3.4 行列式的计算解读
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M MM M a (n 1)b b b L a
1b bL 1a bL [a (n 1)b] 1 b a L MM M 1b bL
b
b ri r1
b M i2,3,K ,n
a
行列式的计算
9/29
1b bL
ri r1
[a (n 1)b]
i2,3,K ,n
行列式的计算
7/29
3.4.2 三角化方法
利用行列式的初等变换将其化为三角行列式.
abbL b b abL b
例3.11 计算 n 阶行列式 | A | b b a L b .
MMM M bbbL a
解 将第 2, 3, , n 列都加到第一列得
行列式的计算
8/29
a (n 1)b b b L b a (n 1)b a b L b | A | a (n 1)b b a L b
| A| M b
a2 L bL M 0L
an a1 a2 L an b
0
0
M
M
b
0
a2 L bL M 0L
(a1 a2 L an b)bn1.
10/29
an 0 M b
行列式的计算
11/29
3.4.3 归纳法
通过计算低阶行列式, 发现某种规律, 进而猜想 k 阶行 列式符合这种规律, 然后证明 k1 阶行列式也呈现此 规律, 这就是数学归纳法的思想.
M
x3 x1 L x3 (x3 x1) L
M
0
xn2 2
( x2
x1)
xn2 3
(
x3
x1)
L
1
xn x1
xn (xn x1)
M
xn2 n
(
xn
x1)
1 1L
(x2 x1)(x3 x1)L (xn x1)
x2 M
x3 L M
n 1阶Vandermonde行列式
8 17
行列式的计算
xy
xy
例3.10 计算 n 阶行列式 | Α |
OO .
xy
y
x
解 将 | A| 按第 n 行展开, 得
y
xy | Α | y(1)n1 x O
Oy
xy
x(1)nn
xy OO
x
x y n1
6/29
y x n1
y(1)n1 yn1 x(1)nn xn1 xn ( y)n .
15/29
3.4.4 递推法
利用按行 (列) 展开法则, 将 n 阶行列式化成形式相同 的 n 1 阶行列式, 从而建立递推关系, 反复应用这个 递推关系便可求出 n 阶行列式.
行列式的计算
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a b ab
1
例3.14 计算 Dn
a b ab OOO
1 ab
. ab
1 ab
ab ab O
b ab
[a (n 1)b](a b)n1.
行列式的计算
a1 b a2 L
例3.12 计算 | A | a1 a2 b L
MM
an an . M
a1
a2 L an b
解 先把第一行乘以 (1) 加到以下各行,
再把后面各列加到第一列.
a1 b b
第3章 行列式
3.1 n 阶行列式的概念 3.2 行列式的性质 3.3 行列式与矩阵的逆 3.4 行列式的计算 3.5 行列式与矩阵的秩
3.4 行列式的计算
3.4.1 降阶法 3.4.2 三角化方法 3.4.3 归纳法 3.4.4 递推法 3.4.5 分拆法 3.4.6 升阶法 内容小结
行列式的计算
解 将 Dn 按第一行展开, 得
ab Dn = (a b) 1
ab a b ab OO
1
Dn 1
1
0 ab O
ab n1
ab
a b ab ,
OOO
1 ab n1
Dn 2
行列式的计算
17/29
再把第二个行列式按第一列展开, 得
从而
Dn (a b)Dn1 abDn2 , n 3, 4,K ,
x2
x1
(xi xj ),
1 ji2
所以 n 2 时, 等式成立.
行列式的计算
13/29
假设等式对 n 1阶 Vandermonde 行列式 Vn1 成立, 则
1
1
1L
0
ri x1ri1
Vn 0
i n,n1,,2
M
x2 x1 x2 (x2 x1)
6 1 3 32
例3.9 计算四阶行列式 | A | 5 3
3 27 .
3 1 1 17
4 1 3 19
c4 5c1
行列式的计算
5/29
6 1 3 2 14 3 9 0
解
5 c4 5c1 3 | A |
3
2 13 ri 2r4 5 9
0
3 1 1 2 i1,2,3 11 3 5 0
4 1 3 1
4 1 3 1
14 3 9
14 3 9
(1)(1)44 13
5
r2 r3
9 2 1
1
2
11 3 5
11 3 5
0 11 19
r1 14r2
2 1 1
2 (1)21(2) 11
19 70.
r3 11r2
0 8 17
Dn aDn1 b(Dn1 aDn2 ) b2 (Dn2 aDn3 ) L bn2 (D2 aD1),
Hale Waihona Puke Baiduxn2 2
xn2 3
L
1 xn , M xn2
n
行列式的计算
14/29
因此由归纳法假设得
Vn (x2 x1)(x3 x1)L (xn x1) (xi xj ) (xi xj ),
2 jin
1 jin
所以等式对所有 n 2 都成立.
行列式的计算
行列式的计算
12/29
例3.13 证明 Vandermonde 行列式
1 1L 1
x1 Vn x12
x2 L x22 L
MM
xn1 1
xn1 2
L
xn
xn2
(xi x j ).
M 1 jin
xn1 n
证 对行列式的阶数 n 用数学归纳法. 因为
11
V2 x1
x2
3/29
行列式计算常用方法有: 降阶法、三角化方法、归纳法、递推法、分拆法、 升阶法等.
行列式计算的理论根据: 行列式的按行(列)展开法则 行列式初等变换的性质 行列式乘积法则
行列式的计算
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3.4.1 降阶法
应用初等变换使行列式的某行或某列的零元充分多, 然后按该行或该列展开, 化为低阶行列式来计算.
1b bL 1a bL [a (n 1)b] 1 b a L MM M 1b bL
b
b ri r1
b M i2,3,K ,n
a
行列式的计算
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1b bL
ri r1
[a (n 1)b]
i2,3,K ,n
行列式的计算
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3.4.2 三角化方法
利用行列式的初等变换将其化为三角行列式.
abbL b b abL b
例3.11 计算 n 阶行列式 | A | b b a L b .
MMM M bbbL a
解 将第 2, 3, , n 列都加到第一列得
行列式的计算
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a (n 1)b b b L b a (n 1)b a b L b | A | a (n 1)b b a L b
| A| M b
a2 L bL M 0L
an a1 a2 L an b
0
0
M
M
b
0
a2 L bL M 0L
(a1 a2 L an b)bn1.
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an 0 M b
行列式的计算
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3.4.3 归纳法
通过计算低阶行列式, 发现某种规律, 进而猜想 k 阶行 列式符合这种规律, 然后证明 k1 阶行列式也呈现此 规律, 这就是数学归纳法的思想.
M
x3 x1 L x3 (x3 x1) L
M
0
xn2 2
( x2
x1)
xn2 3
(
x3
x1)
L
1
xn x1
xn (xn x1)
M
xn2 n
(
xn
x1)
1 1L
(x2 x1)(x3 x1)L (xn x1)
x2 M
x3 L M
n 1阶Vandermonde行列式
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行列式的计算
xy
xy
例3.10 计算 n 阶行列式 | Α |
OO .
xy
y
x
解 将 | A| 按第 n 行展开, 得
y
xy | Α | y(1)n1 x O
Oy
xy
x(1)nn
xy OO
x
x y n1
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y x n1
y(1)n1 yn1 x(1)nn xn1 xn ( y)n .
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3.4.4 递推法
利用按行 (列) 展开法则, 将 n 阶行列式化成形式相同 的 n 1 阶行列式, 从而建立递推关系, 反复应用这个 递推关系便可求出 n 阶行列式.
行列式的计算
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a b ab
1
例3.14 计算 Dn
a b ab OOO
1 ab
. ab
1 ab
ab ab O
b ab
[a (n 1)b](a b)n1.
行列式的计算
a1 b a2 L
例3.12 计算 | A | a1 a2 b L
MM
an an . M
a1
a2 L an b
解 先把第一行乘以 (1) 加到以下各行,
再把后面各列加到第一列.
a1 b b
第3章 行列式
3.1 n 阶行列式的概念 3.2 行列式的性质 3.3 行列式与矩阵的逆 3.4 行列式的计算 3.5 行列式与矩阵的秩
3.4 行列式的计算
3.4.1 降阶法 3.4.2 三角化方法 3.4.3 归纳法 3.4.4 递推法 3.4.5 分拆法 3.4.6 升阶法 内容小结
行列式的计算
解 将 Dn 按第一行展开, 得
ab Dn = (a b) 1
ab a b ab OO
1
Dn 1
1
0 ab O
ab n1
ab
a b ab ,
OOO
1 ab n1
Dn 2
行列式的计算
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再把第二个行列式按第一列展开, 得
从而
Dn (a b)Dn1 abDn2 , n 3, 4,K ,
x2
x1
(xi xj ),
1 ji2
所以 n 2 时, 等式成立.
行列式的计算
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假设等式对 n 1阶 Vandermonde 行列式 Vn1 成立, 则
1
1
1L
0
ri x1ri1
Vn 0
i n,n1,,2
M
x2 x1 x2 (x2 x1)
6 1 3 32
例3.9 计算四阶行列式 | A | 5 3
3 27 .
3 1 1 17
4 1 3 19
c4 5c1
行列式的计算
5/29
6 1 3 2 14 3 9 0
解
5 c4 5c1 3 | A |
3
2 13 ri 2r4 5 9
0
3 1 1 2 i1,2,3 11 3 5 0
4 1 3 1
4 1 3 1
14 3 9
14 3 9
(1)(1)44 13
5
r2 r3
9 2 1
1
2
11 3 5
11 3 5
0 11 19
r1 14r2
2 1 1
2 (1)21(2) 11
19 70.
r3 11r2
0 8 17
Dn aDn1 b(Dn1 aDn2 ) b2 (Dn2 aDn3 ) L bn2 (D2 aD1),
Hale Waihona Puke Baiduxn2 2
xn2 3
L
1 xn , M xn2
n
行列式的计算
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因此由归纳法假设得
Vn (x2 x1)(x3 x1)L (xn x1) (xi xj ) (xi xj ),
2 jin
1 jin
所以等式对所有 n 2 都成立.
行列式的计算
行列式的计算
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例3.13 证明 Vandermonde 行列式
1 1L 1
x1 Vn x12
x2 L x22 L
MM
xn1 1
xn1 2
L
xn
xn2
(xi x j ).
M 1 jin
xn1 n
证 对行列式的阶数 n 用数学归纳法. 因为
11
V2 x1
x2
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行列式计算常用方法有: 降阶法、三角化方法、归纳法、递推法、分拆法、 升阶法等.
行列式计算的理论根据: 行列式的按行(列)展开法则 行列式初等变换的性质 行列式乘积法则
行列式的计算
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3.4.1 降阶法
应用初等变换使行列式的某行或某列的零元充分多, 然后按该行或该列展开, 化为低阶行列式来计算.