电磁场与电磁波(第1章矢量分析2015)

P P0 u l u ＋u
u u u u cos cos cos l x y z
其中，cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
u x, y, z c
4 00 3 00 2 00 1 00
标量场的等值面
◇梯度
方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场 中的给定点P出发，标量场u在不同方向上的变化率一般说来是不同的，那么， 可以设想，必定在某个方向上变化率为最大。为此，定义一个矢量G，其方向为 是函数u在点P处变化率为最大的方向，其大小就是这个最大变化率的值，
而 du 可写成 dl 与 矢量 u 的标量积 u u u u a ay az dl ax dx ay dy az dz x x y z u u u u du dl dx dy dz u dl u dl cos l x y z 为矢量 dl 与矢量 u 的夹角，显然，当 dl 与 u 同方向时， 0 dl 矢量为为最短，此时dl dln 与等直面垂直， u 也与等直面垂直
体积元：
d rdrddz
d lr d r
r 1
r
z 1
d l rd d lz d z
点处沿方向的长度元分别是： 度量系数分别是：
az
a
r
ar
r

d
dr

rd
球面坐标系
0r 0 0 2
ar
a
坐标变变化范围是: 右手螺旋法则： 位置矢量： 矢量表示： 微分线元： 坐标线元： 度量系数： 面积元：
hr 1
h r
h r sin
dSr dl dl r 2 sin dd dS dlr dl r sin drd dS dlr dl rdrd
体积元：
d dlr dl dl r 2 sindrdd
ar
a
a
u u
u u u u u lim lim PM l u 0 u 0 PM
e a l l
e ann
N
M
u
P
g rad u
a 为标量场 u x, y, z, 在 P点沿 l 方向的方向 性导数。其大小与方向 a l 有关。
du u ( P) u ( P0 ) u u u dx dy dz x y z
az
z 1
P(r0 , 0 , z0 )
a
dR ar dr a rd a z dz
A ar Ar a A az Az
ar

r r0
0
dS dlr dlz drdz dS z dlr dl rdrd
圆柱坐标系
坐标变变化范围是: 右手螺旋法则： 位置矢量： 矢量表示： 微分线元： 度量系数： 面积元：
dSr dl dlz rddz
0r
0 2
z
ar a a z R ar r a z z
r 1 r
标量场： ( x, y, z, t ) 矢量场：F ( x, y, z, t ) 静态场： ( x, y, z) 时变场： ( x, y, z, t ) 静态矢量场： F（x, y, z) 时变矢量场： F ( x, y, z, t )
5、场的值或场量：物理量在场空间中一点的取值
例：标量场 空间某一区域定义一个标量分布，如温度,电位,高度等，可以用一个标量函 数来描述，其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。
3 2 A( x, y, z, t ) ax xt ay xyt az yzt
1.2 三种常用正交坐标系
直角坐标系
坐标变变化范围是:
x
y z
ax a y az
A ax Ax ay Ay az Az dR a x dx a y dy a z dz
与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场A 在P 点的散度。 即
divA Lim
0
A d S
s

物理意义：在空间中某点的散度，它表示从该点单位体积内流出的通量。从 流体流速场的通量、散度的物理意义得到启示， divA也代表着矢量场 A 在该 点单位体积内的一种源。如果 divA 0 ，表示该点存在 A 的正源；如果 divA 0 表示该点 A 存在的负源；如果 divA 0 ，则表示该点 A 无源。 2、散度的计算 直角坐标系中的散度计算公式 散度计算公式的推导：
s
A dS A cos dS
s
矢量场的通量
矢量场通量的物理意义即场源关系：
A dS 0
s
A dS 0
s
A dS 0
s
正源
无源
负源
二、散度
1、散度的定义 如果包围点P 的闭合面S 所围区域

以任意方式缩小为点P 时, 通量
1 1 ( ) ' ( ) R R
1.4 矢量场的通量
一、通量
散度
n
空间面元 dS ndS 面元上的通量 d A dS
A
n
n
dS

定义矢量 A 沿有向曲面S 的面积分 A dS
s
为矢量 A 穿过有向曲面S 的通量 若S 为闭合曲面
u ( x, y , z , t )
5 xyzt [(x 1) 2 ( y 2) 2 z ]
例：矢量场 空间某一区域定义一个矢量分布，如速度场,电场、磁场等，可用一个矢量函 数来描述,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。
A( x, y, z) ax x ay xy az yz
4、高斯定理(散度定理)
A dS Ad
s V
对于有限大体积 ，可将其按如图 方式进行分割，对每一小体积元有
divA 1 divA 2


S1
A dS1 A dS2
S2
)

n2 n1
V
divAd

S
Ad S
高斯定理
n1=-n2

1.5 矢量场的环流



Ax Ay Az divA A x y z
在柱坐标系中的散度计算公式
1 1 A Az divA (rAr ) r r r z
1 2 A 1 1 A divA 2 (r Ar ) (sin ) r sin r sin r r
r sin d
d
Fra Baidu bibliotek

作业：习题1.3，习题1.4，习题1.9，习题1.11，习题1.12
1.3 标量场的梯度
一、等值面或等位面：标量场中值相等的点构成的 面。 等值面互不相交，完全填充标量场的全部空间
u x, y, z c
二、方向性导数和梯度：描述标量场中各点场量的变化规律 ◇ 定义标量函数 u(x, y, z) 在点P沿给定方向 el 的变化率。
1 u u 1 u u ar a a r r r sin
1 在球坐标系中： ar a a r r
例题：
1、设点电荷位于球坐标原点，在它周围空间任一点的电位为
( r , , )
q 4 0 r
标量场 u
x, y, z, 在P点的梯度是一个矢量
方向：最大方向性导数所在的方向

大小：最大方向性导数
由方向性导数的定义可知：沿等值面法线an 的方向性导数最大。
grad a n 标量场的梯度可定义为： n a ay az x 哈密顿算符 x y z u u u 对标量函数的运算 u ax ay az x y z

S
A dS divAd Ad
v v
式中S为 的外表面 • 该公式表明了区域 中场A与边界S上的场A之间的关系。
例题
1、点电荷位于球坐标原点，此电荷的电场强度在空间中分布如下
E ar q 4 0 r 2 1
（1）、计算在 r r0的球面上，电场强度 E 穿出的通量。 （2）、计算空间各点（r 0）电场强度 E 的散度。 2、球坐标系中，已知，试求该矢量穿过如图所示闭合面的通量，并对该区 域验证散度定理。 3、作业： 习题1.15，习题1.16，习题1.17、习题1.19，习题1.22，习题1.23
ar a a
A ar Ar a A a A
a
ar
R ar r

0
dR ar dr a rd a r sind
dlr dr dl rd dl r sind
梯度的计算公式：
u u u u ax ay az x y z
1 a az r r z 1 r sin
在柱坐标系中： ar
u 1 u u u ar a az r r z
在球坐标系中的散度计算公式 散度计算公式可以统一写成 3、散度的物理意义
divA A
◇ 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。 ◇ 散度代表矢量场的通量源的分布特性。 在矢量场中，若• A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量 场中处处• A=0，称之为无源场。
x 1 y 1
dSy dxdz
F ex x0 ey y0 ez z0
右手螺旋法则
位置矢量:
矢量表示： 微分线元： 度量系数： 面积元： 体积元：
r ax x ay y az z
z 1
dSz dxdy
dSx dydz
d dxdydz
第1章 矢量分析
1.1 场的概念和表示法 1.2 三种常用的坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量 散度 1.5 矢量场的环流 旋度 1.6 亥姆霍兹定理
1.1
场的概念和表示法
1、场的定义： 一个确定区域中的场被定义为：物理系统中某物理量在该区域的一种分布。如果被描述的物 理量是标量，则定义的场被称为标量场；如果被描述的物理量是矢量，则定义的场被称为矢量 场。 2、 特征：区域性、物理系统、分布 3、 场的分类： 标量场与矢量场 静态场与时变场 标量场 ：描述 物理系统中在该区域的物理量为一标量。 矢量场 ：描述 物理系统中在该区域的物理量为一矢量。 静态场：描述 物理系统中的物理量在该区域不随时间变化。 时变场：描述 物理系统中的物理量在该区域随时间变化。 4、 场的描述：场的描述方法有多种：列表法、函数法等， 场 函 数： 描述场在空间中分布的函数称为场函数
式中和为常数。试求空间各点（ r 0 ）电位的梯度。
R r r'
2、 空间两点的距离矢量可表示为
Q( x ' , y ' , z ' ) 1 ( ) R
' r ，其中 和 r 分布是P( x, y, z)和
'
度
1 两点的位置矢量。试证明以 x, y, z 为变量（即 P 为动点）时 R 的梯 ' ' ' 1 1 和以 x , y , z 为变量（即Q为动点）时的 R 的梯度 ( R )之间有