储庆昕高等电磁场讲义 第八章

第8讲 唯一性定理

电磁场Maxwell 方程是偏微分方程，描述了电磁场的一般特性。对于具体的有限区域电磁场问题，需加上边界条件和初始条件，才能得到具体问题的特解。这就构成所谓的“初值问题”和“边值问题”。

本讲要解决的问题是在怎样的条件下初值问题和边值问题具有唯一解？

图8-1边值问题

8.1 Maxwell 方程的唯一性定理

8.1.1时域唯一性定理

[定理8-1] 对于图8-1的边值问题，如果区域v 内的源已知，并且

1） t =0时v 内所有场已知（初始条件）；

2） t ≥0时包围v 的闭合曲面s 上切向电场 n

E ⨯或切向磁场 n H ⨯已知（边界条件）； 则t >0时v 内的场唯一确定。

[证] 设v 中的电流源J 产生两组场 E H 11,和

E H 22,，满足

2,1 =⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧-=⨯∇++=⨯∇j t H E t E E J H j j j

j j ∂∂μ∂∂εσ

（8-1）

考虑差场δ E E E =-12，δ

H H H =-12，由于两组解产生于同一组源，故差场满足无源方程

∇⨯=-∇⨯=+⎧⎨

⎪⎪⎩

⎪⎪δμ∂δ∂δσδε∂δ∂

E H t

H E E t （8-2） 对差场应用Poynting 定理

⎰⎰⎰⋅⨯-=++s

v v

ds n H E dv E dv E H t ˆ)()(2122 δδδσδεδμ∂∂

（8-3） 因为 () ( )( )δδδδδδ

E H n

E n H H n E ⨯⋅=-⋅⨯=⋅⨯ 所以, 只要满足定理8-1中s 面上的边界条件2)，则

() δδ

E H nds s

⨯⋅=⎰

0 于是 120222∂

∂μδεδσδt H E dv E dv v v

() +=-≤⎰⎰ （8-4）

由定理8-1中初始条件1)，有

()μδεδ H E dv v

t 22

00+=⎰=

故t ≥0时 ()μσεδ H E dv v

+≤⎰2

即 μδεδ

H

E 2

2

0+≤

另一方面, 由于μ>0，ε>0，δE 2

0≥,

δH 2

0≥,故

μδεδ H

E 2

2

0+≥

最终

δδ

E H ==00,

即

E E 12=， H H 12=

唯一性定理告诉我们，区域v 中的电磁场是由v 中的源、初始时刻的电磁场以及任意时刻边界上的切向电场或切向磁场唯一决定的。

8.1.2 有耗媒质中频域唯一性定理

[定理8-2] 在频域，如果有耗媒质区域ν中的源以及边界s 上的切向电场或切向磁场已知，则ν中的电磁场唯一确定。 证明：差场满足

∇⨯=-∇⨯=⎧⎨⎪

⎩⎪δωμδδωεδ E j H H j E

（8-5） 其中，μμμ='-''j ，εεε='-''j 。应用频域Poynting 定理

0)(ˆ)(2*

2

*=-+⋅⨯⎰

⎰dv E H j ds n H E v

s δεδμωδδ 边界条件使得

() *

δδ E H nds s

⨯⋅=⎰

0 于是 ()'-'=⎰μδεδ H E dv v

2

20 （8-6）

()''+''=⎰μδεδ H E dv v

22

0 （8-7）

对于有耗媒质，''>μ0，''>ε0, 于是，δ E =0，δ

H =0。

在上面的证明中，如果媒质无耗即''=''=με0，则唯一性定理的证明不能成立。

Harrington 认为“在此情况下要获得唯一性，须将无耗媒质中的场作为有耗媒质中的耗散趋于

0时相应场的极限”（参见R.F. Harrington,《正弦电磁场》）。但是这种观点是不妥的，在极限情况下成立，但在极限点未必成立。

根据上面的推导，当''=''=εμ0时只有（8-6）成立，所以有两种可能：（1）δδ

E H ==00,，

（2）εδμδ E H 22

=

对于满足切向场边界条件的差场而言，无耗媒质区域v 相当于一个电磁谐振腔（导体空腔、磁体空腔、或部分导体边界和部分磁体边界的空腔）。第（2）种情况恰好相当于该谐振腔谐振。所以，在无耗区域v 处于非谐振状态时，上述唯一性定理仍成立。但对于谐振状态，上述唯一性定理则不成立。为此我们需要寻找无耗区域谐振状态时的唯一性定理。

8.1.3 无耗区域频域唯一性定理

考虑差场的Foster 定理（R.E. Collin, 《微波工程基础》） 根据（8-5），有

∇⨯

=+∂δ∂ωωμ∂δ∂ωδ∂ωμ∂ω E j H

j H ***() （8-8）

∇⨯=--∂δ∂ωωε∂δ∂ωδ∂ωε∂ω H j E j E *

*

*() （8-9）

由于是无耗区域，故με, 均为实数。计及

∇⋅⨯+⨯=∇⨯⋅-⋅∇⨯∇⨯⋅-⋅∇⨯()

()()****

**

δ∂δ∂ω∂δ∂ω

δδ∂δ∂ωδ∂δ∂ω∂δ∂ωδ∂δ∂ω

δ

E H E H E H E H E

H E H

+ （8-10）

将（8-5）、（8-8）和（8-9）代入上式， 得

∇⋅⨯

+

⨯=+()

[()()]

**

δ∂δ∂ω∂δ∂ωδδ∂ωε∂ωδ∂ωμ∂ω

E H

E

H j E H 22 （8-11） 其积分形式为

() [()()]**δ∂δ∂ω∂δ∂ω

δδ∂ωε∂ωδ∂ωμ∂ω

E H E H nds j E H dv

s

v

⨯

+⨯⋅=+⎰⎰22 （8-12）

根据R.E. Collin, 《微波工程基础》，