大学解析几何
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空间解析几何
基本知识 一、向量
1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量
12212121(,,)M M x x y y z z =---
2、已知向量),,(321a a a a =→
、),,(321b b b b =→
，则 （1）向量→a 的模为2
32221||a a a a ++=
→
（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→
→
（3）),,(321a a a a λλλλ=→
3、向量的积→
→⋅b a
（1）><⋅⋅=⋅→
→→→→→b a b a b a ,cos |||| （2）332211b a b a b a b a ++=⋅→→
其中><→
→b a ,为向量→
→
b a ,的夹角，且π>≤≤<→
→b a ,0
注意：利用向量的积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积→
→
⨯b a （遵循右手原则，且→
→
→
⊥⨯a b a 、→
→
→
⊥⨯b b a ）
3
2
1
321
b b b a a a k j i
b a →
→
→
→→
=⨯ 5、（1）3
3
2211//b a b a b a b a b a ==⇔
=⇔→
→
→
→
λ （2）00332211=++⇔=⋅⇔⊥→
→→
→
b a b a b a b a b a 二、平面
1、平面的点法式方程
已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→
，则平面方程为
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
注意：法向量为),,(C B A n =→
垂直于平面
2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→
3、（1）平面过原点)0,0,0(⇔ 0=++Cz By Ax
（2）平面与x 轴平行（与yoz 面垂直）⇔法向量→
n 垂直于x 轴0=++⇔D Cz By
（如果0=D ，则平面过x 轴）
平面与y 轴平行（与xoz 面垂直）⇔法向量→
n 垂直于y 轴0=++⇔D Cz Ax
（如果0=D ，则平面过y 轴）
平面与z 轴平行（与xoy 面垂直）⇔法向量→
n 垂直于z 轴0=++⇔D By Ax
（如果0=D ，则平面过z 轴）
（3）平面与xoy 面平行⇔法向量→
n 垂直于xoy 面0=+⇔D Cz
平面与xoz 面平行⇔法向量→
n 垂直于xoz 面0=+⇔D By 平面与yoz 面平行⇔法向量→
n 垂直于yoz 面0=+⇔D Ax 注意：法向量的表示 三、直线
1、直线的对称式方程
过点),,(000z y x P 且方向向量为),,(321v v v v =→
直线方程3
2010v z z v y y v x x -=-=- 注意：方向向量),,(321v v v v =→
和直线平行 2、直线的一般方程⎩⎨
⎧=+++=+++0
22221111D z C y B x A D z C y B x A ，注意该直线为平面
01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 的交线
3、直线的参数方程⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=t
v z z t v y y t v x x 302010
4、（1）方向向量),,0(32v v v =→
，直线垂直于x 轴 （2）方向向量),0,(31v v v =→
，直线垂直于y 轴 （3）方向向量)0,,(21v v v =→
，直线垂直于z 轴 5、（1）方向向量),0,0(3v v =→，直线垂直于xoy 面 （2）方向向量)0,,0(2v v =→
，直线垂直于xoz 面 （3）方向向量)0,0,(1v v =→
，直线垂直于yoz 面 应用 一、柱面
1、设柱面的准线方程为⎩⎨⎧==0
),,(0
),,(21z y x f z y x f ，母线的方向向量),,(321v v v v =→，求柱面方程
方法：在准线上任取一点),,(111z y x M ，则过点),,(111z y x M 的母线为
3
1
2111v z z v y y v x x -=-=- 又因为),,(111z y x M 在准线上，故
0),,(1111=z y x f （1） 0),,(1112=z y x f （2）
令
t v z z v y y v x x =-=-=-3
1
2111 （3） 由（1）、（2）、（3）消去111,,z y x 求出t ，再把t 代入求出关于z y x ,,的方程0),,(=z y x F ，则该方程为所求柱面方程
例1：柱面的准线为⎩⎨⎧=++=++2
2212
22222z y x z y x ，而母线的方向为{}1,0,1-=v
，求这柱面方
程。 解：在柱面的准线上任取一点),,(111z y x M ，则过点),,(111z y x M 的母线为