抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程(精)

有关抛物线焦点弦问题的探讨

过抛物线px y 22=(p>0的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ,(11y x 、B ,(22y x 两点

结论1:p x x AB ++=21

p x x p

x p x BF AF AB ++=+++

=+=21212

(2( 结论2:若直线L 的倾斜角为θ,则弦长θ2sin 2p

AB =

证: (1若2

π

θ= 时,直线L 的斜率不存在,此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2

(2若2

π

θ≠

时,设直线L 的方程为:θtan 2(p x y -

=即2

cot p

y x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=

由弦长公式得θ

θθ2

2

212

sin 2cot 1(2cot 1p

p y y AB =+=-+= 结论3: 过焦点的弦中通径长最小

p p

2sin 21sin 22≥∴

≤θ

θ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短.

结论4: (8

3

2为定值p AB S oAB =∆

(8

s i n 2s i n s i n 2221s i n 21s i n 21s i n 2

1s i n 21322

20P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =

∴=

⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=

+=∆∆∆∆θθθθθϑθ 结论5: (1 2

21p y y -= (2 x 1x 2=4

2

p

证44(,2,22

2

221212

22211P P

y y x x p y x p y x ==∴== 结论6:以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切

证:设M 为AB 的中点,过A 点作准线的垂线AA 1, 过B 点作准线的垂线BB 1, 过M 点作准线的垂线MM 1,由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2

2

2

1

11AB BF

AF BB AA MM =

+=

+=

故结论得证

结论7:连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F

FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA

11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=

同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8:(1AM 1⊥BM 1 (2M 1F ⊥AB (3BF AF F

M ⋅=2

1

(4设AM 1 与A 1F 相交于H ,M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1,Q ,F ,H 四点共圆(52

1212

1

4M M B M AM =+

证:由结论(6知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1

11FB A ∆为直角三角形, M 1 是斜边A 1 B 1 的中点 1

11111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴

︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥AB

BF AF F

M ⋅=∴2

1 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴又B AM

︒=∠∴90FB A 11 所以M 1,Q ,F,H 四点共圆,2

212

1

AB B M AM =+

(((2

12

12

11

2

42MM MM BB AA

BF

AF ==+=+=

结论9: (1、A O 、B 1 三点共线 (2B ,O ,A 1 三点共线

(3设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1,则BB 1平行于X 轴

(4设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1,则AA 1平行于X 轴

证:因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 22121

11122,221-=-====

,而221p y y -=

所以122

2

22oB oA k p y y p

p

k =-=-=

所以三点共线。同理可征(2(3(4 结论10:

p

FB FA 211=+ 证:过A 点作AR 垂直X 轴于点R ,过B 点作BS 垂直X 轴于点S ,设准线与x 轴交点为

E,θ的倾斜角为因为直线

L 则θθcos 1cos -=

∴=+=+=P AF AF AF P FR EF ER P

AF θ

cos 11-=

∴同理可得

P BF θcos 11+= ∴p

FB FA 2

11=+

结论11:

证:A

A B B EA E B A A FA B B BF FA

BF EA E B AA EF BB 111

1111

111,////=

∴

===

∴

EB B EA A EB B 90111111∠∠∴∆∆∴︒=∠=∠=相似于EA A E BB E AA PEQ EF BEF AEF 90EB B BEF EA A AEF 11∠∠∠∴︒∠∠∠∠平分角即==+=+

0K K X BE AE BE