量子力学第十章习题

第十章 微扰论与变分法

10-1 假定类氢原子的核不是点电荷，而是半径为)10~(1200cm r r -均匀带电小球，试计算类氢原子基态的能量一级修正。

10-2 一维势阱的宽度为a ，其势能函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≤≤≤≤><∞=)434

()43,40(0),0()(a x a k a x a a x a x x x U ，其中k 为常数，把此势阱中的粒子看成是受到微扰的关在盒子中的粒子，求其能量和波函数的一级近似。

10-3 一个电荷为e 的线性谐振子，处于均匀的弱电场ε 中，设ε

沿x 的正方向：（1）求体系的能量的二级近似值；

（2）求波函数的一级近似。

10-4 设体系未受微扰作用时仅有两个能级：)0(2)0(1E E 及，现在受到微扰'ˆH

的作用，微扰矩阵元为,,'22'11'21'12b H H a H H ====a 、b 都是实数，用微扰公式求能量至二级修正值。 10-5 一维非线性谐振子的势能为4322

1)(dx cx kx x U ++=

，若把非谐振项看作微扰，试求基态和第一激发态能量的一级修正。 10-6 一刚性平面转子，转动惯量为I ，电偶极矩为D ，处在均匀弱电场ε 中，电场在转子转动平面上，试求能量到

二级修正。

10-7 把正常塞曼效应中磁场引起的附加项看作微扰，试计算碱金属原子能级E n l 的一级修正。

10-8 耦合谐振子的哈密顿算符为∑=-+=2121222)212ˆ(ˆi i i x x x m m

p H λξ，其中λ为常数。试用微扰法求其第一激发态能量的一级修正。

10-9 在类氢原子中，电子与原子核的库仑作用能为r

ze r U s 2)(-=，当原子核的电荷增加e 时，库仑能增加r e H s 2'

ˆ-=，试用微扰法计算它引起的能量一级修正，并与严格解比较。 10-10 设电子受到晶格的一维周期势U （x ）作用，a

x U x U x H π2cos )()(ˆ0'==，其中a 为晶格常数，可将U （x ）看作微扰，无微扰时，电子是自由的，波函数为)/(21)( t E kx i k e

L x --=ψ，m k E k 2/22 =，Na L =是间距为a 的N 个离子的晶格长度。试求能量的一级修正。