导数在中学数学中的应用
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性质1函数在内可导，且在任意子空间内都不恒等于0.当时：
函数在上单调递增；
函数在上单调递减；
性质2（1）函数的极小值，若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，若在附近导数存在，，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）函数的极大值，若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，若在附近导数存在，，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值。
4.1 导数在函数问题中的应用
导数在函数中应用比较广泛，在求函数的单调区间，分析函数的单调性都用到了导数，导数作为一种有用的数学方法，在解决函数问题时可以使复杂的函数问题简单化。导数不仅可以分析函数的图像，在研究函数的单调性、确定函数在给定区间的根个数、极值及最值时都利用到了导数的某些性质。在解决中学函数问题时，本节利用导数判断函数的单调性，求函数的极值和最值等等。即应用求导数的方法来解决函数问题。
2.2 国内外研究现状评价
导数无论是在数学理论的研究或者实际应用中都相当重要，现查阅到的国内外资料中，有关导数的中值定理研究成果颇多，许多文献对中值定理的证明方法进行了改进，提出了其它的证明方法，这极大扩展了导数理论的研究范围。但是几乎所有的参考文献都是针对导数的有关理论进行了理论方面的证明研究，而对于它们在数学中的具体应用还没有触及，然而研究导数在数学中的具体应用才具有比较好的实用价值。如何在已有资料的基础上扩展导数在中学数学中具体应用的例子，并分析这些例子更进一步的价值意义是有关导数应用方面的一项很有意义的研究工作。
3 预备知识
在应用导数工具函数的单调性，单调区间，极值，最值等问题之前，下面对所涉及到的知识点进行列举。
定义1 假设存在一个函数，它定义在点的某个区域内。那么如果
成立，称函数在点处可导。记作。
定理1函数在某个区间内可导
（1）若，则在这个区间内单调递增；
（2）若，则在这个区间内单调递减；
（3）若，则在这个区间内是常数函数；
在中学数学中，导数作为重要的一个知识点，为解决中学乃至大学中的数学问题提供了很多有用之处以及新的视野。有许多以高等数学知识为背景的问题，假如用初等教学的方法去解决往往繁杂冗长。而如果能认真研究问题的来龙去脉，适当利用相关知识，问题就会很容易得到解决。同时，导数也是数学教学中的一部分重要内容，因为它已经成为解决数学问题的重要工具，导数作为微积分的核心概念之一，把它加入中学数学的改革新教材中给传统的中学数学内容注入了生机与活力。这也为中学数学问题的研究提供了新的平台，也拓宽了高考数学命题的空间。在最近几年的高考中，对导数的试题考察加强了，而中学数学教材也对导数加以强调介绍。实际中通过对导数几何意义的分析和进一步对导数概念的分析，再综合实际问题，充分展示说明了导数在中学数学中的具体的、广泛的应用。可以应用导数研究函数的单调性，最大值，最小值，曲线的切线方程，解析几何等问题。在某些不等式的证明中，若能恰当的构造适当的函数，再利用导数研究函数的单调性或最值，往往能更快，更准确的求出结果，达到事半功倍的效果。我们在导数的学习应用中，要注意学会分类讨论和数形结合的解题思想，这些数学思想方法是正确解决问题的关键，而且这些思维在解决综合应用题中始终贯穿其中。
2 文献综述
2.1 国内外研究现状
然而，在.[2]把提出了格林不等式的概念，这项成果和[1]中提出的贝塞尔不等式有异曲同工之妙处。在.[3]中等学者都研究过导数。近年来，国内学者提出了一些导数在数学中应用的例子，对于导数在函数问题的应用相关研究文献较多，取得的成果也较多。在[6]中提出了“数学分析”方面内容，内容包括函数、数列、积分、微分、一致收敛、级数、多元函数、参变量积分等中的导数应用。这些例子很好的说明了问题，无论是对于理论的研究还是实际的应用，都具有极大的用处。在[7]中“例谈导数的应用”中列举了大量导数在中学数学中应用的实例，内容包括求最值，求值域，证明简单的不等式等问题。在[10]中“导数在解析几何中的应用”一文中汇集了重点论述了导数在几何问题中的应用，内容涉及曲线的切线，图像最值等方面。虽然这些例子选取合适，构造巧妙，但这些文献都是针对具体的应用实例进行了简单的谈论研究，但对于详细的证明及它们在中学数学中的具体应用还没有触及，然而如果更深入地研究导数在中学数学中的具体应用才具有比较好的作用。基于此背景，本文在已有资料的基础上扩展了导数在中学数学中应用的具体实例，并对这些例子进行了详细的解释说明，同时分析了它们的更进一步的价值意义。
2.3 提出问题
导数工具在数学解题中具有很强大，很重要的作用。对于很多数学定理的研究，通过构造导数，再利用中值定理往往能取得意想不到的良好的作用。导数无论是在数学理论研究或者实际应用中都相当重要，然而现查阅到的国内外资料中，只是给出了导数应用的具体例子，而且对于大部分的导数的例子没有给出详细的证明和它们在数学中的具体应用。基于此，下面要研究的内容是如何在已有资料的基础上扩展导数在中学数学中具体应用的例子，并给出这些例子的详细证明以及同时分析学数学中，通过适当的教学方法锻炼同学们的解题能力，培养同学们的数学思维以及如何应用数学这一有用的工具去解决实际的问题的解决问题能力是目前大部分中学的教学目标。这也是我国教育改革所倡导的素质教育的目标。导数不仅对于高等数学中定理的证明及理论推导具有重要的作用，在中学数学中往往也有很多的应用。目前，导数的研究已经成为数学研究中的一个主流方向，然而且已有的研究往往也是基于具体的实例，没有统一化的理论研究。基于此背景，我在已有资料的基础上扩展了中学数学中的导数应用范围，并列举了典型的实例，同时分析了它们在中学数学中的具体应用。
4 导数在中学数学中的应用
导数是一种特殊的函数，它的得出和定义一直都贯穿着函数思想，作为中学数学中的一个重要的知识点，为解决中学中的数学问题提供了新的视野。导数在中学数学中的使用非常广泛，例如导数在解决函数问题的单调性，求函数的极值最值，函数图像的描绘，求曲线的切线方程，研究方程根的分布以及证明不等式等问题都发挥了重要的作用。使用导数解决问题不需要较高的思维能力，也不使用高度的技巧，下面本节通过举例分析的方式对导数在中学数学中的具体应用领域及意义进行分析。
函数在上单调递增；
函数在上单调递减；
性质2（1）函数的极小值，若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，若在附近导数存在，，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）函数的极大值，若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，若在附近导数存在，，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值。
4.1 导数在函数问题中的应用
导数在函数中应用比较广泛，在求函数的单调区间，分析函数的单调性都用到了导数，导数作为一种有用的数学方法，在解决函数问题时可以使复杂的函数问题简单化。导数不仅可以分析函数的图像，在研究函数的单调性、确定函数在给定区间的根个数、极值及最值时都利用到了导数的某些性质。在解决中学函数问题时，本节利用导数判断函数的单调性，求函数的极值和最值等等。即应用求导数的方法来解决函数问题。
2.2 国内外研究现状评价
导数无论是在数学理论的研究或者实际应用中都相当重要，现查阅到的国内外资料中，有关导数的中值定理研究成果颇多，许多文献对中值定理的证明方法进行了改进，提出了其它的证明方法，这极大扩展了导数理论的研究范围。但是几乎所有的参考文献都是针对导数的有关理论进行了理论方面的证明研究，而对于它们在数学中的具体应用还没有触及，然而研究导数在数学中的具体应用才具有比较好的实用价值。如何在已有资料的基础上扩展导数在中学数学中具体应用的例子，并分析这些例子更进一步的价值意义是有关导数应用方面的一项很有意义的研究工作。
3 预备知识
在应用导数工具函数的单调性，单调区间，极值，最值等问题之前，下面对所涉及到的知识点进行列举。
定义1 假设存在一个函数，它定义在点的某个区域内。那么如果
成立，称函数在点处可导。记作。
定理1函数在某个区间内可导
（1）若，则在这个区间内单调递增；
（2）若，则在这个区间内单调递减；
（3）若，则在这个区间内是常数函数；
在中学数学中，导数作为重要的一个知识点，为解决中学乃至大学中的数学问题提供了很多有用之处以及新的视野。有许多以高等数学知识为背景的问题，假如用初等教学的方法去解决往往繁杂冗长。而如果能认真研究问题的来龙去脉，适当利用相关知识，问题就会很容易得到解决。同时，导数也是数学教学中的一部分重要内容，因为它已经成为解决数学问题的重要工具，导数作为微积分的核心概念之一，把它加入中学数学的改革新教材中给传统的中学数学内容注入了生机与活力。这也为中学数学问题的研究提供了新的平台，也拓宽了高考数学命题的空间。在最近几年的高考中，对导数的试题考察加强了，而中学数学教材也对导数加以强调介绍。实际中通过对导数几何意义的分析和进一步对导数概念的分析，再综合实际问题，充分展示说明了导数在中学数学中的具体的、广泛的应用。可以应用导数研究函数的单调性，最大值，最小值，曲线的切线方程，解析几何等问题。在某些不等式的证明中，若能恰当的构造适当的函数，再利用导数研究函数的单调性或最值，往往能更快，更准确的求出结果，达到事半功倍的效果。我们在导数的学习应用中，要注意学会分类讨论和数形结合的解题思想，这些数学思想方法是正确解决问题的关键，而且这些思维在解决综合应用题中始终贯穿其中。
2 文献综述
2.1 国内外研究现状
然而，在.[2]把提出了格林不等式的概念，这项成果和[1]中提出的贝塞尔不等式有异曲同工之妙处。在.[3]中等学者都研究过导数。近年来，国内学者提出了一些导数在数学中应用的例子，对于导数在函数问题的应用相关研究文献较多，取得的成果也较多。在[6]中提出了“数学分析”方面内容，内容包括函数、数列、积分、微分、一致收敛、级数、多元函数、参变量积分等中的导数应用。这些例子很好的说明了问题，无论是对于理论的研究还是实际的应用，都具有极大的用处。在[7]中“例谈导数的应用”中列举了大量导数在中学数学中应用的实例，内容包括求最值，求值域，证明简单的不等式等问题。在[10]中“导数在解析几何中的应用”一文中汇集了重点论述了导数在几何问题中的应用，内容涉及曲线的切线，图像最值等方面。虽然这些例子选取合适，构造巧妙，但这些文献都是针对具体的应用实例进行了简单的谈论研究，但对于详细的证明及它们在中学数学中的具体应用还没有触及，然而如果更深入地研究导数在中学数学中的具体应用才具有比较好的作用。基于此背景，本文在已有资料的基础上扩展了导数在中学数学中应用的具体实例，并对这些例子进行了详细的解释说明，同时分析了它们的更进一步的价值意义。
2.3 提出问题
导数工具在数学解题中具有很强大，很重要的作用。对于很多数学定理的研究，通过构造导数，再利用中值定理往往能取得意想不到的良好的作用。导数无论是在数学理论研究或者实际应用中都相当重要，然而现查阅到的国内外资料中，只是给出了导数应用的具体例子，而且对于大部分的导数的例子没有给出详细的证明和它们在数学中的具体应用。基于此，下面要研究的内容是如何在已有资料的基础上扩展导数在中学数学中具体应用的例子，并给出这些例子的详细证明以及同时分析学数学中，通过适当的教学方法锻炼同学们的解题能力，培养同学们的数学思维以及如何应用数学这一有用的工具去解决实际的问题的解决问题能力是目前大部分中学的教学目标。这也是我国教育改革所倡导的素质教育的目标。导数不仅对于高等数学中定理的证明及理论推导具有重要的作用，在中学数学中往往也有很多的应用。目前，导数的研究已经成为数学研究中的一个主流方向，然而且已有的研究往往也是基于具体的实例，没有统一化的理论研究。基于此背景，我在已有资料的基础上扩展了中学数学中的导数应用范围，并列举了典型的实例，同时分析了它们在中学数学中的具体应用。
4 导数在中学数学中的应用
导数是一种特殊的函数，它的得出和定义一直都贯穿着函数思想，作为中学数学中的一个重要的知识点，为解决中学中的数学问题提供了新的视野。导数在中学数学中的使用非常广泛，例如导数在解决函数问题的单调性，求函数的极值最值，函数图像的描绘，求曲线的切线方程，研究方程根的分布以及证明不等式等问题都发挥了重要的作用。使用导数解决问题不需要较高的思维能力，也不使用高度的技巧，下面本节通过举例分析的方式对导数在中学数学中的具体应用领域及意义进行分析。