D9_9二元泰勒公式 高等数学(同济大学)课件

1 2
[
fxx
( x0
h
,
y0
k)
h2
2 f x y (x0 h , y0 k) hk
f y y (x0 h , y0 k) k 2 ]
由于 f (x , y) 的二阶偏导数在点(x0 , y0 ) 连续, 所以
多元函数泰勒公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
记号 (设下面涉及的偏导数连续):
•
(h x
k
) y
f
(x0 ,
y0 )
表示
h
f x (x0 ,
y0 )
k
f y (x0 ,
y0 )
•
(h
x
k
)2 y
f
(x0 ,
y0 ) 表示
h2 f xx (x0 , y0 ) 2hk f x y (x0 , y0 ) k 2 f y y (x0 , y0 )
*第九节
第九章
二元函数的泰勒公式
一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、二元函数的泰勒公式
一元函数 f (x) 的泰勒公式:
f
( x0
h)
f (x0 )
f (x0 )h
f
(x0 ) h2 2!
f (n) (x0 ) hn n!
推广
(0 1)
(m) (t)
m
Cmp
p0
h
pk
m
p
x
m f p ym p
(x0 ht,
y0 kt)
(m) (0)
(h
x
k
y
)
m
f
(x0 ,
y0 )
由 (t)的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: (1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭
•
一般地,
(h
x
k
)m y
f
(x0 ,
y0 )
表示
m
Cmp
p0
h
pk m p
x
m f p ym p
(x0 ,
y0 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1. 设 z f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 的某一邻域内有直
到 n + 1 阶连续偏导数 , (x0 h , y0 k) 为此邻域内任
朗日型余项 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
证: 令 (t) f (x0 th, y0 tk) (0 t 1),
则
(0) f (x0 , y0 ), (1) f (x0 h , y0 k)
利用多元复合函数求导法则可得:
(t) h f x (x0 ht , y0 kt) k f y (x0 ht , y0 kt)
一点, 则有
f (x0
h,
y0
k)
f (x0 ,
y0
)
(h
x
k
y
)
f
(
x0
,
y0 )
1 2!(hx Nhomakorabeak
y
)2
f
(x0 ,
y0 )
1 n!
(h
x
k
y
)n
f
(x0 ,
y0 )
Rn
①
其中
Rn
1 (n1)!
(h
x
k
y
)
n1
f
( x0
h,
y0
k)
②
(0 1)
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
f (x0 h , y0 k) f (x0 , y0 )
h f x (x0 h, y0 k) k f y (x0 h, y0 k) (0 1)
(3) 若函数 z f (x, y)在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f (x, y) 常数 .
y)4
x y)4
(0 1) k y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、极值充分条件的证明
定理2 (充分条件) 若函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0 令 A f xx (x0 , y0 ) , B f x y (x0 , y0 ) , C f y y (x0 , y0 ) 则: 1) 当AC B2 0 时, 具有极值 A < 0 时取极大值;
(0)
(h
x
k
y
)
f
(x0 ,
y0 )
(t) h2 f xx (x0 ht, y0 kt)
2hk f x y (x0 ht, y0 kt) k 2 f y y (x0 ht, y0 kt)
(0)
(h
x
k
y
)2
f
(x0 ,
y0 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一般地,
( p 0,1, 2,3)
4 f x p y4 p
3! (1 x y)4
( p 0,1, 2,3, 4)
因此,
(h
x
k
y
)
f
(0,
0)
h
f x (0,
0) k
f y (0,
0)
hk
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(h
x
k
y
)
2
f
(0,
0)
h2 f xx (0, 0) 2hk f x y (0, 0) k 2 f y y (0, 0) (h k)2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求函数 f (x, y) ln(1 x y) 在点(0,0) 的三阶泰
勒公式.
解:
fx (x,
y)
f y (x,
y)
1
1 x
y
f xx (x,
y)
f x y (x,
y)
f y y (x,
y)
(1
1 x
y)2
3 f x p y3 p
(1
2! x
y)3
(h
x
k
y
)3
f
(0,
0)
3
C3p
p0
h
pk
3 p
x
3 f p y3
p
(0,0)
2(h k)3
又 f (0, 0) 0,将 h x , k y 代入三阶泰勒公式得
ln(1
x
y)
x
y
1 (x 2
y)2
1(x 3
y)3
R3
其中
R3
(h
x
k
y
)
4
f
(
h,
k)
h
x
1 4
(x
(1
A > 0 时取极小值.
2) 当 AC B2 0 时, 没有极值. 3) 当 AC B2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0
则有 z f (x0 h , y0 k) f (x0 , y0 )
邻域其绝对值必有上界 M ,
Rn
M (h (n 1)!
k )n1
h k
cos sin
M n1( cos sin )n1
(n 1)!
则有
利用max(x 1 x2 ) 2
[0,1]
Rn
( n11()n! (Mh 1)x!(
k2)yn)n11
n1
f (x0
o(hn,)y0
k)
机动 目录 上页 下页 返回 结束