典型输入作用和时域性能指标

指控制系统在一定的输入信号作用下，根据输出量的时域 表达式，分析系统的稳定性、瞬态性能和稳态性能。
时域分析是一种在时间域中对系统进行分析的方法，具有直 观和准确的优点。由于系统的输出量的时域表达式是时间的函 数，所以系统的输出量的时域表达式又称为系统的时间响应。
系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由传递函数 得到。在初值为零时，可利用传递函数进行研究，用传递函数 间接的评价系统的性能指标。
分析瞬态过程中输出响应的各种运动特性。理论上说，只有当
时间趋于无穷大时，才进入稳态过程，但这在工程上显然是无
法进行的。在工程上只讨论输入作用加入一段时间里的瞬态过
程，在这段时间里，反映了主要的瞬态性能指标。
某系统单位阶跃响应曲线如下：
y
y
瞬态过程
0
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稳态过程 t
控制系统的性能指标，可以通过在输入信号作用下系统的瞬 态和稳态过程来评价。系统的瞬态和稳态过程不仅取决于系统 本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。
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典型初始状态
典型初始状态: 规定控制系统的初始状态均为零状态，即在 t 0 时
c(0 ) c(0 ) c(0 ) 0
这表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的，被控制 量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。
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典型输入作用
典型输入作用 脉冲函数：
阶跃函数：
x(t
)
0,t 0
A,
t
0
A阶跃幅度，A=1 称为单位阶跃函 数，记为1（t）。
x(t)
A
t
其拉氏变换后的像函数为： L[x(t)] A
ymax
y
一个峰值ymax所需要的时间。y()
0.05 y () 或
0.02 y()
⒋ 最大超调量(简称超调量) %：
瞬态过程中输出响应的最大值
超过稳态值的百分数。 % ymax y() 100 % y()
0
tp
t
ts
式中：ymax —输出响应的最大值； y() lim y(t) —稳态值； t
趋于无穷大是特解趋于一个稳态的函数。
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线性微分方程的解
综上所述，对于稳定的系统，对于一个有界的输入，当时 间趋于无穷大时，微分方程的全解将趋于一个稳态的函数，使 系统达到一个新的平衡状态。工程上称为进入稳态过程。
系统达到稳态过程之前的过程称为瞬态过程。瞬态分析是
我们知道，微分方程的解可表示为：y(t) yh (t) y p (t) ，其
中，yh (t) 为对应的齐次方程的通解，只与微分方程（系统本身
的特性或系统的特征方程的根）有关。对于稳定的系统，当时 间趋于无穷大时，通解趋于零。所以根据通解或特征方程的根 可以分析系统的稳定性。
y p (t)为特解，与微分方程和输入有关。一般来说，当时间
本章主要内容
典型输入作用和时域性能指标 一阶系统的瞬态响应 二阶系统的瞬态响应 高阶系统分析 稳定性和代数稳定判据 稳态误差分析
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第一节 典型输入作用和时域性能指标
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时域分析
什么是时域分析?
讨论系统的时域性能指标时，通常选择单位阶跃信号作为典 型输入信号。
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典型响应
典型响应：
⒈ 单位脉冲函数响应：
C(s) G(s)1
⒉ 单位阶跃函数响应： ⒊ 单位斜坡函数响应： ⒋ 单位抛物线函数响应：
C(s) G(s) 1 s
C
(s)
G(s)
1 s2
C
(
s)
G(
s)
1 s3
[提示]：上述几种典型响应有如下关系：
积分
积分
单位脉冲
单位阶跃
函数响应
函数响应
微分
微分
单位斜坡 函数响应
积分
单位抛物线 函数响应
微分
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线性微分方程的解
线性微分方程的解
时域分析以线性定常微分方程的解来讨论系统的特性和 性能指标。设微分方程如下： an y(n) (t) an1 y(n1) (t) ... a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) ... b0 x(t) 式中，x(t)为输入信号，y(t)为输出信号。
瞬态过程 稳态过程
t
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瞬态过程的性能指标（衰减振荡）
瞬态过程的性能指标 通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过
程的时域性能指标。稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃 响应函数有衰减振荡和单调变化两种。
（一）衰减振荡：
y
具有衰减振荡的瞬态过程
如图所示：
⒈ 延迟时间 td ：
y()
y()
其拉氏变换后的像函数为：
L[ Asin t]
n
s2
2 n
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分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系统 在正常工作情况下最常见的输入信号形式。
当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输入 信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数为 典型输入信号。
s
斜坡函数（速度阶跃函百度文库）：
0,t 0 x(t) Bt,t 0
B=1时称为单位斜 坡函数。
其拉氏变换后的像函数为：
L[x(t)]
B s2
x(t) x(t) Bt
t
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典型输入作用
抛物线函数（加速度阶跃函数）：
0,t 0
x(t)
1 2
Ct
输出响应第一次达到稳
2
态值的50%所需的时间。
t
⒉ 上升时间 tr ：
0 td tr
输出响应第一次达到稳态值y(∞)所需的时间。或指由稳态值 的10%上升到稳态值的90%所需的时间。
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瞬态过程的性能指标（衰减振荡）
⒊ 峰值时间 t p ：
输出响应超过稳态值达到第
2
,
t
0
C=1时称为单位抛 物线函数。
其拉氏变换后的像函数为：
L[x(t)]
C s3
x(t) x(t)
1
Ct 2
2t
[提示]：上述几种典型输入信号的关系如下：
A
(t)
d dt
[ A1(t)]
d2 dt 2
[ At]
d3 dt3
[1 2
At 2 ]
正弦函数：x(t) ASint ，式中，A为振幅， 为频率。