ，此时
（１）若 “一 ２，求 证 ：函 数 ｆ（ｚ）在 （１， ｆ（ｘ）是 减 函 数 ；
＋～）上是增 数
当√ ＜ ≤ 时，厂，（ ）＞ｏ，此时
（２）求 函 数 ｆ（ ）在 ［１，ｅ］上 的 最 小 值 及
质 ，则 能 迎 刃 而 解 。
解 ：由 于 被 积 ／Ｎ数 ｔ
及
是 奇
Ｚ 十 １
函 数 ，所 以 其 在 对 称 区 间 的 积 分 值 均 为 零 。
１ ２ 求定积分 ｆ （ ｚ＋２ ＋１）ｄｊ：的
值 。 分 析 ：可 允 求 出 原 函 数 ，再 利 用 微 积 分 基
Ｉ （、／『二 ）ｄ 一 。
（４） 取 极 限 ： ｓ — ｌｉｍ 三 ．
［（ ｝（ ＋…＋（ ）。］
四 性 质 法 侧 求 下 列定 积分 ：
① 』 ｔａｎ ｚｄ－ｚ；② Ｉ
ｄ 。
一 ｌｉｒ ａ ［１ ＋ ２。＋ … ＋ ”。］
分 析 ：对 于 ① 用 微 积 分 的 基 本 定 理 可 以
分 析 ：用 定 义 法 求 积 分 司 分 四 步 ：分 割 ，
以 直 代 曲 ，作 和 ，求 极 限 。
解：（１）分割：把区间［ｏ，２］分成 等份，
。
Ｕ△‘ｚ．一 。
”
（２） 近 似 代 替 ：△Ｓ 一
（∈ ）△ｚ 一
（ ３＋ 。＋）ｆ １一（＼３＋４＋ ／一（＼ ３＋ ＋ ）一
－＝ －＝ ＝ ［｝×÷ ｃ”＋ ］
解 决 ，而 ② 的 原 函 数 很 难 找 到 ，几 乎 不 能 解 决 。若 运 用 奇 偶 函 数 在 对 称 区 间 的 积 分 性
定积分的方法
定积分的方法
1. 定积分里的换元法啊，就好比你走路遇到一条河，换条路走不就过去了嘛！比如说求∫sin(x^2)dx，这时候用换元法，令 u = x^2，不就好解决多啦！
2. 还有分部积分法呢，这可真是个好办法！就像两人合作做事，各展其能呀。
比如求∫xe^x dx，用分部积分不就轻松搞定啦！
3. 定积分的几何意义可重要啦！那简直就是打开图形秘密的钥匙啊！像求一个曲边梯形的面积，通过定积分不就能清楚知道有多大了嘛！
4. 牛顿-莱布尼茨公式呀，哇哦，这可真是定积分的大宝贝！就如同有了个万能钥匙。
比如知道了 F(x) 是 f(x)的原函数，那定积分的值不就一下子出来啦！
5. 定积分的凑微分法也很妙啊！就像是把一些东西拼凑起来凑出我们想要的。
例如求∫cos(2x) dx，凑一下微分不就好啦！
6. 对称区间上定积分的性质也别忽视呀！这就像是在对称的世界里找规律。
比如在对称区间上奇函数的定积分就是 0 呢！
7. 定积分的估值定理也好用得很嘞！就跟我们估计东西的大小似的。
要是能知道定积分大概的范围，多有意思呀！
8. 无穷限的定积分也很有挑战性哦！就好像探索没有尽头的道路。
像求∫1/x dx 从 1 到正无穷，感受一下那种无穷的魅力呀！
总之，定积分的方法各有各的奇妙之处，学会了就能在数学的世界里畅游啦！。
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乙 乙 分部积分公式： udv=uv- vdu。它的作用在于：把比较难求 分的几何意义。
乙 乙 的 udv 化为比较容易求的 vdu 来计算，可化难为易。
乙a
例 7.求 姨a2-x2 dx（a＞0） 0
分部积分的解题步骤：
分析：一般教材上都会推荐使用第二类换元积分法的三角代
1.找到式子中的 u,把 u 留下，把另一个式子积分积到 d 后面 换来求解此题，但此类问题若使用数形结合来求解，则思路上会更
这两种解法和思路相比较，显而易见，数形结合的方法简单容
代值求定积分。但是这种方法的解题步骤不如直接用定积分的换 易得多。
元积分法来求解。下面我们比较一下这两种方法。
四、总结
方法一：牛顿—莱布尼兹公式
定积分计算的方法和技巧是非常丰富的，除了上面介绍的几
乙 乙 乙 dx = 2t dt=2 （1- 1 ）dt=2 （t-ln 1+t ）+c=2
（1 1+x2
+
1 x
）dx
然后再用基
乙 例 4.求
姨x
1+
3
姨
x
dx
解：该被积函数中带有根号，首先应该用换元法去掉根号，然
本积分表解决。
后再用上面介绍过的直接积分法进行求解。
（二）换元积分法 有些函数无论怎么整理化简都无法变成基本积分表中的形式，
令
6
姨
x
=t，则 x=t（6 t＞0），dx=6t5dt，于是
乙4
例 6.求
dx
0 1+ 姨 x
而曲线 y= 姨a2-x2 就是圆 x2+y2=a2 位于 x 轴上方的部分。所以这四
条曲线所围成的曲边梯形的面积正是以原点为圆心，以 a 为半径
乙 的圆的面积的 1 ，即 πa2 。因而
4
4
a
姨a2-x2
0
dx（a＞0）= πa2 4
。
解：该题目可以用牛顿—莱布尼兹公式，先求出不定积分，再
108 治学之法
新课程·下旬
2012 年 1 月 28 日
几种求定积分的方法
文/项慧慧
摘 要：微积分是高等数学的一个重要分支，它是数学的一个基础学科。特别对于高职院校来说，微积分是高职高等数学的主要内 容。而微积分中定积分的运算对于高职其他学科所涉及的数学运算和很多实际问题的解决有重要作用。
关键词：定积分；不定积分；牛顿—莱布尼兹公式；数形结合思想
积分；或者对被积函数进行简单整理，适当变形，将其化为可以用 积分公式和法则来解决的形式，再进行积分。常用的整理方法有 分式拆项法、三角恒等变换等。
乙 例 1.求 x1+（+x1++xx22）dx
乙 乙 乙 cos5xdx= 1 cos5xdx （5x）= 1 cosudu= 1 sinu+C= 1
5
乙 乙 乙 xcosxdx= xd（sinx）=xsinx- sinxdx=xsinx+cosx+C
掌握以上三种不定积分的求法，通过牛顿—莱布尼兹公式就
π
π
π
乙 乙 乙 乙 是
a
姨a2-x2 dx=
0
2
姨a2-a2sin2 tgacostdt=
0
2
a2cos2tdt=a2
0
2 1+cos2t dt 02
因而无法用直接积分法来求解，那么可以用换元积分法来求解。而 换元积分法又分为第一类换元积分法和第二类换元积分法。
1.第一类换元积分法 第一类换元积分法也叫凑微分，就是根据被积函数，利用微
乙 乙 乙 乙 姨 x d=
1+
3
姨
x
t3 1+t2
6t5dt=6
t8 1+t2
dt=6
（t6-t4+t2-1+
1 1+t2
一、用牛顿—莱布尼兹公式求定积分 牛顿-莱布尼兹定理：函数 （f x）在闭区间［a，b］上连续，F（x）是
乙b
（f x）的任一个原函数，则有 （f x）dx=F（b）-F（a）。 a 上式叫做牛顿—莱布尼兹公式，也叫做微积分基本公式。该
式可叙述为：定积分的值等于其原函数在上、下限处的差。
乙b
为计算方便，上述公式常采用这样的格式 （f x）dx=F（x）│ba = a
5
5
5
sin5x+C
2.第二类换元积分法
第二类换元积分法主要适用于被积函数中带根号的积分。去
解：该式不是基本积分表中的形式，应该先整理成积分表中 根号的方法有直接设根号为 t，或用三角代换法。
的形式再积分。该式应用的整理方法是分式拆项法。
乙 乙 乙 x1+（+x1++xx22）dx=
xx（+（11++xx2）2）dx=
）dt
整理到上面的形式后，再用直接积分法即可解决。
如果被积函数中含有根式 姨a2-x2 或 姨x2±a2 （a＞0）时，可将
被积式作如下变换： 分形式不变性，凑成一个在基本积分公式中的函数，求出不定积
分。一般题型可分为乘积形式和复合函数形式两种。
（1）当含有 姨a2-x2 时，可令 x=asint
（1）乘积形式：一般来说两个函数相乘的形式，求不定积分
（三）分部积分法
方法二要比方法一简单一些，它省略了变量回代这一步，但由
分部积分法应用的题型是被积函数是两个不同类型的函数的 于引入了新的积分变量，必须相应地改变积分限。
乘积。另外，对于被积函数只是一个函数式，但不是基本积分表中
三、巧用数形结合思想求定积分
的形式，也可以用分部积分法。
定积分还可以用数形结合思想来求解。其实这根据的是定积
然后再用积分法则和第一类换元法来解决。
方法二：数形结合思想解题
乙a
解：由定积分的定义及几何意义可知， 姨a2-x2 dx（a＞0）表 0
可以求任意函数的定积分了。具体步骤是：先求出函数的不定积 示由 x 轴，x=0，x=a 和曲线 y= 姨a2-x2 所围成的曲边梯形的面积。
分，再代值作差。
二、定积分的换元积分法
=2（2-ln3）
（作者单位 辽宁沈阳汽车工业学院）
乙 例 2.求
lnx x
dx（x＞0）
解：该式中 1 x
的积分比较简单，所以把它积分积到 d 后面。
乙 乙 乙 lnx dx= lnxxd（ln-x）= udu= 1 u2+C= 1 ln2x+C
x
2
2
（2）复合函数形式：对于简单的复合函数求积分，可以把 d 后
面的尽量配成复合a 。
换元，就可以转化成直接积分法进行运算了。
由上式可知，想求定积分，先要求不定积分，然后再代值作 差。那么不定积分的求法有哪些呢？总结起来大致有以下三种：
（一）直接积分法 直接积分法，就是根据积分公式和法则直接对被积函数进行
乙 例 3.求 cos5xdx
解：该式应该把 d 后面的 x 配成 5x，这样就和前面复合函数 的自变量位置相同了。
=
2 2t dt=2 0 1+t
2
（1+
1
）dt=2［t-ln
1+t
0 1+t
］2 0
种，还有很多，值得我们不断去探索和钻研。我们把这些方法和技 巧总结介绍给学生，不但可以扩充他们的知识面，而且可以激发他 们对数学的学习兴趣，培养他们分析问题和解决问题的能力。
参考文献： ［1］伍胜健.数学分析.北京大学数学科学学院.北京：北京大学 出版社，2010. ［2］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.2 版.北京：高等教 育出版社，2006.
（找到 u 的规律：“指三幂对反，谁在后面谁为 u”）。
为简捷清晰。下面我们来看一下这两种解法的比较。
2.利用公式求解
方法一：传统解法（第二类换元积分法）
乙 例 5.求 xcosxdx
解：设
x=asint，dx=acostdt。当
x=0
时，t=0；当
x=a
时，t=
π 2
。于
解：被积函数是两个式子相乘，但是无论把哪个式子积分积到 d 后面，对于另一个式子的积分都没有帮助，所以用第一类换元积 分法不能解此问题。
1+ 姨 x
1+t
1+t
（姨 x -1n 1+ 姨 x ）+c
乙 于是
4 dx 0 1+ 姨 x
=2［姨 x -ln 1+ 姨 x
］40 =4-2ln3
方法二：定积分的换元积分法
设 姨 x =t，则 x=t（2 t≥0）。且当 x=0 时，t=0；当 x=4 时，t=2。
乙 乙 乙 于是
4 dx 0 1+ 姨 x
（2）当含有 姨x2+a2 时，可令 x=atant
时，可以先把其中比较简单的一个积分积到 d 后面，然后把 d 后 面的式子进行换元，就可以转化成直接积分法进行运算了。
（3）当含有 姨x2-a2 时，可令 x=asect 以上三种变换叫做三角代换。
2012 年 1 月 28 日
新课程·下旬
治学之法 109